Linie und Ebene sind die beiden wichtigsten geometrischen Elemente, die verwendet werden können, um verschiedene Formen im 2D- und 3D-Raum zu konstruieren. Überlege, wie du den Abstand zwischen parallelen Linien und parallelen Ebenen findest.
Rechenaufgabe Gerade
Aus dem Schulgeometriekurs ist bekannt, dass in einem zweidimensionalen rechtwinkligen Koordinatensystem eine Linie in folgender Form angegeben werden kann:
y=kx + b.
Wobei k und b Zahlen sind (Parameter). Die geschriebene Form zur Darstellung einer Linie in einer Ebene ist eine Ebene, die im dreidimensionalen Raum parallel zur z-Achse verläuft. Aus diesem Grund verwenden wir in diesem Artikel für die mathematische Zuordnung einer geraden Linie eine bequemere und universellere Form - eine Vektorform.
Nehmen wir an, dass unsere Linie parallel zu einem Vektor u¯(a, b, c) verläuft und durch den Punkt P(x0,gehty0, z0). In diesem Fall wird seine Gleichung in Vektorform wie folgt dargestellt:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Hier ist λ eine beliebige Zahl. Wenn wir die Koordinaten explizit darstellen, indem wir den geschriebenen Ausdruck erweitern, erh alten wir eine parametrische Schreibweise einer geraden Linie.
Es ist praktisch, mit einer Vektorgleichung zu arbeiten, wenn man verschiedene Probleme löst, bei denen es notwendig ist, den Abstand zwischen parallelen Linien zu bestimmen.
Linien und der Abstand zwischen ihnen
Es ist sinnvoll, nur dann über den Abstand zwischen Linien zu sprechen, wenn sie parallel sind (im dreidimensionalen Fall gibt es auch einen Abstand zwischen schiefen Linien, der nicht Null ist). Wenn sich die Linien schneiden, dann ist es offensichtlich, dass sie den Abstand Null voneinander haben.
Der Abstand zwischen parallelen Linien ist die Länge der Senkrechten, die sie verbindet. Um diesen Indikator zu bestimmen, reicht es aus, einen beliebigen Punkt auf einer der Linien zu wählen und eine Senkrechte von ihm zu einer anderen fallen zu lassen.
Lassen Sie uns kurz das Verfahren zum Finden der gewünschten Entfernung beschreiben. Angenommen, wir kennen die Vektorgleichungen zweier Geraden, die in der folgenden allgemeinen Form dargestellt werden:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Konstruiere auf diesen Geraden ein Parallelogramm, so dass eine Seite PQ ist und die andere z. B. u. Offensichtlich ist die Höhe dieser Figur, vom Punkt P aus gezeichnet, die Länge der erforderlichen Senkrechten. Um es zu finden, können Sie das Folgende einfach anwendenFormel:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Da der Abstand zwischen geraden Linien die Länge des senkrechten Segments zwischen ihnen ist, reicht es gemäß dem geschriebenen Ausdruck aus, den Betrag des Vektorprodukts von PQ¯ und u¯ zu finden und das Ergebnis durch zu dividieren die Länge des Vektors u¯.
Ein Beispiel für eine Aufgabe zur Bestimmung des Abstands zwischen Geraden
Zwei Geraden sind durch die folgenden Vektorgleichungen gegeben:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Aus den geschriebenen Ausdrücken geht hervor, dass wir zwei parallele Linien haben. In der Tat, wenn wir die Koordinaten des Richtungsvektors der ersten Linie mit -1 multiplizieren, erh alten wir die Koordinaten des Richtungsvektors der zweiten Linie, was ihre Parallelität anzeigt.
Der Abstand zwischen geraden Linien wird anhand der im vorherigen Absatz des Artikels geschriebenen Formel berechnet. Wir haben:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Dann erh alten wir:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Beachte, dass anstelle der Punkte P und Q absolut beliebige Punkte, die zu diesen Linien gehören, verwendet werden könnten, um das Problem zu lösen. In diesem Fall würden wir den gleichen Abstand d erh alten.
Ebene in Geometrie setzen
Die Frage nach dem Abstand zwischen den Linien wurde oben ausführlich diskutiert. Lassen Sie uns nun zeigen, wie man den Abstand zwischen parallelen Ebenen ermittelt.
Jeder repräsentiert, was ein Flugzeug ist. Gemäß der mathematischen Definition ist das angegebene geometrische Element eine Ansammlung von Punkten. Wenn Sie außerdem alle möglichen Vektoren aus diesen Punkten zusammensetzen, stehen sie alle senkrecht zu einem einzigen Vektor. Letzteres wird normalerweise als Normale zur Ebene bezeichnet.
Um die Gleichung einer Ebene im dreidimensionalen Raum anzugeben, wird meistens die allgemeine Form der Gleichung verwendet. Das sieht so aus:
Ax + By + Cz + D=0.
Wo lateinische Großbuchstaben Zahlen sind. Es ist praktisch, diese Art von Ebenengleichung zu verwenden, da die Koordinaten des Normalenvektors darin explizit angegeben sind. Sie sind A, B, C.
Es ist leicht zu sehen, dass zwei Ebenen nur dann parallel sind, wenn ihre Normalen parallel sind.
Wie finde ich den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen?
Um die angegebene Entfernung zu bestimmen, sollten Sie genau verstehen, worum es geht. Als Abstand zwischen zueinander parallelen Ebenen wird die Länge der zu ihnen senkrechten Strecke verstanden. Die Enden dieses Segments gehören zu Ebenen.
Der Algorithmus zur Lösung solcher Probleme ist einfach. Dazu müssen Sie die Koordinaten von absolut jedem Punkt finden, der zu einer der beiden Ebenen gehört. Dann sollten Sie diese Formel verwenden:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Da der Abstand ein positiver Wert ist, steht das Moduluszeichen im Zähler. Die geschriebene Formel ist universell, da Sie damit den Abstand von der Ebene zu absolut jedem geometrischen Element berechnen können. Es genügt, die Koordinaten eines Punktes dieses Elements zu kennen.
Der Vollständigkeit halber sei angemerkt, dass sich diese Ebenen schneiden, wenn die Normalen zweier Ebenen nicht parallel zueinander sind. Der Abstand zwischen ihnen ist dann Null.
Das Problem der Abstandsbestimmung zwischen Ebenen
Es ist bekannt, dass zwei Ebenen durch die folgenden Ausdrücke gegeben sind:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Es ist notwendig zu beweisen, dass die Ebenen parallel sind, und auch den Abstand zwischen ihnen zu bestimmen.
Um den ersten Teil der Aufgabe zu lösen, musst du die erste Gleichung auf eine allgemeine Form bringen. Beachten Sie, dass es in der sogenannten Form einer Segmentgleichung gegeben ist. Multiplizieren Sie den linken und rechten Teil mit 15 und verschieben Sie alle Terme auf eine Seite der Gleichung, wir erh alten:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Schreiben wir die Koordinaten von zwei Normalenvektoren der Ebenen:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Es ist ersichtlich, dass wenn n2¯ mit 5 multipliziert wird, wir genau die Koordinaten n1¯ erh alten. Somit sind die betrachteten Ebenenparallel.
Um den Abstand zwischen parallelen Ebenen zu berechnen, wählen Sie einen beliebigen Punkt der ersten von ihnen aus und verwenden Sie die obige Formel. Nehmen wir zum Beispiel den Punkt (0, 0, 1), der zur ersten Ebene gehört. Dann erh alten wir:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Gewünschter Abstand ist 31 mm.
Abstand zwischen Ebene und Linie
Das vermittelte theoretische Wissen erlaubt es uns auch, das Problem der Abstandsbestimmung zwischen einer Geraden und einer Ebene zu lösen. Es wurde oben bereits erwähnt, dass die Formel, die für Berechnungen zwischen Ebenen gilt, universell ist. Es kann auch verwendet werden, um das Problem zu lösen. Wählen Sie dazu einfach einen beliebigen Punkt aus, der zu der angegebenen Linie gehört.
Das Hauptproblem bei der Abstandsbestimmung der betrachteten geometrischen Elemente ist der Nachweis ihrer Parallelität (wenn nicht, dann d=0). Die Parallelität lässt sich leicht beweisen, wenn man für die Gerade das Skalarprodukt aus der Normalen und dem Richtungsvektor berechnet. Wenn die betrachteten Elemente parallel sind, dann ist dieses Produkt gleich Null.
