Einer der Zweige der Mathematik, in dem Schüler mit den größten Schwierigkeiten zurechtkommen, ist die Trigonometrie. Kein Wunder: Um dieses Wissensgebiet frei zu meistern, braucht man räumliches Denken, die Fähigkeit, Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens anhand von Formeln zu finden, Ausdrücke zu vereinfachen und die Zahl Pi in Berechnungen einsetzen zu können. Darüber hinaus müssen Sie beim Beweis von Theoremen Trigonometrie anwenden können, und dies erfordert entweder ein entwickeltes mathematisches Gedächtnis oder die Fähigkeit, komplexe logische Ketten abzuleiten.
Die Ursprünge der Trigonometrie
Die Einführung in diese Wissenschaft sollte mit der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels beginnen, aber zuerst müssen Sie herausfinden, was Trigonometrie im Allgemeinen tut.
In der Vergangenheit waren rechtwinklige Dreiecke das Hauptforschungsobjekt in diesem Bereich der mathematischen Wissenschaft. Das Vorhandensein eines Winkels von 90 Grad ermöglicht es, verschiedene Operationen auszuführen, die zwei zulassenSeiten und eine Ecke oder zwei Ecken und eine Seite, um die Werte aller Parameter der betreffenden Figur zu bestimmen. In der Vergangenheit bemerkten die Menschen dieses Muster und begannen, es aktiv beim Bau von Gebäuden, in der Navigation, in der Astronomie und sogar in der Kunst zu nutzen.
Gründung
Zunächst sprach man über das Verhältnis von Winkel und Seiten ausschließlich am Beispiel rechtwinkliger Dreiecke. Dann wurden spezielle Formeln entdeckt, die es ermöglichten, die Grenzen des alltäglichen Gebrauchs dieses Teils der Mathematik zu erweitern.
Das Studium der Trigonometrie in der Schule beginnt heute mit rechtwinkligen Dreiecken, wonach das erworbene Wissen von Schülern der Physik und dem Lösen abstrakter trigonometrischer Gleichungen verwendet wird, mit denen die Arbeit in der High School beginnt.
Sphärische Trigonometrie
Später, als die Wissenschaft die nächste Entwicklungsstufe erreichte, wurden Formeln mit Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens in der sphärischen Geometrie verwendet, wo andere Regeln gelten und die Summe der Winkel in einem Dreieck immer größer wird als 180 Grad. Dieser Abschnitt wird in der Schule nicht studiert, aber es ist notwendig, über seine Existenz Bescheid zu wissen, zumindest weil die Erdoberfläche und die Oberfläche jedes anderen Planeten konvex ist, was bedeutet, dass jede Markierung der Oberfläche "bogenförmig" sein wird " im dreidimensionalen Raum.
Nimm einen Globus und einen Faden. Befestigen Sie den Faden an zwei beliebigen Punkten auf dem Globus, so dass er straff ist. Passen Sie auf - es hat die Form eines Bogens angenommen. Es befasst sich mit solchen Formensphärische Geometrie, die in Geodäsie, Astronomie und anderen theoretischen und angewandten Bereichen verwendet wird.
Rechtes Dreieck
Nachdem wir ein wenig über die Verwendungsmöglichkeiten der Trigonometrie gelernt haben, kehren wir zur grundlegenden Trigonometrie zurück, um besser zu verstehen, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, welche Berechnungen mit ihrer Hilfe durchgeführt werden können und welche Formeln zu verwenden sind.
Zunächst musst du die Konzepte verstehen, die mit einem rechtwinkligen Dreieck zusammenhängen. Erstens ist die Hypotenuse die Seite gegenüber dem 90-Grad-Winkel. Sie ist die Längste. Wir erinnern uns, dass nach dem Satz des Pythagoras sein numerischer Wert gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten ist.
Beispiel: Wenn zwei Seiten 3 bzw. 4 Zentimeter lang sind, beträgt die Länge der Hypotenuse 5 Zentimeter. Das wussten übrigens schon die alten Ägypter vor etwa viereinhalbtausend Jahren.
Die beiden verbleibenden Seiten, die einen rechten Winkel bilden, heißen Schenkel. Außerdem müssen wir bedenken, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck in einem rechtwinkligen Koordinatensystem 180 Grad beträgt.
Definition
Mit einem soliden Verständnis der geometrischen Basis können wir uns schließlich der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels zuwenden.
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels (d. h. der dem gewünschten Winkel gegenüberliegenden Seite) zur Hypotenuse. Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse.
Denken Sie daran, dass weder Sinus noch Cosinus größer als eins sein können! Wieso den?Denn die Hypotenuse ist standardmäßig die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Egal wie lang das Bein ist, es wird kürzer als die Hypotenuse sein, was bedeutet, dass ihr Verhältnis immer kleiner als eins sein wird. Wenn Sie also in der Antwort auf die Aufgabe einen Sinus oder Kosinus mit einem Wert größer als 1 erh alten, suchen Sie nach einem Rechen- oder Argumentationsfehler. Diese Antwort ist eindeutig falsch.
Schließlich ist der Tangens eines Winkels das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur angrenzenden Seite. Das gleiche Ergebnis ergibt die Division des Sinus durch den Kosinus. Schauen Sie: Gemäß der Formel teilen wir die Seitenlänge durch die Hypotenuse, danach teilen wir durch die Länge der zweiten Seite und multiplizieren mit der Hypotenuse. Damit erh alten wir das gleiche Verhältnis wie bei der Tangentendefinition.
Kotangens ist jeweils das Verhältnis der an die Ecke angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite. Dasselbe Ergebnis erh alten wir, wenn wir die Einheit durch den Tangens dividieren.
Also haben wir die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens betrachtet und können mit Formeln umgehen.
Einfache Formeln
In der Trigonometrie kommt man ohne Formeln nicht aus - wie findet man Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens ohne sie? Aber genau das ist beim Lösen von Problemen gefragt.
Die erste Formel, die Sie kennen müssen, wenn Sie mit dem Studium der Trigonometrie beginnen, besagt, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels gleich eins ist. Diese Formel ist eine direkte Folge des Satzes des Pythagoras, aber sie spart Zeit, wenn Sie den Wert des Winkels herausfinden müssen, nicht die Seite.
Viele Schüler können sich nicht an die zweite Formel erinnern, auch sehrbeliebt bei der Lösung von Schulproblemen: Die Summe aus Eins und dem Quadrat des Tangens eines Winkels ist gleich Eins dividiert durch das Quadrat des Kosinus des Winkels. Schauen Sie genauer hin: Das ist immerhin die gleiche Aussage wie in der ersten Formel, nur wurden beide Seiten der Identität durch das Quadrat des Kosinus dividiert. Es stellt sich heraus, dass eine einfache mathematische Operation die trigonometrische Formel völlig unkenntlich macht. Denken Sie daran: Wenn Sie wissen, was Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind, die Umrechnungsregeln und einige Grundformeln kennen, können Sie die erforderlichen komplexeren Formeln jederzeit selbstständig auf einem Blatt Papier ableiten.
Doppelwinkelformeln und Addition von Argumenten
Zwei weitere Formeln zum Lernen beziehen sich auf die Sinus- und Kosinuswerte für die Summe und Differenz von Winkeln. Sie sind in der Abbildung unten dargestellt. Bitte beachten Sie, dass im ersten Fall Sinus und Cosinus beide Male multipliziert werden und im zweiten Fall das paarweise Produkt aus Sinus und Cosinus addiert wird.
Es gibt auch Formeln, die mit Doppelwinkelargumenten verbunden sind. Sie sind vollständig von den vorherigen abgeleitet - als Übung versuchen Sie, sie selbst zu bekommen, indem Sie den Alpha-Winkel gleich dem Beta-Winkel nehmen.
Beachten Sie schließlich, dass die Doppelwinkelformeln umgewandelt werden können, um den Grad von Sinus, Cosinus, Tangens Alpha zu reduzieren.
Sätze
Die zwei Hauptsätze in der grundlegenden Trigonometrie sind der Sinussatz und der Kosinussatz. Mit Hilfe dieser Sätze können Sie leicht verstehen, wie Sie Sinus, Cosinus und Tangens und damit die Fläche der Figur und die Größe findenjede Seite usw.
Der Sinussatz besagt, dass wir als Ergebnis der Division der Länge jeder Seite eines Dreiecks durch den Wert des gegenüberliegenden Winkels dieselbe Zahl erh alten. Außerdem ist diese Zahl gleich zwei Radien des umschriebenen Kreises, d.h. des Kreises, der alle Punkte des gegebenen Dreiecks enthält.
Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras und projiziert ihn auf beliebige Dreiecke. Es stellt sich heraus, dass von der Summe der Quadrate der beiden Seiten ihr Produkt subtrahiert wird, multipliziert mit dem doppelten Kosinus des angrenzenden Winkels - der resultierende Wert ist gleich dem Quadrat der dritten Seite. Damit erweist sich der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes.
Fehler aus Unachtsamkeit
Selbst wenn man weiß, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, kann man leicht einen Fehler machen, weil man geistesabwesend ist oder sich bei den einfachsten Berechnungen irrt. Um solche Fehler zu vermeiden, werfen wir einen Blick auf die beliebtesten.
Als erstes solltest du keine gemeinsamen Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, bevor du das Endergebnis erhältst – du kannst das Ergebnis als gemeinsamen Bruch belassen, sofern in der Bedingung nichts anderes angegeben ist. Eine solche Transformation kann nicht als Fehler bezeichnet werden, aber es sollte daran erinnert werden, dass in jeder Phase der Aufgabe neue Wurzeln auftreten können, die nach der Idee des Autors reduziert werden sollten. In diesem Fall verschwenden Sie Zeit mit unnötigen mathematischen Operationen. Das gilt besonders für Werte wie die Wurzel aus drei oder zwei, denn sie kommen bei Aufgaben bei jedem Schritt vor. Gleiches gilt für Rundungen."Hässliche" Zahlen.
Als nächstes beachte, dass der Kosinussatz auf jedes Dreieck anwendbar ist, aber nicht der Satz des Pythagoras! Wenn Sie versehentlich vergessen, das Produkt der Seiten multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen zweimal zu subtrahieren, erh alten Sie nicht nur ein völlig falsches Ergebnis, sondern demonstrieren auch ein völliges Missverständnis des Themas. Das ist schlimmer als ein Flüchtigkeitsfehler.
Drittens verwechseln Sie nicht die Werte für Winkel von 30 und 60 Grad für Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens. Merken Sie sich diese Werte, denn der Sinus von 30 Grad ist gleich dem Kosinus von 60 und umgekehrt. Es ist leicht, sie zu verwechseln, und Sie erh alten unweigerlich ein falsches Ergebnis.
Bewerbung
Viele Studenten haben es nicht eilig, Trigonometrie zu studieren, weil sie ihre angewandte Bedeutung nicht verstehen. Was ist Sinus, Cosinus, Tangens für einen Ingenieur oder Astronomen? Dies sind Konzepte, mit denen Sie die Entfernung zu fernen Sternen berechnen, den Fall eines Meteoriten vorhersagen und eine Forschungssonde zu einem anderen Planeten schicken können. Ohne sie ist es unmöglich, ein Gebäude zu bauen, ein Auto zu entwerfen, die Belastung der Oberfläche oder die Flugbahn eines Objekts zu berechnen. Und das sind nur die offensichtlichsten Beispiele! Schließlich wird Trigonometrie in der einen oder anderen Form überall verwendet, von der Musik bis zur Medizin.
Zum Schluss
Du weißt also, was Sinus, Cosinus und Tangens sind. Sie können sie in Berechnungen verwenden und Schulaufgaben erfolgreich lösen.
Der springende PunktTrigonometrie wird darauf reduziert, dass nach den bekannten Parametern des Dreiecks die Unbekannten berechnet werden müssen. Es gibt insgesamt sechs Parameter: die Längen von drei Seiten und die Größen von drei Winkeln. Der ganze Unterschied bei den Aufgaben liegt darin, dass unterschiedliche Eingabedaten gegeben werden.
Wie man Sinus, Cosinus, Tangens anhand der bekannten Beinlängen oder der Hypotenuse findet, weißt du jetzt. Da diese Begriffe nichts anderes als ein Verhältnis bedeuten und ein Verhältnis ein Bruch ist, besteht das Hauptziel des trigonometrischen Problems darin, die Wurzeln einer gewöhnlichen Gleichung oder eines Gleichungssystems zu finden. Und hier hilft dir die übliche Schulmathematik weiter.
