Polyeder erregten schon in der Antike die Aufmerksamkeit von Mathematikern und Wissenschaftlern. Die Ägypter bauten die Pyramiden. Und die Griechen studierten "reguläre Polyeder". Sie werden manchmal als platonische Körper bezeichnet. "Traditionelle Polyeder" bestehen aus flachen Flächen, geraden Kanten und Ecken. Aber die Hauptfrage war immer, welche Regeln diese einzelnen Teile erfüllen müssen, sowie welche zusätzlichen globalen Bedingungen erfüllt sein müssen, damit ein Objekt als Polyeder qualifiziert werden kann. Die Antwort auf diese Frage wird im Artikel vorgestellt.
Definitionsprobleme
Woraus besteht diese Zahl? Ein Polyeder ist eine geschlossene feste Form mit flachen Flächen und geraden Kanten. Daher kann das erste Problem seiner Definition genau als Seiten der Figur bezeichnet werden. Nicht alle Flächen, die in Ebenen liegen, sind immer ein Zeichen für einen Polyeder. Nehmen wir als Beispiel den „dreieckigen Zylinder“. Woraus besteht es? Ein Teil seiner Oberfläche drei paarweisesich schneidende vertikale Ebenen können nicht als Polygone betrachtet werden. Der Grund dafür ist, dass es keine Ecken hat. Die Oberfläche einer solchen Figur wird aus drei Strahlen gebildet, die sich in einem Punkt treffen.
Noch ein Problem - Flugzeuge. Beim „Dreieckszylinder“liegt sie in ihren unbegrenzten Teilen. Eine Figur wird als konvex betrachtet, wenn das Liniensegment, das zwei beliebige Punkte in der Menge verbindet, auch darin enth alten ist. Lassen Sie uns eine ihrer wichtigen Eigenschaften vorstellen. Bei konvexen Mengen ist die Menge der gemeinsamen Punkte dieselbe. Es gibt noch eine andere Art von Figuren. Dies sind nicht konvexe 2D-Polyeder, die entweder Kerben oder Löcher haben.
Formen, die keine Polyeder sind
Eine flache Menge von Punkten kann anders sein (zum Beispiel nicht konvex) und nicht der üblichen Definition eines Polyeders genügen. Auch durch sie hindurch ist sie durch Streckenabschnitte begrenzt. Die Linien eines konvexen Polyeders bestehen aus konvexen Figuren. Dieser Definitionsansatz schließt jedoch eine Figur aus, die ins Unendliche geht. Ein Beispiel hierfür wären drei Strahlen, die sich nicht am selben Punkt treffen. Aber gleichzeitig sind sie mit den Scheitelpunkten einer anderen Figur verbunden. Traditionell war es für einen Polyeder wichtig, dass er aus ebenen Flächen besteht. Aber im Laufe der Zeit erweiterte sich das Konzept, was zu einer deutlichen Verbesserung des Verständnisses der ursprünglichen "schmaleren" Klasse der Polyeder führte, sowie zur Entstehung einer neuen, breiteren Definition.
Richtig
Lassen Sie uns eine weitere Definition einführen. Ein regelmäßiges Polyeder ist eines, bei dem jede Fläche kongruent regelmäßig istkonvexe Polygone, und alle Eckpunkte sind "gleich". Das bedeutet, dass jeder Scheitelpunkt die gleiche Anzahl regelmäßiger Polygone hat. Verwenden Sie diese Definition. Du kannst also fünf reguläre Polyeder finden.
Erste Schritte zum Satz von Euler für Polyeder
Die Griechen kannten das Polygon, das heute Pentagramm genannt wird. Dieses Polygon könnte regelmäßig genannt werden, weil alle seine Seiten gleich lang sind. Es gibt noch einen weiteren wichtigen Hinweis. Der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Seiten ist immer gleich. Wenn es jedoch in einer Ebene gezeichnet wird, definiert es keine konvexe Menge, und die Seiten des Polyeders schneiden einander. Dies war jedoch nicht immer der Fall. Mathematiker haben lange über die Idee von "nicht-konvexen" regulären Polyedern nachgedacht. Das Pentagramm war eines davon. Auch "Sternpolygone" waren erlaubt. Mehrere neue Beispiele für "reguläre Polyeder" wurden entdeckt. Jetzt heißen sie Kepler-Poinsot-Polyeder. Später erweiterten G. S. M. Coxeter und Branko Grünbaum die Regeln und entdeckten weitere "reguläre Polyeder".
Polyederformel
Die systematische Untersuchung dieser Figuren begann relativ früh in der Geschichte der Mathematik. Leonhard Euler bemerkte als erster, dass für konvexe 3D-Polyeder eine Formel gilt, die sich auf die Anzahl ihrer Ecken, Flächen und Kanten bezieht.
Sie sieht so aus:
V + F - E=2, wobei V die Anzahl der Polyederecken, F die Anzahl der Kanten der Polyeder und E die Anzahl der Flächen ist.
Leonhard Euler ist SchweizerMathematiker, der als einer der größten und produktivsten Wissenschaftler aller Zeiten gilt. Er war die meiste Zeit seines Lebens blind, aber der Verlust seines Augenlichts gab ihm einen Grund, noch produktiver zu werden. Es gibt mehrere Formeln, die nach ihm benannt sind, und die, die wir uns gerade angesehen haben, wird manchmal als Euler-Polyeder-Formel bezeichnet.
Es gibt eine Klarstellung. Eulers Formel funktioniert jedoch nur für Polyeder, die bestimmten Regeln folgen. Sie liegen darin, dass die Form keine Löcher haben soll. Und es ist inakzeptabel, dass es sich selbst kreuzt. Ein Polyeder kann auch nicht aus zwei miteinander verbundenen Teilen bestehen, wie z. B. zwei Würfel mit derselben Ecke. Euler erwähnt das Ergebnis seiner Forschungen 1750 in einem Brief an Christian Goldbach. Später veröffentlichte er zwei Abhandlungen, in denen er beschrieb, wie er versuchte, Beweise für seine neue Entdeckung zu finden. Tatsächlich gibt es Formen, die eine andere Antwort auf V + F - E geben. Die Antwort auf die Summe F + V - E=X wird als Euler-Charakteristik bezeichnet. Sie hat einen anderen Aspekt. Einige Formen können sogar eine Euler-Charakteristik haben, die negativ ist
Graphentheorie
Manchmal wird behauptet, Descartes habe den Satz von Euler früher hergeleitet. Obwohl dieser Wissenschaftler Fakten über dreidimensionale Polyeder entdeckte, die es ihm ermöglichen würden, die gewünschte Formel abzuleiten, unternahm er diesen zusätzlichen Schritt nicht. Heute gilt Euler als der „Vater“der Graphentheorie. Mit seinen Ideen löste er das Problem der Königsberger Brücke. Aber der Wissenschaftler betrachtete das Polyeder nicht im ZusammenhangGraphentheorie. Euler versuchte, eine Formel zu beweisen, die auf der Zerlegung eines Polyeders in einfachere Teile basiert. Dieser Versuch entspricht nicht modernen Beweisstandards. Obwohl Euler nicht die erste richtige Begründung für seine Formel lieferte, kann man nicht aufgestellte Vermutungen nicht beweisen. Die später belegten Ergebnisse erlauben es aber, den Satz von Euler auch zum jetzigen Zeitpunkt anzuwenden. Den ersten Beweis lieferte der Mathematiker Adrian Marie Legendre.
Beweis der Eulerschen Formel
Euler formulierte zuerst die Polyederformel als Satz über Polyeder. Heute wird es oft im allgemeineren Kontext verbundener Graphen behandelt. Zum Beispiel als Strukturen, die aus Punkten und sie verbindenden Liniensegmenten bestehen, die sich im selben Teil befinden. Augustin Louis Cauchy war der Erste, der diesen wichtigen Zusammenhang entdeckte. Es diente als Beweis für den Satz von Euler. Er bemerkte im Wesentlichen, dass der Graph eines konvexen Polyeders (oder was heute so genannt wird) topologisch homöomorph zu einer Kugel ist, einen planar zusammenhängenden Graphen hat. Was ist das? Ein planarer Graph ist ein Graph, der so in der Ebene gezeichnet wurde, dass sich seine Kanten nur an einem Scheitelpunkt treffen oder schneiden. Hier wurde der Zusammenhang zwischen Eulers Theorem und Graphen gefunden.
Ein Hinweis auf die Bedeutung des Ergebnisses ist, dass David Epstein siebzehn verschiedene Beweise sammeln konnte. Es gibt viele Möglichkeiten, die polyedrische Formel von Euler zu rechtfertigen. In gewisser Weise sind die offensichtlichsten Beweise Methoden, die mathematische Induktion verwenden. Das Ergebnis kann bewiesen werdenZeichnen Sie es entlang der Anzahl der Kanten, Flächen oder Scheitelpunkte des Graphen.
Nachweis von Rademacher und Toeplitz
Besonders attraktiv ist der folgende Beweis von Rademacher und Toeplitz, basierend auf dem Ansatz von von Staudt. Um den Satz von Euler zu rechtfertigen, nehmen wir an, dass G ein zusammenhängender Graph ist, der in eine Ebene eingebettet ist. Wenn es Schemata hat, ist es möglich, eine Kante von jedem von ihnen so auszuschließen, dass die Eigenschaft, dass sie verbunden bleibt, erh alten bleibt. Es gibt eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den entfernten Teilen, um ohne Abschluss zum verbundenen Graphen zu gehen, und denen, die keine unendliche Kante sind. Diese Forschung führte zur Klassifikation „orientierbarer Flächen“nach der sogenannten Euler-Charakteristik.
Jordanische Kurve. Satz
Die Hauptthese, die direkt oder indirekt im Beweis der Polyederformel des Euler-Theorems für Graphen verwendet wird, hängt von der Jordan-Kurve ab. Diese Idee hängt mit der Verallgemeinerung zusammen. Es besagt, dass jede einfache geschlossene Kurve die Ebene in drei Gruppen unterteilt: Punkte darauf, innerhalb und außerhalb. Als sich im 19. Jahrhundert das Interesse an Eulers polyedrischer Formel entwickelte, wurden viele Versuche unternommen, sie zu verallgemeinern. Diese Forschung legte den Grundstein für die Entwicklung der algebraischen Topologie und verband sie mit Algebra und Zahlentheorie.
Möbiusgruppe
Es stellte sich bald heraus, dass einige Oberflächen nur lokal einheitlich "ausgerichtet" werden konnten, nicht global. Als Beispiel dient die bekannte Möbius-GruppeOberflächen. Entdeckt wurde sie schon etwas früher von Johann Listing. Dieses Konzept beinh altet den Begriff der Gattung eines Graphen: die geringste Anzahl von Deskriptoren g. Sie muss der Kugeloberfläche hinzugefügt werden und kann auf der erweiterten Oberfläche so eingebettet werden, dass sich die Kanten nur an den Ecken treffen. Es stellt sich heraus, dass jede orientierbare Fläche im euklidischen Raum als Kugel mit einer bestimmten Anzahl von Griffen betrachtet werden kann.
Euler-Diagramm
Der Wissenschaftler machte eine weitere Entdeckung, die noch heute verwendet wird. Dieses sogenannte Euler-Diagramm ist eine grafische Darstellung von Kreisen, die normalerweise verwendet wird, um Beziehungen zwischen Mengen oder Gruppen zu veranschaulichen. Die Diagramme enth alten normalerweise Farben, die sich in Bereichen mischen, in denen sich die Kreise überlappen. Mengen werden genau durch Kreise oder Ovale dargestellt, obwohl auch andere Figuren für sie verwendet werden können. Ein Einschluss wird durch eine Überlappung von Ellipsen dargestellt, die Euler-Kreise genannt werden.
Sie repräsentieren Mengen und Teilmengen. Die Ausnahme bilden nicht überlappende Kreise. Euler-Diagramme sind eng mit anderen grafischen Darstellungen verwandt. Sie sind oft verwirrt. Diese grafische Darstellung wird Venn-Diagramme genannt. Abhängig von den jeweiligen Sets können beide Versionen gleich aussehen. In Venn-Diagrammen weisen überlappende Kreise jedoch nicht unbedingt auf Gemeinsamkeiten zwischen Mengen hin, sondern nur auf eine mögliche logische Beziehung, wenn ihre Beschriftungen nicht vorhanden sindsich schneidender Kreis. Beide Optionen wurden im Rahmen der neuen mathematischen Bewegung der 1960er Jahre für den Unterricht der Mengenlehre übernommen.
Sätze von Fermat und Euler
Euler hat in der mathematischen Wissenschaft deutliche Spuren hinterlassen. Die algebraische Zahlentheorie wurde um einen nach ihm benannten Satz bereichert. Es ist auch eine Folge einer anderen wichtigen Entdeckung. Dies ist der sogenannte allgemeine algebraische Satz von Lagrange. Eulers Name ist auch mit dem kleinen Satz von Fermat verbunden. Es besagt, wenn p eine Primzahl und a eine ganze Zahl ist, die nicht durch p teilbar ist, dann gilt:
ap-1 - 1 ist teilbar durch p.
Manchmal hat dieselbe Entdeckung einen anderen Namen, meistens in der ausländischen Literatur. Es klingt wie der Weihnachtssatz von Fermat. Die Sache ist, dass die Entdeckung dank eines Briefes eines Wissenschaftlers bekannt wurde, der am Vorabend des 25. Dezember 1640 gesendet wurde. Aber die Aussage selbst ist schon einmal vorgekommen. Es wurde von einem anderen Wissenschaftler namens Albert Girard verwendet. Fermat versuchte nur, seine Theorie zu beweisen. Der Autor deutet in einem anderen Brief an, dass er von der unendlichen Abstiegsmethode inspiriert wurde. Aber Beweise lieferte er nicht. Später wandte sich auch Eider der gleichen Methode zu. Und nach ihm viele andere berühmte Wissenschaftler, darunter Lagrange, Gauß und Minkosky.
Merkmale von Identitäten
Der kleine Satz von Fermat wird wegen Euler auch als Spezialfall eines Satzes aus der Zahlentheorie bezeichnet. In dieser Theorie zählt die Euler-Identitätsfunktion positive ganze Zahlen bis zu einer gegebenen ganzen Zahl n. Sie sind teilerfremd in Bezug aufn. Eulers Satz in der Zahlentheorie wird mit dem griechischen Buchstaben φ geschrieben und sieht aus wie φ(n). Sie kann formaler definiert werden als die Anzahl der ganzen Zahlen k im Bereich 1 ≦ k ≦ n, für die der größte gemeinsame Teiler ggT(n, k) 1 ist. Die Notation φ(n) kann auch Eulers Phi-Funktion genannt werden. Ganze Zahlen k dieser Form werden manchmal als totativ bezeichnet. Im Herzen der Zahlentheorie ist die Euler-Identitätsfunktion multiplikativ, was bedeutet, dass wenn zwei Zahlen m und n teilerfremd sind, dann φ(mn)=φ(m)φ(n). Es spielt auch eine Schlüsselrolle bei der Definition des RSA-Verschlüsselungssystems.
Die Euler-Funktion wurde 1763 eingeführt. Allerdings wählte der Mathematiker damals kein bestimmtes Symbol dafür. In einer Veröffentlichung von 1784 untersuchte Euler diese Funktion genauer und wählte den griechischen Buchstaben π, um sie darzustellen. James Sylvester hat für diese Funktion den Begriff „total“geprägt. Daher wird sie auch als Eulersche Summe bezeichnet. Die Summe φ(n) einer positiven ganzen Zahl n größer als 1 ist die Anzahl positiver ganzer Zahlen kleiner als n, die teilerfremd bis n sind. φ(1) ist als 1 definiert. Die Euler-Funktion oder phi(φ)-Funktion ist eine sehr wichtige zahlentheoretische Funktion, die eng mit Primzahlen und der sogenannten Ordnung ganzer Zahlen verwandt ist.
