In einer maßstäblichen Version ist ein Modell eine Art Bild, Diagramm, Karte, Beschreibung, Bild eines bestimmten Phänomens oder Prozesses. Das Phänomen selbst wird als Original eines mathematischen oder ökonomischen Modells bezeichnet.
Was ist Modellieren?
Modellieren ist das Studium eines Objekts, Systems. Zur Implementierung wird ein Modell erstellt und analysiert.
Alle Phasen der Modellierung beinh alten ein wissenschaftliches Experiment, dessen Gegenstand ein abstraktes oder subjektives Modell ist. Bei der Durchführung eines Experiments wird ein bestimmtes Phänomen durch ein Schema oder ein vereinfachtes Modell (Kopie) ersetzt. In einigen Fällen wird ein Arbeitsmodell erstellt, um den Mechanismus der Arbeit anhand seines Beispiels zu verstehen, um die wirtschaftliche Machbarkeit der Einführung von Erfahrungsergebnissen in eine Marktwirtschaft zu analysieren. Dasselbe Phänomen kann von verschiedenen Modellen berücksichtigt werden.
Der Forscher muss die notwendigen Stufen der Modellierung auswählen und optimal nutzen. Der Einsatz von Modellen ist in Fällen relevant, in denen ein reales Objekt nicht verfügbar ist oder Experimente damit mit schwerwiegenden Umweltproblemen verbunden sind. Das aktuelle Modell wird auch in Situationen angewendet, in denen ein echtes Experiment stattfindetmit erheblichen Materialkosten verbunden.
Merkmale der mathematischen Modellierung
Mathematische Modelle sind in der Wissenschaft unverzichtbar, ebenso wie Werkzeuge für sie - mathematische Konzepte. Im Laufe mehrerer Jahrtausende haben sie sich angesammelt und modernisiert. In der modernen Mathematik gibt es universelle und mächtige Forschungsmethoden. Alle Objekte, die von der „Königin der Wissenschaften“betrachtet werden, sind ein mathematisches Modell. Für eine detaillierte Analyse des ausgewählten Objekts werden die Stufen der mathematischen Modellierung ausgewählt. Mit ihrer Hilfe werden Details, Merkmale und charakteristische Merkmale unterschieden, die erh altenen Informationen systematisiert und eine vollständige Beschreibung des Objekts erstellt.
Mathematische Formalisierung beinh altet das Arbeiten während der Forschung mit speziellen Begriffen: Matrix, Funktion, Ableitung, Stammfunktion, Zahlen. Jene Relationen und Zusammenhänge, die sich im Untersuchungsobjekt zwischen den konstituierenden Elementen und Details finden lassen, werden durch mathematische Relationen erfasst: Gleichungen, Ungleichungen, Gleichheiten. Als Ergebnis erhält man eine mathematische Beschreibung eines Phänomens oder Prozesses und folglich sein mathematisches Modell.
Regeln für das Studium eines mathematischen Modells
Es gibt eine bestimmte Reihenfolge von Modellierungsschritten, die es Ihnen erlaubt, Verbindungen zwischen Wirkungen und Ursachen herzustellen. Die zentrale Phase beim Entwurf oder Studium des Systems ist die Konstruktion eines vollwertigen mathematischen Modells. Die weitere Analyse dieses Objekts hängt direkt von der Qualität der durchgeführten Aktionen ab. Gebäudemathematische oder ökonomische Modelle sind keine formalen Verfahren. Es sollte einfach zu bedienen und genau sein, damit die Ergebnisse der Analyse nicht verfälscht werden.
Zur Klassifikation mathematischer Modelle
Es gibt zwei Varianten: deterministische und stochastische Modelle. Deterministische Modelle beinh alten die Herstellung einer Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen Variablen, die zur Beschreibung eines Phänomens oder Objekts verwendet werden.
Dieser Ansatz basiert auf Informationen über das Funktionsprinzip des Objekts. In vielen Fällen hat das zu modellierende Phänomen eine komplexe Struktur, und es erfordert viel Zeit und Wissen, es zu entschlüsseln. In solchen Situationen werden solche Modellierungsstufen ausgewählt, die es ermöglichen, Experimente am Original durchzuführen und die erh altenen Ergebnisse zu verarbeiten, ohne auf die theoretischen Merkmale des Objekts einzugehen. Am häufigsten verwendete Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Das Ergebnis ist ein stochastisches Modell. Zwischen den Variablen besteht eine zufällige Beziehung. Eine Vielzahl unterschiedlicher Faktoren verursacht eine zufällige Menge von Variablen, die ein Phänomen oder ein Objekt charakterisieren.
Moderne Modellierungsschritte gelten für statische und dynamische Modelle. In statischen Ansichten impliziert die Beschreibung der Beziehungen zwischen den Variablen des erzeugten Phänomens nicht die Berücksichtigung der zeitlichen Änderung der Hauptparameter. Bei dynamischen Modellen erfolgt die Beschreibung von Beziehungen zwischen Variablen unter Berücksichtigung temporärer Änderungen.
Modellvarianten:
- fortlaufend;
- diskret;
- gemischt
Verschiedene Stufen der mathematischen Modellierung ermöglichen die Beschreibung von Zusammenhängen und Funktionen in linearen Modellen durch direkten Zusammenhang von Variablen.
Was sind die Anforderungen an Modelle?
- Vielseitigkeit. Das Modell muss eine vollständige Darstellung aller dem realen Objekt innewohnenden Eigenschaften sein.
- Angemessenheit. Wichtige Merkmale des Objekts dürfen den angegebenen Fehler nicht überschreiten.
- Genauigkeit. Es charakterisiert den Grad der Übereinstimmung der Eigenschaften eines Objekts, das in der Realität existiert, mit ähnlichen Parametern, die während des Studiums des Modells erh alten wurden.
- Wirtschaft. Das Modell sollte hinsichtlich der Materialkosten minimal sein.
Modellierungsschritte
Betrachten wir die Hauptphasen der mathematischen Modellierung.
Aufgabe auswählen. Das Ziel der Studie wird ausgewählt, Methoden zu ihrer Durchführung ausgewählt und eine Versuchsstrategie entwickelt. Diese Phase beinh altet ernsthafte Arbeit. Das Endergebnis der Simulation hängt von der Richtigkeit der Aufgabe ab
- Analyse der theoretischen Grundlagen, Zusammenfassung der erh altenen Informationen über das Objekt. Diese Phase beinh altet die Auswahl oder Erstellung einer Theorie. In Ermangelung theoretischen Wissens über das Objekt werden kausale Beziehungen zwischen allen Variablen hergestellt, die zur Beschreibung des Phänomens oder Objekts ausgewählt wurden. In dieser Phase werden die Anfangs- und Enddaten bestimmt und eine Hypothese aufgestellt.
- Formalisierung. Implementiertdie Wahl eines speziellen Notationssystems, das hilft, die Beziehung zwischen den Komponenten des betreffenden Objekts in Form mathematischer Ausdrücke zu schreiben.
Ergänzungen zum Algorithmus
Nach dem Einstellen der Modellparameter wird eine bestimmte Methode oder Lösungsmethode gewählt.
- Implementierung des erstellten Modells. Nachdem die Phasen der Systemmodellierung ausgewählt wurden, wird ein Programm erstellt, das getestet und angewendet wird, um das Problem zu lösen.
- Analyse der gesammelten Informationen. Es wird eine Analogie zwischen der Aufgabe und der erh altenen Lösung gezogen und der Modellierungsfehler ermittelt.
- Überprüfen, ob das Modell mit dem realen Objekt übereinstimmt. Wenn es einen signifikanten Unterschied zwischen ihnen gibt, wird ein neues Modell entwickelt. Bis die ideale Übereinstimmung des Modells mit seinem realen Gegenstück erreicht ist, werden Verfeinerungen und Detailänderungen durchgeführt.
Simulationsmerkmal
In der Mitte des letzten Jahrhunderts tauchte die Computertechnologie im Leben eines modernen Menschen auf, die Relevanz mathematischer Methoden zum Studium von Objekten und Phänomenen nahm zu. Abschnitte wie "mathematische Chemie", "mathematische Linguistik", "mathematische Ökonomie", die sich mit dem Studium von Phänomenen und Objekten befassten, erschienen, die Hauptstufen der Modellierung wurden geschaffen.
Ihr Hauptziel war die Vorhersage geplanter Beobachtungen, das Studium bestimmter Objekte. Darüber hinaus können Sie mit Hilfe der Modellierung etwas über die Welt um Sie herum lernen und nach Wegen suchen, sie zu kontrollieren. In solchen Fällen soll ein Computerexperiment durchgeführt werdender echte geht nicht. Nach der Erstellung eines mathematischen Modells des untersuchten Phänomens unter Verwendung von Computergrafiken kann man Atomexplosionen, Pestepidemien usw. untersuchen.
Spezialisten unterscheiden drei Phasen der mathematischen Modellierung, und jede hat ihre eigenen Merkmale:
- Modell bauen. Diese Phase umfasst die Festlegung eines Wirtschaftsplans, Naturphänomene, Konstruktion und Produktionsprozess. Es ist schwierig, die Situation in diesem Fall klar zu beschreiben. Zuerst müssen Sie die Besonderheiten des Phänomens identifizieren, um die Beziehung zwischen ihm und anderen Objekten zu bestimmen. Dann werden alle qualitativen Merkmale in mathematische Sprache übersetzt und ein mathematisches Modell erstellt. Diese Phase ist die schwierigste im gesamten Modellierungsprozess.
- Die Phase der Lösung eines mathematischen Problems im Zusammenhang mit der Entwicklung von Algorithmen, Methoden zur Lösung eines Problems in der Computertechnologie und der Identifizierung von Messfehlern.
- Übersetzen der während der Recherche gewonnenen Informationen in die Sprache des Gebiets, für das das Experiment durchgeführt wurde.
Diese drei Stufen der mathematischen Modellierung werden durch die Überprüfung der Angemessenheit des resultierenden Modells ergänzt. Es wird die Übereinstimmung der im Experiment erzielten Ergebnisse mit theoretischen Kenntnissen überprüft. Ändern Sie bei Bedarf das erstellte Modell. Abhängig von den erzielten Ergebnissen wird es kompliziert oder vereinfacht.
Merkmale der ökonomischen Modellierung
3 Stufen der mathematischen Modellierung beinh alten die Verwendung von algebraischen DifferentialsystemenGleichungen. Komplexe Objekte werden mithilfe der Graphentheorie erstellt. Es handelt sich um eine Reihe von Punkten im Raum oder auf einer Ebene, die teilweise durch Kanten verbunden sind. Die Hauptphasen der Wirtschaftsmodellierung umfassen die Auswahl der Ressourcen, ihre Verteilung, die Berücksichtigung des Transports und die Netzwerkplanung. Welche Aktion ist kein Modellierungsschritt? Es ist schwierig, diese Frage eindeutig zu beantworten, es hängt alles von der konkreten Situation ab. Die Hauptphasen des Modellierungsprozesses umfassen die Formulierung des Ziels und des Forschungsgegenstands, die Identifizierung der Hauptmerkmale zur Erreichung des Ziels und die Beschreibung der Beziehung zwischen Modellfragmenten. Führen Sie als Nächstes Berechnungen mit mathematischen Formeln durch.
Zum Beispiel ist die Servicetheorie das Warteschlangenproblem. Es ist wichtig, ein Gleichgewicht zwischen den Kosten für die Wartung von Geräten und den Kosten für die Warteschlange zu finden. Nach der Erstellung einer formalen Beschreibung des Modells werden Berechnungen unter Verwendung von Computer- und Analysetechnologien durchgeführt. Mit einer qualitativen Zusammenstellung des Modells finden Sie Antworten auf alle Fragen. Wenn das Modell schlecht ist, ist es unmöglich zu verstehen, welche Aktion kein Modellierungsschritt ist.
Praxistauglichkeit ist ein echtes Kriterium für die Beurteilung der Angemessenheit eines Phänomens oder Modells. Multikriterielle Modelle, einschließlich Optimierungsoptionen, beinh alten die Zielsetzung. Aber der Weg zu diesem Ziel ist ein anderer. Unter den Schwierigkeiten, die dabei auftreten können, sollten wir hervorheben:
- in einem komplexen System gibt es mehrereKrawatten;
- es ist schwierig, alle Zufallsfaktoren bei der Analyse eines realen Systems zu berücksichtigen;
- es ist problematisch, den mathematischen Apparat mit den gewünschten Ergebnissen zu vergleichen
Aufgrund der vielen Komplexitäten, die beim Studium vielschichtiger Systeme entstehen, wurde die Simulationsmodellierung entwickelt. Darunter versteht man eine Reihe spezieller Programme für die Computertechnik, die den Betrieb einzelner Elemente des Systems und die Beziehungen zwischen ihnen beschreiben. Die Verwendung von Zufallsvariablen beinh altet die wiederholte Wiederholung von Experimenten, die statistische Verarbeitung der Ergebnisse. Die Arbeit mit einem Simulationssystem ist ein Experiment, das mit Hilfe von Computertechnik durchgeführt wird. Was sind die Vorteile dieses Systems? Auf diese Weise kann eine größere Nähe zum Originalsystem erreicht werden, was bei einem mathematischen Modell nicht möglich ist. Mithilfe des Blockprinzips können Sie einzelne Blöcke analysieren, bevor sie in ein einzelnes System aufgenommen werden. Mit dieser Option können Sie komplexe Beziehungen verwenden, die nicht mit gewöhnlichen mathematischen Beziehungen beschrieben werden können.
Unter den Nachteilen beim Aufbau eines Simulationssystems heben wir die Zeit- und Ressourcenkosten sowie die Notwendigkeit des Einsatzes moderner Computertechnologie hervor.
Die Entwicklungsstadien der Modellierung sind vergleichbar mit den gesellschaftlichen Veränderungen. Je nach Einsatzgebiet sind alle Modelle in Trainingsprogramme, Simulatoren, Lehr- und Anschauungshilfen unterteilt. Experimentelle Modelle können verkleinerte Kopien realer Objekte (Autos) sein. Wissenschaftliche und technische Möglichkeitensind Stände für die Analyse elektronischer Geräte. Simulationsmodelle spiegeln nicht nur die reale Realität wider, sie beinh alten Tests an Labormäusen, Experimente im Bildungssystem. Nachahmung wird als Trial-and-Error-Methode angesehen.
Es gibt eine Einteilung aller Modelle nach Präsentationsvariante. Materielle Modelle werden Subjekt genannt. Solche Optionen sind mit den geometrischen und physikalischen Eigenschaften des Originals selbst ausgestattet und können in die Realität umgesetzt werden. Informationsmodelle können nicht mit den Händen berührt werden. Sie charakterisieren den Zustand und die Eigenschaften des untersuchten Objekts, Phänomens, Prozesses und ihre Verbindung mit der realen Welt. Bei verbalen Optionen handelt es sich um Informationsmodelle, die in umgangssprachlicher oder mentaler Form umgesetzt werden. Vorzeichenbehaftete Typen werden durch Anwendung bestimmter Zeichen einer polyedrischen mathematischen Sprache ausgedrückt.
Schlussfolgerung
Mathematische Modellierung als Methode naturwissenschaftlicher Erkenntnis erschien gleichzeitig mit den Grundlagen der höheren Mathematik. Eine wichtige Rolle in diesem Prozess spielten I. Newton, R. Descartes, G. Leibniz. Mathematische Modelle wurden zuerst von P. Fermat, B. Pascal gebaut. V. V. Leontiev, V. V. Novozhilov, A. L. Lurie widmeten sich der mathematischen Modellierung in Produktion und Wirtschaft. Heutzutage wird eine ähnliche Möglichkeit zur Untersuchung eines Objekts oder Phänomens in verschiedenen Tätigkeitsbereichen verwendet. Mit Hilfe entworfener Systeme erforschen Ingenieure solche Phänomene und Prozesse, die unter realen Bedingungen nicht analysiert werden können.
Wissenschaftliche ForschungDurch Modellierung wurden sie in der Antike verwendet und erfassten im Laufe der Zeit verschiedene Arten von wissenschaftlichen Erkenntnissen: Architektur, Design, Chemie, Bauwesen, Physik, Biologie, Ökologie, Geographie sowie Sozialwissenschaften. In jedem Modellierungsprozess werden drei Komponenten verwendet: Subjekt, Objekt, Modell. Natürlich ist die Untersuchung eines Objekts oder Phänomens nicht auf die Modellierung beschränkt, es gibt andere Möglichkeiten, die notwendigen Informationen zu erh alten.
