Im Geometriekurs der Schule wird viel Zeit dem Studium der Dreiecke gewidmet. Die Schüler berechnen Winkel, bilden Winkelhalbierende und Höhen, finden heraus, wie sich Formen voneinander unterscheiden und wie man am einfachsten ihre Fläche und ihren Umfang findet. Es scheint, dass dies im Leben in keiner Weise nützlich ist, aber manchmal ist es dennoch nützlich zu wissen, wie man zum Beispiel bestimmt, ob ein Dreieck gleichseitig oder stumpf ist. Wie geht das?
Arten von Dreiecken
Drei Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen, und die Strecken, die sie verbinden. Es scheint, dass diese Figur die einfachste ist. Wie können Dreiecke aussehen, wenn sie nur drei Seiten haben? Tatsächlich gibt es eine ziemlich große Anzahl von Optionen, und einigen von ihnen wird im Rahmen des Schulgeometriekurses besondere Aufmerksamkeit geschenkt. Ein gleichseitiges Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck, d. h. alle Winkel und Seiten sind gleich. Es hat eine Reihe bemerkenswerter Eigenschaften, die später besprochen werden.
Der Gleichschenkel hat nur zwei gleiche Seiten und ist auch ziemlich interessant. In rechtwinkligen und stumpfwinkligen Dreiecken ist einer der Winkel, wie Sie sich vielleicht denken können, recht oder stumpf. Beimdadurch können sie auch gleichschenklig sein.
Es gibt auch eine besondere Art von Dreieck namens ägyptisch. Seine Seiten sind 3, 4 und 5 Einheiten. Allerdings rechteckig. Es wird angenommen, dass ein solches Dreieck von ägyptischen Vermessungsingenieuren und Architekten aktiv verwendet wurde, um rechte Winkel zu bauen. Man nimmt an, dass mit seiner Hilfe die berühmten Pyramiden gebaut wurden.
Und doch können alle Ecken eines Dreiecks auf einer Geraden liegen. In diesem Fall wird es als entartet bezeichnet, während alle anderen als nicht entartet bezeichnet werden. Sie sind eines der Studienfächer der Geometrie.
Gleichseitiges Dreieck
Korrekte Zahlen sind natürlich immer die interessantesten. Sie wirken perfekter, anmutiger. Die Formeln zur Berechnung ihrer Eigenschaften sind oft einfacher und kürzer als bei gewöhnlichen Figuren. Dies gilt auch für Dreiecke. Es ist nicht verwunderlich, dass ihnen beim Studium der Geometrie viel Aufmerksamkeit geschenkt wird: Schulkindern wird beigebracht, normale Figuren von den anderen zu unterscheiden, und sie sprechen auch über einige ihrer interessanten Eigenschaften.
Zeichen und Eigenschaften
Wie der Name schon vermuten lässt, ist jede Seite eines gleichseitigen Dreiecks gleich den beiden anderen. Darüber hinaus verfügt es über eine Reihe von Funktionen, anhand derer festgestellt werden kann, ob die Abbildung korrekt ist oder nicht.
- alle seine Winkel sind gleich, ihr Wert ist 60 Grad;
- Winkelhalbierende, Höhen und Mittelwerte, die von jedem Scheitelpunkt gezogen werden, sind gleich;
- regelmäßiges Dreieck hat 3 Symmetrieachsen, itändert sich nicht, wenn es um 120 Grad gedreht wird.
- der Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises ist auch der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises und der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, Winkelhalbierenden, Höhen und Mittelsenkrechten.
Wenn mindestens eines der obigen Zeichen zutrifft, dann ist das Dreieck gleichseitig. Für eine normale Figur sind alle obigen Aussagen wahr.
Alle Dreiecke haben eine Reihe bemerkenswerter Eigenschaften. Erstens ist die Mittellinie, dh das Segment, das die beiden Seiten in zwei Hälften teilt und parallel zur dritten verläuft, gleich der Hälfte der Basis. Zweitens ist die Summe aller Winkel dieser Figur immer gleich 180 Grad. Darüber hinaus gibt es eine weitere interessante Beziehung in Dreiecken. Der größeren Seite liegt also ein größerer Winkel gegenüber und umgekehrt. Aber das hat natürlich nichts mit einem gleichseitigen Dreieck zu tun, weil alle seine Winkel gleich sind.
Einbeschriebene und umschriebene Kreise
Es ist nicht ungewöhnlich, dass Studenten in einem Geometriekurs auch lernen, wie Formen miteinander interagieren können. Insbesondere werden Kreise untersucht, die in Polygone eingeschrieben oder um sie herum beschrieben sind. Worum geht es?
Ein einbeschriebener Kreis ist ein Kreis, bei dem alle Seiten des Polygons tangential sind. Beschrieben - derjenige, der Berührungspunkte mit allen Ecken hat. Für jedes Dreieck ist es immer möglich, sowohl den ersten als auch den zweiten Kreis zu konstruieren, aber nur einen von jedem Typ. Beweise für diese beiden
Sätze sind angegebenSchulgeometriekurs.
Zusätzlich zur Berechnung der Parameter der Dreiecke selbst beinh alten einige Aufgaben auch die Berechnung der Radien dieser Kreise. Und die Formeln für das gleichseitige Dreieck sehen so aus:
r=a/√ ̅3;
R=a/2√ ̅3;
wobei r der Radius des einbeschriebenen Kreises ist, R der Radius des umschriebenen Kreises ist, a die Seitenlänge des Dreiecks ist.
Höhe, Umfang und Fläche berechnen
Die Hauptparameter, die von Schülern während des Geometriestudiums berechnet werden, bleiben für fast jede Figur unverändert. Dies sind Umfang, Fläche und Höhe. Zur einfacheren Berechnung gibt es verschiedene Formeln.
Der Umfang, also die Länge aller Seiten, wird also folgendermaßen berechnet:
P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, wobei a die Seite eines regelmäßigen Dreiecks ist, R der Radius des Umkreises ist, r der einbeschriebene Kreis ist.
Höhe:
h=(√ ̅3/2)a, wobei a die Seitenlänge ist.
Schließlich ergibt sich die Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks aus der Standardformel, also dem Produkt aus der halben Grundfläche und ihrer Höhe.
S=(√ ̅3/4)a2, wobei a die Seitenlänge ist.
Außerdem kann dieser Wert über die Parameter des umschriebenen oder einbeschriebenen Kreises berechnet werden. Dafür gibt es auch spezielle Formeln:
S=3√ ̅3r2=(3√ ̅3/4)R2, wobei r bzw. R die sind Radien eingeschriebene und umschriebene Kreise.
Gebäude
Noch einsEine interessante Art von Aufgaben, einschließlich Dreiecken, ist mit der Notwendigkeit verbunden, die eine oder andere Figur mit dem Mindestsatz zu zeichnen
Werkzeuge: Zirkel und Lineal ohne Teilung.
Es braucht ein paar Schritte, um mit diesen Werkzeugen ein richtiges Dreieck zu bauen.
- Sie müssen einen Kreis mit beliebigem Radius zeichnen und an einem beliebigen Punkt A zentrieren. Er muss markiert werden.
- Als nächstes musst du eine gerade Linie durch diesen Punkt ziehen.
- Schnittpunkte eines Kreises und einer Geraden sind mit B und C zu bezeichnen. Alle Konstruktionen sind mit größtmöglicher Genauigkeit auszuführen.
- Als nächstes müssen Sie einen weiteren Kreis mit demselben Radius und Mittelpunkt bei Punkt C oder einen Bogen mit den entsprechenden Parametern erstellen. Kreuzungen werden als D und F markiert.
- Die Punkte B, F, D müssen durch Segmente verbunden werden. Ein gleichseitiges Dreieck wird konstruiert.
Solche Probleme zu lösen ist normalerweise ein Problem für Schulkinder, aber diese Fähigkeit kann im Alltag nützlich sein.
