Ein typisches geometrisches Problem besteht darin, den Winkel zwischen Linien zu finden. Wenn die Liniengleichungen in einer Ebene bekannt sind, können sie gezeichnet und der Winkel mit einem Winkelmesser gemessen werden. Diese Methode ist jedoch aufwendig und nicht immer möglich. Um den genannten Winkel herauszufinden, ist es nicht notwendig, gerade Linien zu zeichnen, er kann berechnet werden. Dieser Artikel beantwortet, wie das gemacht wird.
Eine Gerade und ihre Vektorgleichung
Jede gerade Linie kann als Vektor dargestellt werden, der bei -∞ beginnt und bei +∞ endet. In diesem Fall geht der Vektor durch einen Punkt im Raum. Somit sind alle Vektoren, die zwischen zwei beliebigen Punkten auf einer geraden Linie gezogen werden können, parallel zueinander. Mit dieser Definition können Sie die Geradengleichung in Vektorform aufstellen:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Hier ist der Vektor mit den Koordinaten (a; b; c) die Führung für diese Linie, die durch den Punkt (x0; y0 geht; z0). Mit dem Parameter α können Sie den angegebenen Punkt für diese Linie an einen beliebigen anderen übertragen. Diese Gleichung ist intuitiv und sowohl im 3D-Raum als auch in einer Ebene einfach zu handhaben. Bei einer Ebene enthält sie nicht die z-Koordinaten und die Vektorkomponente der dritten Richtung.
Die bequeme Durchführung von Berechnungen und das Studium der relativen Position von geraden Linien aufgrund der Verwendung einer Vektorgleichung beruht auf der Tatsache, dass ihr Richtungsvektor bekannt ist. Seine Koordinaten werden verwendet, um den Winkel zwischen den Linien und den Abstand zwischen ihnen zu berechnen.
Allgemeine Gleichung für eine Gerade in einer Ebene
Schreiben wir explizit die Vektorgleichung der Geraden für den zweidimensionalen Fall. Es sieht so aus:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Nun berechnen wir den Parameter α für jede Gleichheit und setzen die rechten Teile der erh altenen Gleichheiten gleich:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Wenn wir die Klammern öffnen und alle Terme auf eine Seite der Gleichheit übertragen, erh alten wir:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, wobei A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Der resultierende Ausdruck wird als allgemeine Gleichung für eine im zweidimensionalen Raum gegebene gerade Linie bezeichnet (im dreidimensionalen Raum entspricht diese Gleichung einer Ebene parallel zur z-Achse, nicht einer geraden Linie).
Schreiben wir in diesem Ausdruck explizit y bis x, so erh alten wir folgende Form, bekanntjeder Schüler:
y=kx + p, wobei k=-A/B, p=-C/B
Diese lineare Gleichung definiert eindeutig eine gerade Linie in der Ebene. Es ist sehr einfach, es nach der bekannten Gleichung zu zeichnen, dazu sollten Sie x=0 und y=0 der Reihe nach setzen, die entsprechenden Punkte im Koordinatensystem markieren und eine gerade Linie ziehen, die die erh altenen Punkte verbindet.
Formel des Winkels zwischen Geraden
In einer Ebene können sich zwei Geraden entweder schneiden oder parallel zueinander verlaufen. Im Weltraum kommt zu diesen Optionen die Möglichkeit des Vorhandenseins von Schräglinien hinzu. Unabhängig davon, welche Version der relativen Position dieser eindimensionalen geometrischen Objekte implementiert wird, kann der Winkel zwischen ihnen immer durch die folgende Formel bestimmt werden:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Wobei v1¯ und v2¯ die Führungsvektoren für Zeile 1 bzw. 2 sind. Der Zähler ist der Betrag des Skalarprodukts, um stumpfe Winkel auszuschließen und nur spitze zu berücksichtigen.
Die Vektoren v1¯ und v2¯ können durch zwei oder drei Koordinaten gegeben werden, während die Formel für den Winkel φ bleibt unverändert.
Parallelität und Rechtwinkligkeit von Linien
Wenn der mit obiger Formel berechnete Winkel zwischen 2 Linien 0o beträgt, dann werden sie als parallel bezeichnet. Um festzustellen, ob die Linien parallel sind oder nicht, können Sie den Winkel nicht berechnenφ genügt es zu zeigen, dass ein Richtungsvektor durch einen ähnlichen Vektor einer anderen Linie dargestellt werden kann, also:
v1¯=qv2¯
Hier ist q eine reelle Zahl.
Wenn die Geradengleichungen gegeben sind als:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
dann sind sie nur dann parallel, wenn die Koeffizienten von x gleich sind, also:
k1=k2
Diese Tatsache lässt sich beweisen, wenn wir uns überlegen, wie sich der Koeffizient k in den Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden ausdrückt.
Wenn der Schnittwinkel zwischen Linien 90° beträgto, dann nennt man sie senkrecht. Zur Bestimmung der Rechtwinkligkeit von Geraden ist es auch nicht erforderlich, den Winkel φ zu berechnen, dazu genügt es, nur das Skalarprodukt der Vektoren v1¯ und v zu berechnen 2¯. Es muss null sein.
Bei sich schneidenden Geraden im Raum kann auch die Formel für den Winkel φ verwendet werden. In diesem Fall sollte das Ergebnis korrekt interpretiert werden. Das berechnete φ zeigt den Winkel zwischen den Richtungsvektoren von Linien, die sich nicht schneiden und nicht parallel sind.
Aufgabe 1. Senkrechte Linien
Es ist bekannt, dass die Geradengleichungen die Form haben:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Es ist notwendig festzustellen, ob diese Zeilen vorhanden sindsenkrecht.
Wie oben erwähnt, reicht es zur Beantwortung der Frage aus, das Skalarprodukt der Vektoren der Hilfslinien zu berechnen, die den Koordinaten (1; 2) und (-4; 2) entsprechen. Wir haben:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Da wir 0 haben, bedeutet dies, dass sich die betrachteten Geraden rechtwinklig schneiden, also senkrecht aufeinander stehen.
Aufgabe 2. Linienschnittwinkel
Es ist bekannt, dass zwei Geradengleichungen folgende Form haben:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Es ist notwendig, den Winkel zwischen den Linien zu finden.
Da die Koeffizienten von x unterschiedliche Werte haben, sind diese Linien nicht parallel. Um den Winkel zu finden, der gebildet wird, wenn sie sich schneiden, übersetzen wir jede der Gleichungen in eine Vektorform.
Für die erste Zeile erh alten wir:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Auf der rechten Seite der Gleichung haben wir einen Vektor, dessen Koordinaten von x abhängen. Stellen wir es als Summe zweier Vektoren dar, und die Koordinaten des ersten enth alten die Variable x, und die Koordinaten des zweiten bestehen ausschließlich aus Zahlen:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Da x beliebige Werte annimmt, kann es durch den Parameter α ersetzt werden. Die Vektorgleichung für die erste Zeile wird zu:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Wir machen die gleichen Aktionen mit der zweiten Gleichung der Zeile, wir erh alten:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Wir haben die ursprünglichen Gleichungen in Vektorform umgeschrieben. Jetzt können Sie die Formel für den Schnittwinkel verwenden und die Koordinaten der Richtungsvektoren der Linien ersetzen:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Daher schneiden sich die betrachteten Linien in einem Winkel von 71,565o oder 1,249 Radianten.
Dieses Problem hätte auch anders gelöst werden können. Dazu war es notwendig, zwei beliebige Punkte jeder Geraden zu nehmen, daraus direkte Vektoren zu bilden und dann die Formel für φ zu verwenden.
