Die Fourier-Transformation ist eine Transformation, die die Funktionen einer reellen Variablen vergleicht. Diese Operation wird jedes Mal durchgeführt, wenn wir verschiedene Geräusche wahrnehmen. Das Ohr führt eine automatische "Rechnung" durch, zu der unser Bewusstsein erst nach dem Studium des entsprechenden Abschnitts der höheren Mathematik in der Lage ist. Das menschliche Hörorgan baut eine Transformation auf, wodurch Schall (schwingende Bewegung bedingter Teilchen in einem elastischen Medium, die sich in einem festen, flüssigen oder gasförmigen Medium wellenförmig ausbreiten) in Form eines Spektrums aufeinanderfolgender Werte bereitgestellt wird der Lautstärke von Tönen unterschiedlicher Höhe. Danach verwandelt das Gehirn diese Informationen in einen Klang, der jedem bekannt ist.
Mathematische Fourier-Transformation
Transformationen von Schallwellen oder anderen oszillatorischen Prozessen (von Lichtstrahlung und Meeresflut bis hin zu Zyklen stellarer oder solarer Aktivität) können auch mit mathematischen Methoden durchgeführt werden. Unter Verwendung dieser Techniken ist es also möglich, Funktionen zu zerlegen, indem man oszillierende Prozesse als einen Satz von sinusförmigen Komponenten, d. h. wellenförmige Kurven, darstelltGehen Sie von niedrig nach hoch und dann wieder zurück zu niedrig, wie eine Meereswelle. Fourier-Transformation – eine Transformation, deren Funktion die Phase oder Amplitude jeder Sinuskurve beschreibt, die einer bestimmten Frequenz entspricht. Die Phase ist der Startpunkt der Kurve und die Amplitude ihre Höhe.
Die Fourier-Transformation (Beispiele sind auf dem Foto zu sehen) ist ein sehr mächtiges Werkzeug, das in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft verwendet wird. In einigen Fällen wird es als Mittel zur Lösung ziemlich komplexer Gleichungen verwendet, die dynamische Prozesse beschreiben, die unter dem Einfluss von Licht, thermischer oder elektrischer Energie ablaufen. In anderen Fällen ermöglicht es Ihnen, die regulären Komponenten in komplexen Schwingungssignalen zu bestimmen, wodurch Sie verschiedene experimentelle Beobachtungen in Chemie, Medizin und Astronomie richtig interpretieren können.
Historischer Hintergrund
Der erste, der diese Methode anwendete, war der französische Mathematiker Jean Baptiste Fourier. Die später nach ihm benannte Umwandlung diente ursprünglich zur Beschreibung des Mechanismus der Wärmeleitung. Fourier verbrachte sein gesamtes Erwachsenenleben damit, die Eigenschaften von Wärme zu studieren. Er leistete einen großen Beitrag zur mathematischen Theorie der Bestimmung der Wurzeln algebraischer Gleichungen. Fourier war Professor für Analyse an der Polytechnischen Schule, Sekretär des Instituts für Ägyptologie, stand in kaiserlichen Diensten, wo er sich beim Bau der Straße nach Turin auszeichnete (unter seiner Leitung wurden mehr als 80.000 Quadratkilometer Malaria bekämpftSümpfe). All diese energischen Aktivitäten hinderten den Wissenschaftler jedoch nicht daran, mathematische Analysen durchzuführen. 1802 leitete er eine Gleichung ab, die die Ausbreitung von Wärme in Festkörpern beschreibt. 1807 entdeckte der Wissenschaftler eine Methode zur Lösung dieser Gleichung, die als „Fourier-Transformation“bezeichnet wurde.
Wärmeleitfähigkeitsanalyse
Der Wissenschaftler wandte eine mathematische Methode an, um den Mechanismus der Wärmeleitung zu beschreiben. Ein bequemes Beispiel, bei dem es keine Schwierigkeiten bei der Berechnung gibt, ist die Ausbreitung von Wärmeenergie durch einen Eisenring, der in einem Teil in ein Feuer eingetaucht ist. Für Experimente erhitzte Fourier einen Teil dieses Rings rotglühend und vergrub ihn in feinem Sand. Danach nahm er auf der gegenüberliegenden Seite Temperaturmessungen vor. Zunächst ist die Wärmeverteilung unregelmäßig: Ein Teil des Rings ist k alt, der andere heiß, zwischen diesen Zonen ist ein starker Temperaturgradient zu beobachten. Bei der Wärmeausbreitung über die gesamte Oberfläche des Metalls wird es jedoch gleichmäßiger. Bald nimmt dieser Prozess also die Form einer Sinuskurve an. Der Graph steigt zunächst fließend an und fällt auch fließend ab, genau nach den Änderungsgesetzen der Kosinus- bzw. Sinusfunktion. Die Welle flacht allmählich ab und dadurch wird die Temperatur auf der gesamten Oberfläche des Rings gleich.
Der Autor dieser Methode schlug vor, dass die anfängliche unregelmäßige Verteilung in eine Anzahl elementarer Sinuskurven zerlegt werden kann. Jeder von ihnen hat seine eigene Phase (Anfangsposition) und seine eigene Temperaturmaximal. Darüber hinaus ändert sich jede solche Komponente von einem Minimum zu einem Maximum und zurück bei einer vollständigen Umdrehung um den Ring eine ganze Zahl von Malen. Eine Komponente mit einer Periode wurde als Grundharmonische bezeichnet, und ein Wert mit zwei oder mehr Perioden wurde als zweite bezeichnet, und so weiter. Die mathematische Funktion, die das Temperaturmaximum, die Phase oder die Position beschreibt, wird als Fourier-Transformation der Verteilungsfunktion bezeichnet. Der Wissenschaftler reduzierte eine einzelne Komponente, die mathematisch schwer zu beschreiben ist, auf ein einfach zu handhabendes Werkzeug – die Kosinus- und Sinusreihen, die sich zur ursprünglichen Verteilung addieren.
Die Essenz der Analyse
Anwenden dieser Analyse auf die Transformation der Wärmeausbreitung durch einen festen Körper, der eine ringförmige Form hat, argumentierte der Mathematiker, dass eine Erhöhung der Perioden der sinusförmigen Komponente zu ihrem schnellen Abfall führen würde. Dies ist deutlich in der Grund- und zweiten Harmonischen zu sehen. Bei letzterem erreicht die Temperatur in einem Durchgang zweimal den Maximal- und Minimalwert, bei ersterem nur einmal. Es stellt sich heraus, dass die von Wärme in der zweiten Harmonischen zurückgelegte Strecke halb so groß ist wie in der Grundschwingung. Außerdem wird die Steigung im zweiten auch doppelt so steil sein wie im ersten. Da der intensivere Wärmestrom eine doppelt so kurze Strecke zurücklegt, wird diese Harmonische als Funktion der Zeit viermal schneller abklingen als die Grundwelle. In Zukunft wird dieser Prozess noch schneller ablaufen. Der Mathematiker glaubte, dass man mit dieser Methode den zeitlichen Verlauf der anfänglichen Temperaturverteilung berechnen kann.
Herausforderung an Zeitgenossen
Der Fourier-Transformationsalgorithmus forderte die theoretischen Grundlagen der damaligen Mathematik heraus. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts akzeptierten die meisten prominenten Wissenschaftler, darunter Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre und Biot, seine Aussage nicht, dass die anfängliche Temperaturverteilung in Komponenten in Form einer Grundharmonischen und höherer Frequenzen zerlegt wird. Die Akademie der Wissenschaften konnte die Ergebnisse des Mathematikers jedoch nicht ignorieren und verlieh ihm einen Preis für die Theorie der Gesetze der Wärmeleitung sowie den Vergleich mit physikalischen Experimenten. Bei Fouriers Ansatz war der Haupteinwand die Tatsache, dass die diskontinuierliche Funktion durch die Summe mehrerer stetiger Sinusfunktionen dargestellt wird. Schließlich beschreiben sie zerrissene gerade und geschwungene Linien. Die Zeitgenossen des Wissenschaftlers sind nie auf eine ähnliche Situation gestoßen, als diskontinuierliche Funktionen durch eine Kombination stetiger Funktionen wie quadratisch, linear, sinusförmig oder exponentiell beschrieben wurden. Für den Fall, dass der Mathematiker mit seinen Aussagen Recht hatte, sollte die Summe einer unendlichen Reihe einer trigonometrischen Funktion schrittweise auf eine exakte reduziert werden. Eine solche Aussage erschien damals absurd. Trotz Zweifel haben einige Forscher (z. B. Claude Navier, Sophie Germain) den Umfang der Forschung erweitert und sie über die Analyse der Verteilung thermischer Energie hinausgeführt. Mathematiker ringen derweil weiter mit der Frage, ob sich die Summe mehrerer Sinusfunktionen auf die exakte Darstellung einer unstetigen Funktion zurückführen lässt.
200 Jahre altGeschichte
Diese Theorie hat sich über zwei Jahrhunderte entwickelt und ist heute endlich entstanden. Mit seiner Hilfe werden räumliche oder zeitliche Funktionen in sinusförmige Komponenten zerlegt, die eine eigene Frequenz, Phase und Amplitude haben. Diese Transformation wird durch zwei verschiedene mathematische Verfahren erh alten. Die erste wird verwendet, wenn die ursprüngliche Funktion kontinuierlich ist, und die zweite, wenn sie durch eine Reihe diskreter individueller Änderungen dargestellt wird. Wenn der Ausdruck aus Werten erh alten wird, die durch diskrete Intervalle definiert sind, kann er in mehrere sinusförmige Ausdrücke mit diskreten Frequenzen unterteilt werden - vom niedrigsten und dann zweimal, dreimal usw. höher als der Hauptausdruck. Eine solche Summe wird Fourier-Reihe genannt. Wenn dem Anfangsausdruck für jede reelle Zahl ein Wert gegeben wird, kann er in mehrere Sinuskurven aller möglichen Frequenzen zerlegt werden. Es wird allgemein als Fourier-Integral bezeichnet, und die Lösung impliziert integrale Transformationen der Funktion. Unabhängig davon, wie die Umrechnung erfolgt, müssen für jede Frequenz zwei Zahlen angegeben werden: Amplitude und Frequenz. Diese Werte werden als einzelne komplexe Zahl ausgedrückt. Die Theorie der Ausdrücke komplexer Variablen ermöglichte zusammen mit der Fourier-Transformation die Durchführung von Berechnungen beim Entwurf verschiedener elektrischer Sch altungen, die Analyse mechanischer Schwingungen, die Untersuchung des Mechanismus der Wellenausbreitung und vieles mehr.
Fourier-Transformation heute
Heute beschränkt sich die Untersuchung dieses Prozesses hauptsächlich darauf, effektiv zu seinÜbergangsmethoden von einer Funktion in ihre transformierte Form und umgekehrt. Diese Lösung wird als direkte und inverse Fourier-Transformation bezeichnet. Was bedeutet das? Um das Integral zu bestimmen und eine direkte Fourier-Transformation zu erzeugen, kann man mathematische oder analytische Methoden verwenden. Trotz gewisser Schwierigkeiten bei der Anwendung in der Praxis sind die meisten Integrale bereits gefunden und in mathematische Nachschlagewerke aufgenommen worden. Numerische Methoden können verwendet werden, um Ausdrücke zu berechnen, deren Form auf experimentellen Daten basiert, oder Funktionen, deren Integrale nicht in Tabellen verfügbar und in analytischer Form schwierig darzustellen sind.
Vor dem Aufkommen von Computern waren die Berechnungen solcher Transformationen sehr mühsam, sie erforderten die manuelle Ausführung einer großen Anzahl von arithmetischen Operationen, die von der Anzahl der Punkte abhing, die die Wellenfunktion beschreiben. Um Berechnungen zu erleichtern, gibt es heute spezielle Programme, die es ermöglicht haben, neue Analysemethoden zu implementieren. Also entwickelten James Cooley und John Tukey 1965 eine Software, die als „Fast Fourier Transform“bekannt wurde. Es ermöglicht Ihnen, Zeit für Berechnungen zu sparen, indem Sie die Anzahl der Multiplikationen bei der Analyse der Kurve reduzieren. Das Verfahren der schnellen Fourier-Transformation basiert auf der Aufteilung der Kurve in eine große Anzahl einheitlicher Abtastwerte. Dementsprechend halbiert sich die Anzahl der Multiplikationen bei gleicher Abnahme der Punktzahl.
Fourier-Transformation anwenden
DiesDas Verfahren wird in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft verwendet: in Zahlentheorie, Physik, Signalverarbeitung, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Kryptographie, Statistik, Ozeanologie, Optik, Akustik, Geometrie und anderen. Die reichen Anwendungsmöglichkeiten basieren auf einer Reihe nützlicher Eigenschaften, die als "Fourier-Transformationseigenschaften" bezeichnet werden. Betrachten Sie sie.
1. Die Funktionstransformation ist ein linearer Operator und bei entsprechender Normierung unitär. Diese Eigenschaft ist als Satz von Parseval oder allgemein als Satz von Plancherel oder Dualismus von Pontryagin bekannt.
2. Die Transformation ist reversibel. Außerdem hat das umgekehrte Ergebnis fast die gleiche Form wie bei der direkten Lösung.
3. Sinusförmige Basisausdrücke sind eigene differenzierte Funktionen. Das bedeutet, dass eine solche Darstellung lineare Gleichungen mit konstantem Koeffizienten in gewöhnliche algebraische umwandelt.
4. Gemäß dem "F altungssatz" verwandelt dieser Vorgang eine komplexe Operation in eine elementare Multiplikation.
5. Die diskrete Fourier-Transformation lässt sich mit der "schnellen" Methode schnell auf einem Computer berechnen.
Varianten der Fourier-Transformation
1. Am häufigsten wird dieser Begriff verwendet, um eine kontinuierliche Transformation zu bezeichnen, die einen beliebigen quadratintegrierbaren Ausdruck als Summe komplexer Exponentialausdrücke mit bestimmten Winkelfrequenzen und Amplituden liefert. Diese Art hat mehrere verschiedene Formen, die könnenunterscheiden sich durch konstante Koeffizienten. Die kontinuierliche Methode enthält eine Umrechnungstabelle, die in mathematischen Nachschlagewerken zu finden ist. Ein verallgemeinerter Fall ist eine gebrochene Transformation, durch die der gegebene Prozess auf die erforderliche reelle Potenz erhoben werden kann.
2. Der kontinuierliche Modus ist eine Verallgemeinerung der frühen Technik der Fourier-Reihen, die für verschiedene periodische Funktionen oder Ausdrücke definiert wurden, die in einem begrenzten Bereich existieren und sie als Reihen von Sinuskurven darstellen.
3. Diskrete Fourier-Transformation. Dieses Verfahren wird in der Computertechnik für wissenschaftliche Berechnungen und zur digitalen Signalverarbeitung eingesetzt. Um diese Art von Berechnung durchzuführen, sind Funktionen erforderlich, die anstelle von kontinuierlichen Fourier-Integralen einzelne Punkte, periodische oder begrenzte Bereiche auf einer diskreten Menge definieren. Die Sign altransformation wird dabei als Summe von Sinuskurven dargestellt. Gleichzeitig ermöglicht die Verwendung der „schnellen“Methode, diskrete Lösungen für beliebige praktische Probleme anzuwenden.
4. Die gefensterte Fourier-Transformation ist eine verallgemeinerte Form des klassischen Verfahrens. Im Gegensatz zur Standardlösung ist bei Verwendung des Signalspektrums, das im vollen Bereich der Existenz einer gegebenen Größe aufgenommen wird, hier nur die örtliche Häufigkeitsverteilung von besonderem Interesse, sofern die ursprüngliche Größe (Zeit) erh alten bleibt.
5. Zweidimensionale Fourier-Transformation. Diese Methode wird verwendet, um mit zweidimensionalen Datenarrays zu arbeiten. In diesem Fall wird die Transformation zuerst in eine Richtung und dann in die Richtung durchgeführtandere.
Schlussfolgerung
Heute ist die Fourier-Methode in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft fest verankert. Beispielsweise wurde 1962 die Form der DNA-Doppelhelix durch Fourier-Analyse in Kombination mit Röntgenbeugung entdeckt. Letztere wurden auf Kristalle von DNA-Fasern fokussiert, wodurch das durch Beugung von Strahlung erh altene Bild auf Film aufgezeichnet wurde. Dieses Bild gab Aufschluss über den Wert der Amplitude bei Anwendung der Fourier-Transformation auf eine gegebene Kristallstruktur. Phasendaten wurden erh alten, indem die Beugungskarte von DNA mit Karten verglichen wurde, die aus der Analyse ähnlicher chemischer Strukturen erh alten wurden. Als Ergebnis haben Biologen die Kristallstruktur wiederhergestellt – die ursprüngliche Funktion.
Fourier-Transformationen spielen eine große Rolle bei der Erforschung des Weltraums, der Halbleiter- und Plasmaphysik, der Mikrowellenakustik, der Ozeanographie, des Radars, der Seismologie und der medizinischen Untersuchungen.
