Fourier-Reihe ist eine Darstellung einer willkürlich genommenen Funktion mit einer bestimmten Periode als Reihe. Allgemein wird diese Lösung als Zerlegung eines Elements in orthogonaler Basis bezeichnet. Die Erweiterung von Funktionen in einer Fourier-Reihe ist aufgrund der Eigenschaften dieser Transformation beim Integrieren, Differenzieren sowie beim Verschieben eines Ausdrucks in einem Argument und einer F altung ein ziemlich mächtiges Werkzeug zum Lösen verschiedener Probleme.
Eine Person, die weder mit höherer Mathematik noch mit den Werken des französischen Wissenschaftlers Fourier vertraut ist, wird höchstwahrscheinlich nicht verstehen, was diese „Zeilen“sind und wozu sie dienen. Mittlerweile ist diese Transformation ziemlich dicht in unserem Leben geworden. Es wird nicht nur von Mathematikern verwendet, sondern auch von Physikern, Chemikern, Medizinern, Astronomen, Seismologen, Ozeanographen und vielen anderen. Werfen wir einen genaueren Blick auf die Werke des großen französischen Wissenschaftlers, der seiner Zeit voraus eine Entdeckung machte.
Der Mensch und die Fourier-Transformation
Fourier-Reihen sind eine der Methoden (zusammen mit der Analyse und anderen) der Fourier-Transformation. Dieser Prozess findet jedes Mal statt, wenn eine Person einen Ton hört. Unser Ohr wandelt den Ton automatisch umWellen. Die Schwingungsbewegungen von Elementarteilchen in einem elastischen Medium werden in Reihen (entlang des Spektrums) aufeinanderfolgender Werte des Lautstärkepegels für Töne unterschiedlicher Höhe zerlegt. Als nächstes verwandelt das Gehirn diese Daten in uns vertraute Geräusche. All dies geschieht zusätzlich zu unserem Verlangen oder Bewusstsein von selbst, aber um diese Prozesse zu verstehen, wird es mehrere Jahre dauern, höhere Mathematik zu studieren.
Mehr über die Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformation kann mit analytischen, numerischen und anderen Methoden durchgeführt werden. Fourier-Reihen beziehen sich auf die numerische Methode zur Zerlegung aller oszillierenden Prozesse – von Meeresgezeiten und Lichtwellen bis hin zu Zyklen der Sonnenaktivität (und anderer astronomischer Objekte). Mit diesen mathematischen Techniken ist es möglich, Funktionen zu analysieren, die beliebige oszillatorische Prozesse als eine Reihe von sinusförmigen Komponenten darstellen, die vom Minimum zum Maximum und umgekehrt verlaufen. Die Fourier-Transformation ist eine Funktion, die die Phase und Amplitude von Sinuskurven beschreibt, die einer bestimmten Frequenz entsprechen. Mit diesem Verfahren lassen sich sehr komplexe Gleichungen lösen, die dynamische Prozesse beschreiben, die unter dem Einfluss von thermischer, Licht- oder elektrischer Energie ablaufen. Außerdem ermöglichen Fourier-Reihen die Isolierung der konstanten Komponenten in komplexen Schwingungssignalen, wodurch es möglich wurde, die erh altenen experimentellen Beobachtungen in Medizin, Chemie und Astronomie richtig zu interpretieren.
Historischer Hintergrund
Gründervater dieser TheorieJean Baptiste Joseph Fourier ist ein französischer Mathematiker. Diese Transformation wurde später nach ihm benannt. Zunächst wandte der Wissenschaftler seine Methode an, um die Mechanismen der Wärmeleitung – die Ausbreitung von Wärme in Festkörpern – zu untersuchen und zu erklären. Fourier schlug vor, dass die anfängliche unregelmäßige Verteilung einer Hitzewelle in die einfachsten Sinuskurven zerlegt werden kann, von denen jede ihr eigenes Temperaturminimum und -maximum sowie ihre eigene Phase hat. In diesem Fall wird jede dieser Komponenten vom Minimum zum Maximum und umgekehrt gemessen. Die mathematische Funktion, die die oberen und unteren Spitzen der Kurve sowie die Phase jeder der Harmonischen beschreibt, wird als Fourier-Transformation des Temperaturverteilungsausdrucks bezeichnet. Der Autor der Theorie reduzierte die mathematisch schwer zu beschreibende allgemeine Verteilungsfunktion auf eine sehr einfach zu handhabende Folge von periodischen Kosinus- und Sinusfunktionen, die sich zur ursprünglichen Verteilung addieren.
Das Prinzip der Verwandlung und die Ansichten der Zeitgenossen
Die Zeitgenossen des Wissenschaftlers – die führenden Mathematiker des frühen neunzehnten Jahrhunderts – akzeptierten diese Theorie nicht. Der Haupteinwand war Fouriers Behauptung, dass eine diskontinuierliche Funktion, die eine gerade Linie oder eine diskontinuierliche Kurve beschreibt, als Summe von sinusförmigen Ausdrücken dargestellt werden kann, die kontinuierlich sind. Betrachten Sie als Beispiel den "Schritt" von Heaviside: Sein Wert ist null links von der Lücke und eins rechts von der Lücke. Diese Funktion beschreibt die Abhängigkeit des elektrischen Stroms von der Zeitvariablen beim Schließen des Stromkreises. Zeitgenossen der damaligen Theorie war so etwas noch nie begegneteine Situation, in der der diskontinuierliche Ausdruck durch eine Kombination aus kontinuierlichen, gewöhnlichen Funktionen wie exponentiell, sinusförmig, linear oder quadratisch beschrieben würde.
Was verwirrte französische Mathematiker in der Fourier-Theorie?
Immerhin, wenn der Mathematiker mit seinen Aussagen Recht hatte, dann kann man durch das Aufsummieren der unendlichen trigonometrischen Fourier-Reihe eine exakte Darstellung des Schrittausdrucks erh alten, selbst wenn er viele ähnliche Schritte hat. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts erschien eine solche Aussage absurd. Aber trotz aller Zweifel haben viele Mathematiker den Umfang der Untersuchung dieses Phänomens erweitert und ihn über den Rahmen der Untersuchungen der Wärmeleitfähigkeit hinausgeführt. Die meisten Wissenschaftler quälten sich jedoch weiterhin mit der Frage: „Kann die Summe einer Sinusreihe gegen den exakten Wert einer unstetigen Funktion konvergieren?“
Konvergenz von Fourier-Reihen: Beispiel
Die Frage nach der Konvergenz stellt sich immer dann, wenn es darum geht, unendliche Zahlenreihen zu summieren. Betrachten Sie ein klassisches Beispiel, um dieses Phänomen zu verstehen. Können Sie jemals die Wand erreichen, wenn jeder aufeinanderfolgende Schritt halb so groß ist wie der vorherige? Angenommen, Sie sind zwei Meter vom Ziel entfernt, der erste Schritt bringt Sie näher an die Halbzeit, der nächste an die Dreiviertelmarke und nach dem fünften haben Sie fast 97 Prozent des Weges zurückgelegt. Aber egal, wie viele Schritte Sie gehen, Sie werden das beabsichtigte Ziel im streng mathematischen Sinne nicht erreichen. Mit numerischen Berechnungen kann man beweisen, dass man am Ende so nah dran kommen kann, wie man will.kleiner vorgegebener Abstand. Dieser Beweis ist gleichbedeutend mit dem Nachweis, dass der Summenwert von einem halben, einem Viertel usw. gegen eins tendiert.
Frage der Konvergenz: Das zweite Kommen oder Lord Kelvins Gerät
Diese Frage wurde Ende des 19. Jahrhunderts immer wieder gestellt, als versucht wurde, mithilfe von Fourier-Reihen die Intensität von Ebbe und Flut vorherzusagen. Zu dieser Zeit erfand Lord Kelvin ein Gerät, ein analoges Rechengerät, das es Seeleuten der Militär- und Handelsflotte ermöglichte, dieses Naturphänomen zu verfolgen. Dieser Mechanismus bestimmte die Sätze von Phasen und Amplituden aus einer Tabelle mit Gezeitenhöhen und ihren entsprechenden Zeitpunkten, die während des Jahres in einem bestimmten Hafen sorgfältig gemessen wurden. Jeder Parameter war eine sinusförmige Komponente des Gezeitenhöhenausdrucks und war eine der regulären Komponenten. Die Ergebnisse der Messungen wurden in Lord Kelvins Rechner eingegeben, der eine Kurve synthetisierte, die die Wasserhöhe als Funktion der Zeit für das nächste Jahr vorhersagte. Sehr bald wurden ähnliche Kurven für alle Häfen der Welt erstellt.
Und wenn der Prozess durch eine diskontinuierliche Funktion unterbrochen wird?
Damals schien es naheliegend, dass ein Flutwellenprädiktor mit einer großen Anzahl von Zählelementen eine große Anzahl von Phasen und Amplituden berechnen und somit genauere Vorhersagen liefern kann. Es stellte sich jedoch heraus, dass diese Regelmäßigkeit in Fällen, in denen der Gezeitenausdruck folgt, nicht beobachtet wirdsynthetisieren, enthielt einen scharfen Sprung, das heißt, es war diskontinuierlich. Falls Daten aus der Tabelle der Zeitmomente in das Gerät eingegeben werden, berechnet es mehrere Fourier-Koeffizienten. Die ursprüngliche Funktion wird dank der sinusförmigen Komponenten (gemäß den gefundenen Koeffizienten) wiederhergestellt. Die Diskrepanz zwischen dem ursprünglichen und dem wiederhergestellten Ausdruck kann an jedem Punkt gemessen werden. Bei wiederholten Berechnungen und Vergleichen ist zu erkennen, dass der Wert des größten Fehlers nicht abnimmt. Sie sind jedoch in dem Bereich lokalisiert, der dem Diskontinuitätspunkt entspricht, und gehen an jedem anderen Punkt gegen Null. 1899 wurde dieses Ergebnis von Joshua Willard Gibbs von der Yale University theoretisch bestätigt.
Konvergenz von Fourier-Reihen und die Entwicklung der Mathematik im Allgemeinen
Die Fourier-Analyse ist nicht auf Ausdrücke anwendbar, die eine unendliche Anzahl von Bursts in einem bestimmten Intervall enth alten. Im Allgemeinen konvergieren Fourier-Reihen immer, wenn die ursprüngliche Funktion das Ergebnis einer realen physikalischen Messung ist. Fragen der Konvergenz dieses Prozesses für bestimmte Klassen von Funktionen haben zur Entstehung neuer Bereiche in der Mathematik geführt, beispielsweise der Theorie der verallgemeinerten Funktionen. Es ist mit Namen wie L. Schwartz, J. Mikusinsky und J. Temple verbunden. Im Rahmen dieser Theorie wurde eine klare und präzise theoretische Grundlage für solche Ausdrücke wie die Dirac-Delta-Funktion (sie beschreibt eine Fläche einer einzelnen Fläche, die in einer unendlich kleinen Nachbarschaft eines Punktes konzentriert ist) und die Heaviside „ Schritt . Dank dieser Arbeit wurden Fourier-Reihen anwendbar aufLösen von Gleichungen und Problemen, die intuitive Konzepte beinh alten: Punktladung, Punktmasse, magnetische Dipole sowie eine konzentrierte Last auf einem Balken.
Fourier-Verfahren
Fourierreihen beginnen nach den Prinzipien der Interferenz mit der Zerlegung komplexer Formen in einfachere. Zum Beispiel erklärt sich eine Änderung des Wärmestroms durch seinen Durchgang durch verschiedene Hindernisse aus unregelmäßig geformtem wärmeisolierendem Material oder eine Änderung der Erdoberfläche - ein Erdbeben, eine Änderung der Umlaufbahn eines Himmelskörpers - der Einfluss von Planeten. In der Regel werden ähnliche Gleichungen, die einfache klassische Systeme beschreiben, für jede einzelne Welle elementar gelöst. Fourier zeigte, dass einfache Lösungen auch summiert werden können, um Lösungen für komplexere Probleme zu geben. In der Sprache der Mathematik ist die Fourier-Reihe eine Technik zur Darstellung eines Ausdrucks als Summe von Harmonischen - Cosinus und Sinuskurven. Daher wird diese Analyse auch als "Harmonische Analyse" bezeichnet.
Fourierreihen - die Ide altechnik vor dem "Computerzeit alter"
Vor der Erfindung der Computertechnologie war die Fourier-Technik die beste Waffe im Arsenal der Wissenschaftler, wenn sie mit der Wellennatur unserer Welt arbeiteten. Die Fourier-Reihe in komplexer Form ermöglicht die Lösung nicht nur einfacher Probleme, die direkt auf die Gesetze der Newtonschen Mechanik angewendet werden können, sondern auch von Grundgleichungen. Die meisten Entdeckungen der Newtonschen Wissenschaft im neunzehnten Jahrhundert wurden nur durch Fouriers Technik ermöglicht.
Fourier-Reihe heute
Mit der Entwicklung von Fourier-Transformationscomputernauf ein ganz neues Level gehoben. Diese Technik ist in fast allen Bereichen der Wissenschaft und Technik fest verankert. Ein Beispiel ist ein digitales Audio- und Videosignal. Ihre Verwirklichung wurde erst möglich dank der Theorie, die ein französischer Mathematiker zu Beginn des 19. Jahrhunderts entwickelt hatte. So ermöglichte die Fourier-Reihe in komplexer Form einen Durchbruch in der Erforschung des Weltraums. Darüber hinaus beeinflusste es das Studium der Physik von Halbleitermaterialien und Plasma, Mikrowellenakustik, Ozeanographie, Radar und Seismologie.
Trigonometrische Fourier-Reihen
In der Mathematik ist eine Fourier-Reihe eine Möglichkeit, beliebige komplexe Funktionen als Summe einfacherer darzustellen. Im Allgemeinen kann die Anzahl solcher Ausdrücke unendlich sein. Darüber hinaus ist das Endergebnis umso genauer, je mehr ihre Anzahl in der Berechnung berücksichtigt wird. Am häufigsten werden die trigonometrischen Funktionen von Cosinus oder Sinus als die einfachsten verwendet. In diesem Fall werden die Fourier-Reihen als trigonometrisch bezeichnet, und die Lösung solcher Ausdrücke wird als Erweiterung der Harmonischen bezeichnet. Diese Methode spielt in der Mathematik eine wichtige Rolle. Zunächst einmal bietet die trigonometrische Reihe ein Mittel für das Bild sowie für das Studium der Funktionen, sie ist der Hauptapparat der Theorie. Darüber hinaus ermöglicht es die Lösung einer Reihe von Problemen der mathematischen Physik. Schließlich trug diese Theorie zur Entwicklung der mathematischen Analyse bei und führte zu einer Reihe sehr wichtiger Abschnitte der mathematischen Wissenschaft (die Theorie der Integrale, die Theorie der periodischen Funktionen). Darüber hinaus diente es als Ausgangspunkt für die Entwicklung folgender Theorien: Mengen, Funktionenreelle Variable, Funktionsanalyse und legte auch den Grundstein für die harmonische Analyse.
