Eines der Axiome der Geometrie besagt, dass es möglich ist, durch zwei beliebige Punkte eine einzige gerade Linie zu ziehen. Dieses Axiom bezeugt, dass es einen eindeutigen numerischen Ausdruck gibt, der das angegebene eindimensionale geometrische Objekt eindeutig beschreibt. Betrachten Sie in dem Artikel die Frage, wie man die Gleichung einer geraden Linie schreibt, die durch zwei Punkte geht.
Was ist ein Punkt und eine Gerade?
Bevor man sich mit der Frage befasst, im Raum und in der Ebene eine gerade Linie einer Gleichung zu konstruieren, die durch ein Paar verschiedener Punkte geht, sollte man die angegebenen geometrischen Objekte definieren.
Ein Punkt ist durch einen Satz von Koordinaten in einem gegebenen System von Koordinatenachsen eindeutig bestimmt. Darüber hinaus gibt es keine weiteren Merkmale für den Punkt. Sie ist ein nulldimensionales Objekt.
Wenn man von einer geraden Linie spricht, stellt sich jede Person eine Linie vor, die auf einem weißen Blatt Papier abgebildet ist. Gleichzeitig ist eine exakte geometrische Definition möglichdieses Objekt. Eine gerade Linie ist eine solche Ansammlung von Punkten, für die die Verbindung jedes von ihnen mit allen anderen eine Menge paralleler Vektoren ergibt.
Diese Definition wird beim Aufstellen der Vektorgleichung einer Geraden verwendet, was weiter unten besprochen wird.
Da jede Linie mit einem Segment beliebiger Länge markiert werden kann, spricht man von einem eindimensionalen geometrischen Objekt.
Zahlenvektorfunktion
Eine Gleichung durch zwei Punkte einer durchgehenden Geraden kann in verschiedenen Formen geschrieben werden. In dreidimensionalen und zweidimensionalen Räumen ist der wichtigste und intuitiv verständliche numerische Ausdruck ein Vektor.
Angenommen, es gibt eine gerichtete Strecke u¯(a; b; c). Im dreidimensionalen Raum kann der Vektor u¯ an jedem beliebigen Punkt beginnen, sodass seine Koordinaten einen unendlichen Satz paralleler Vektoren definieren. Wenn wir jedoch einen bestimmten Punkt P(x0; y0; z0) wählen und setzen es als Anfang des Vektors u¯, dann kann man durch Multiplikation dieses Vektors mit einer beliebigen reellen Zahl λ alle Punkte einer geraden Linie im Raum erh alten. Das heißt, die Vektorgleichung wird geschrieben als:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Offensichtlich nimmt die numerische Funktion für den Fall in der Ebene die Form an:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Der Vorteil dieses Gleichungstyps gegenüber den anderen (in Segmenten, kanonisch,allgemeine Form) liegt darin, dass sie explizit die Koordinaten des Richtungsvektors enthält. Letzteres wird oft verwendet, um zu bestimmen, ob Linien parallel oder rechtwinklig sind.
Allgemeines in Segmenten und kanonische Funktion für eine Gerade im zweidimensionalen Raum
Beim Lösen von Problemen muss man manchmal die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht, in einer bestimmten Form aufschreiben. Daher sollten andere Möglichkeiten zur Spezifikation dieses geometrischen Objekts im zweidimensionalen Raum angegeben werden (der Einfachheit halber betrachten wir den Fall in der Ebene).
Beginnen wir mit einer allgemeinen Gleichung. Es hat die Form:
Ax + By + C=0
In der Ebene schreibt man in der Regel die Geradengleichung in dieser Form, nur y ist explizit durch x definiert.
Formen Sie nun den obigen Ausdruck wie folgt um:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Dieser Ausdruck wird als Segmentgleichung bezeichnet, da der Nenner für jede Variable angibt, wie lange die Strecke auf der entsprechenden Koordinatenachse relativ zum Startpunkt (0; 0) abschneidet.
Es bleibt noch ein Beispiel für die kanonische Gleichung zu geben. Dazu schreiben wir die Vektorgleichheit explizit:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Lassen Sie uns den Parameter λ von hier aus ausdrücken und die resultierenden Gleichungen gleichsetzen:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Die letzte Gleichheit heißt Gleichung in kanonischer oder symmetrischer Form.
Jeder von ihnen kann in einen Vektor umgewandelt werden und umgekehrt.
Die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht: eine Kompiliertechnik
Zurück zur Frage des Artikels. Angenommen, es gibt zwei Punkte im Raum:
M(x1; y1; z1) und N(x 2; y2; z2)
Durch sie verläuft die einzige Gerade, deren Gleichung in Vektorform sehr einfach zu erstellen ist. Dazu berechnen wir die Koordinaten der gerichteten Strecke MN¯, es gilt:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Es ist nicht schwer zu erraten, dass dieser Vektor die Führung für die gerade Linie sein wird, deren Gleichung erh alten werden muss. Da Sie wissen, dass es auch durch M und N geht, können Sie die Koordinaten von jedem von ihnen für einen Vektorausdruck verwenden. Dann nimmt die gesuchte Gleichung die Form an:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Für den Fall im zweidimensionalen Raum erh alten wir eine ähnliche Gleichheit ohne Beteiligung der Variablen z.
Sobald die Vektorgleichheit für die Linie geschrieben ist, kann sie in jede andere Form übersetzt werden, die die Fragestellung erfordert.
Aufgabe:schreibe eine allgemeine Gleichung
Es ist bekannt, dass eine Gerade durch die Punkte mit den Koordinaten (-1; 4) und (3; 2) verläuft. Es ist notwendig, die Gleichung einer durch sie verlaufenden geraden Linie in allgemeiner Form aufzustellen, die y durch x ausdrückt.
Um das Problem zu lösen, schreiben wir die Gleichung zunächst in Vektorform. Die Vektorkoordinaten (Führungskoordinaten) sind:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Dann ist die Vektorform der Geradengleichung die folgende:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Es bleibt, es in allgemeiner Form in der Form y(x) zu schreiben. Wir schreiben diese Gleichheit explizit um, drücken den Parameter λ aus und schließen ihn aus der Gleichung aus:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Aus der resultierenden kanonischen Gleichung drücken wir y aus und kommen zur Antwort auf die Frage des Problems:
y=-0,5x + 3,5
Die Gültigkeit dieser Gleichheit kann überprüft werden, indem die Koordinaten der in der Aufgabenstellung angegebenen Punkte ersetzt werden.
Problem: eine gerade Linie, die durch die Mitte des Segments geht
Nun wollen wir ein interessantes Problem lösen. Angenommen, es seien zwei Punkte M(2; 1) und N(5; 0) gegeben. Es ist bekannt, dass eine gerade Linie durch den Mittelpunkt des Segments verläuft, das die Punkte verbindet, und senkrecht dazu steht. Schreibe die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Mitte des Segments geht, in Vektorform.
Der gewünschte Zahlenausdruck kann gebildet werden, indem man die Koordinate dieses Zentrums berechnet und den Richtungsvektor bestimmt, derSegment bildet einen Winkel 90o.
Der Mittelpunkt des Segments ist:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Berechnen wir nun die Koordinaten des Vektors MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Da der Richtungsvektor für die gesuchte Gerade senkrecht zu MN¯ steht, ist ihr Skalarprodukt gleich Null. Damit können Sie die unbekannten Koordinaten (a; b) des Lenkvektors berechnen:
a3 - b=0=>
b=3a
Schreibe jetzt die Vektorgleichung:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Hier haben wir das Produkt aλ durch einen neuen Parameter β ersetzt.
Daher haben wir die Gleichung einer geraden Linie aufgestellt, die durch die Mitte des Segments geht.
