Polynom, oder Polynom - eine der grundlegenden algebraischen Strukturen, die in der Schul- und höheren Mathematik zu finden ist. Das Studium eines Polynoms ist das wichtigste Thema in einem Algebrakurs, da Polynome einerseits im Vergleich zu anderen Arten von Funktionen recht einfach sind und andererseits häufig zur Lösung von Problemen der mathematischen Analyse verwendet werden. Was ist also ein Polynom?
Definition
Die Definition des Begriffs Polynom kann durch das Konzept eines Monoms oder Monoms gegeben werden.
Ein Monom ist ein Ausdruck der Form cx1i1x2 i2 …x in. Hier ist с eine Konstante, x1, x2, … x - Variablen, i1, i2, … in - Exponenten von Variablen. Dann ist ein Polynom jede endliche Summe von Monomen.
Um zu verstehen, was ein Polynom ist, können Sie sich konkrete Beispiele ansehen.
Das quadratische Trinom, ausführlich besprochen im Mathematikkurs der 8. Klasse, ist ein Polynom: ax2+bx+c.
Ein Polynom mit zwei Variablen könnte so aussehen: x2-xy+y2. Solchein Polynom wird auch als unvollständiges Quadrat der Differenz zwischen x und y bezeichnet.
Polynomklassifikationen
Polynomgrad
Finde für jedes Monom im Polynom die Summe der Exponenten i1+i2+…+in. Die größte der Summen heißt Exponent des Polynoms, und das dieser Summe entsprechende Monom heißt höchster Term.
Übrigens kann jede Konstante als Polynom nullten Grades betrachtet werden.
Reduzierte und nicht reduzierte Polynome
Ist der Koeffizient c für den höchsten Term gleich 1, dann ist das Polynom gegeben, sonst nicht.
Zum Beispiel ist der Ausdruck x2+2x+1 ein reduziertes Polynom, und 2x2+2x+1 ist nicht reduziert.
Homogene und inhomogene Polynome
Wenn die Grade aller Glieder eines Polynoms gleich sind, dann nennen wir ein solches Polynom homogen. Alle anderen Polynome gelten als inhomogen.
Homogene Polynome: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogen: x+1, x2+y.
Es gibt spezielle Namen für ein Polynom aus zwei und drei Termen: Binomial bzw. Trinom.
Polynome einer Variablen werden einer eigenen Kategorie zugeordnet.
Anwendung eines Polynoms einer Variablen
Polynome einer Variablen approximieren gut stetige Funktionen unterschiedlicher Komplexität aus einem Argument.
Tatsächlich kann man solche Polynome als Teilsummen einer Potenzreihe auffassen und eine stetige Funktion als Reihe mit beliebig kleinem Fehler darstellen. Die Entwicklungsreihen einer Funktion werden Taylorreihen genannt, und ihrePartialsummen in Form von Polynomen - Taylor-Polynome.
Das Verh alten einer Funktion grafisch zu untersuchen, indem man sie mit einem Polynom approximiert, ist oft einfacher, als dieselbe Funktion direkt zu untersuchen oder eine Reihe zu verwenden.
Es ist einfach, nach Ableitungen von Polynomen zu suchen. Um die Wurzeln von Polynomen 4. Grades und darunter zu finden, gibt es vorgefertigte Formeln, und für die Arbeit mit höheren Graden werden hochpräzise Näherungsalgorithmen verwendet.
Es gibt auch eine Verallgemeinerung der beschriebenen Polynome für Funktionen mehrerer Veränderlicher.
Newtons Binom
Berühmte Polynome sind Newtonsche Polynome, die von Wissenschaftlern abgeleitet wurden, um die Koeffizienten des Ausdrucks (x + y) zu finden.
Es genügt, sich die ersten paar Potenzen der Binomialzerlegung anzusehen, um sicherzustellen, dass die Formel nicht trivial ist:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Für jeden Koeffizienten gibt es einen Ausdruck, mit dem Sie ihn berechnen können. Das Auswendiglernen umständlicher Formeln und jedes Mal die Durchführung der erforderlichen arithmetischen Operationen wäre jedoch für jene Mathematiker, die solche Erweiterungen häufig benötigen, äußerst unpraktisch. Pascals Dreieck hat ihnen das Leben viel leichter gemacht.
Die Figur ist nach folgendem Prinzip aufgebaut. 1 wird oben auf das Dreieck geschrieben, und in jeder nächsten Zeile wird es zu einer weiteren Ziffer, 1 wird an die Ränder gesetzt und die Mitte der Zeile wird mit den Summen zweier benachbarter Zahlen aus der vorherigen gefüllt.
Wenn Sie sich die Abbildung ansehen, wird alles klar.
Natürlich beschränkt sich die Verwendung von Polynomen in der Mathematik nicht auf die angegebenen Beispiele, die bekanntesten.
