Ebenengleichungen. Winkel zwischen zwei Ebenen

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-02 17:44

Eine Ebene ist zusammen mit einem Punkt und einer Geraden ein grundlegendes geometrisches Element. Mit seiner Verwendung werden viele Figuren in der Raumgeometrie gebaut. In diesem Artikel werden wir uns eingehender mit der Frage befassen, wie man einen Winkel zwischen zwei Ebenen findet.

Konzept

Bevor du über den Winkel zwischen zwei Ebenen sprichst, solltest du gut verstehen, über welches Element in der Geometrie wir sprechen. Lassen Sie uns die Terminologie verstehen. Eine Ebene ist eine endlose Ansammlung von Punkten im Raum, durch deren Verbindung wir Vektoren erh alten. Letzteres wird senkrecht zu einem Vektor sein. Sie wird allgemein als die Normale zur Ebene bezeichnet.

Die obige Abbildung zeigt eine Ebene und zwei Normalenvektoren dazu. Es ist ersichtlich, dass beide Vektoren auf derselben Geraden liegen. Der Winkel zwischen ihnen beträgt 180o.

Gleichungen

Der Winkel zwischen zwei Ebenen kann bestimmt werden, wenn die mathematische Gleichung des betrachteten geometrischen Elements bekannt ist. Es gibt mehrere Arten solcher Gleichungen,deren Namen unten aufgeführt sind:

• allgemeiner Typ;
• Vektor;
• in Segmenten.

Diese drei Arten sind am bequemsten, um verschiedene Arten von Problemen zu lösen, daher werden sie am häufigsten verwendet.

Eine allgemeine Gleichung sieht so aus:

Ax + By + Cz + D=0.

Hier sind x, y, z die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der zur gegebenen Ebene gehört. Die Parameter A, B, C und D sind Zahlen. Die Bequemlichkeit dieser Notation liegt darin, dass die Zahlen A, B, C die Koordinaten eines Vektors sind, der senkrecht zur Ebene steht.

Die Vektorform der Ebene kann wie folgt dargestellt werden:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Hier (a₂, b₂, c₂) und (a ₁, b₁, c₁) - Parameter zweier Koordinatenvektoren, die zur betrachteten Ebene gehören. In dieser Ebene liegt auch der Punkt (x₀, y₀, z_{0). Die Parameter α und β können unabhängige und beliebige Werte annehmen.}

Schließlich wird die Segmentgleichung der Ebene in folgender mathematischer Form dargestellt:

x/p + y/q + z/l=1.

Hier sind p, q, l bestimmte Zahlen (auch negative). Diese Art von Gleichung ist nützlich, wenn es notwendig ist, eine Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem darzustellen, da die Zahlen p, q, l die Schnittpunkte mit den x-, y- und z-Achsen anzeigenFlugzeug.

Beachten Sie, dass jeder Gleichungstyp mit einfachen mathematischen Operationen in jeden anderen umgewandelt werden kann.

Formel für den Winkel zwischen zwei Ebenen

Betrachten Sie nun die folgende Nuance. Im dreidimensionalen Raum können zwei Ebenen nur auf zwei Arten lokalisiert werden. Entweder schneiden oder parallel sein. Zwischen zwei Ebenen ist der Winkel das, was zwischen ihren Leitvektoren (normal) liegt. 2 Vektoren schneiden sich und bilden 2 Winkel (im allgemeinen Fall spitz und stumpf). Der Winkel zwischen den Ebenen wird als spitz angesehen. Betrachten Sie die Gleichung.

Die Formel für den Winkel zwischen zwei Ebenen lautet:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Es ist leicht zu erraten, dass dieser Ausdruck eine direkte Folge des Skalarprodukts der Normalvektoren n₁¯ und n₂ ist ¯ für die betrachteten Ebenen. Der Betrag des Skalarprodukts im Zähler zeigt an, dass der Winkel θ nur Werte von 0^o bis 90^{o annehmen wird. Das Produkt der Beträge der Normalenvektoren im Nenner bedeutet das Produkt ihrer Längen.}

Beachte, wenn (n₁¯n_{2¯)=0, dann schneiden sich die Ebenen im rechten Winkel.}

Beispielaufgabe

Nachdem wir herausgefunden haben, was man den Winkel zwischen zwei Ebenen nennt, werden wir das folgende Problem lösen. Als Beispiel. Es ist also notwendig, den Winkel zwischen solchen Ebenen zu berechnen:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Um das Problem zu lösen, müssen Sie die Richtungsvektoren der Ebenen kennen. Für die erste Ebene ist der Normalenvektor: n₁¯=(2, -3, 0). Um den Normalenvektor der zweiten Ebene zu finden, sollte man die Vektoren nach den Parametern α und β multiplizieren. Das Ergebnis ist ein Vektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Um den Winkel θ zu bestimmen, verwenden wir die Formel aus dem vorherigen Absatz. Wir erh alten:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Der berechnete Winkel im Bogenmaß entspricht 31,26^o. Somit schneiden sich die Ebenen aus der Bedingung des Problems unter einem Winkel von 31, 26^o.