Ich denke, wir sollten mit der Geschichte eines so glorreichen mathematischen Werkzeugs wie Differentialgleichungen beginnen. Wie alle Differential- und Integralrechnungen wurden diese Gleichungen Ende des 17. Jahrhunderts von Newton erfunden. Er hielt gerade diese seine Entdeckung für so wichtig, dass er sogar die Botschaft verschlüsselte, die heute etwa so übersetzt werden kann: „Alle Naturgesetze werden durch Differentialgleichungen beschrieben.“Das mag wie eine Übertreibung erscheinen, aber es ist wahr. Jedes Gesetz der Physik, Chemie, Biologie kann durch diese Gleichungen beschrieben werden.
Die Mathematiker Euler und Lagrange leisteten einen großen Beitrag zur Entwicklung und Schaffung der Theorie der Differentialgleichungen. Bereits im 18. Jahrhundert entdeckten und entwickelten sie, was sie heute in den Oberstufenkursen der Universitäten studieren.
Ein neuer Meilenstein in der Untersuchung von Differentialgleichungen begann dank Henri Poincare. Er schuf eine "qualitative Theorie der Differentialgleichungen", die in Kombination mit der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen einen wesentlichen Beitrag zur Begründung der Topologie - der Wissenschaft vom Raum und seinen - leisteteEigenschaften.
Was sind Differentialgleichungen?
Viele Menschen haben Angst vor einem Ausdruck "Differentialgleichung". In diesem Artikel werden wir jedoch die ganze Essenz dieses sehr nützlichen mathematischen Geräts beschreiben, das eigentlich nicht so kompliziert ist, wie es der Name vermuten lässt. Um über Differentialgleichungen erster Ordnung zu sprechen, sollten Sie sich zunächst mit den grundlegenden Konzepten vertraut machen, die inhärent mit dieser Definition zusammenhängen. Und wir fangen mit dem Differential an.
Differential
Viele kennen dieses Konzept aus der Schule. Schauen wir es uns jedoch genauer an. Stellen Sie sich einen Graphen einer Funktion vor. Wir können es so weit erhöhen, dass jedes seiner Segmente die Form einer geraden Linie annimmt. Darauf nehmen wir zwei Punkte, die unendlich nahe beieinander liegen. Die Differenz zwischen ihren Koordinaten (x oder y) ist ein infinitesimaler Wert. Es wird als Differential bezeichnet und mit den Zeichen dy (Differential von y) und dx (Differential von x) bezeichnet. Es ist sehr wichtig zu verstehen, dass das Differential kein endlicher Wert ist, und dies ist seine Bedeutung und Hauptfunktion.
Und jetzt müssen wir das nächste Element betrachten, das uns bei der Erklärung des Konzepts einer Differentialgleichung nützlich sein wird. Dies ist die Ableitung.
Derivat
Wir haben wahrscheinlich alle in der Schule von diesem Konzept gehört. Die Ableitung soll die Wachstums- oder Abnahmerate einer Funktion sein. Allerdings von dieser Definitionvieles wird unklar. Versuchen wir, die Ableitung in Form von Differentialen zu erklären. Gehen wir zurück zu einem infinitesimalen Segment einer Funktion mit zwei Punkten, die einen minimalen Abstand voneinander haben. Aber selbst für diese Entfernung schafft es die Funktion, sich um einen gewissen Betrag zu ändern. Und um diese Änderung zu beschreiben, haben sie eine Ableitung gefunden, die man sonst als Verhältnis von Differentialen schreiben kann: f(x)'=df/dx.
Nun lohnt es sich, die grundlegenden Eigenschaften des Derivats zu betrachten. Es gibt nur drei davon:
- Die Ableitung der Summe oder Differenz kann als Summe oder Differenz von Ableitungen dargestellt werden: (a+b)'=a'+b' und (a-b)'=a'-b'.
- Die zweite Eigenschaft bezieht sich auf die Multiplikation. Die Ableitung eines Produkts ist die Summe der Produkte einer Funktion und der Ableitung einer anderen: (ab)'=a'b+ab'.
- Die Ableitung der Differenz kann als folgende Gleichheit geschrieben werden: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Alle diese Eigenschaften sind nützlich, um Lösungen für Differentialgleichungen erster Ordnung zu finden.
Es gibt auch partielle Ableitungen. Nehmen wir an, wir haben eine Funktion z, die von den Variablen x und y abhängt. Um die partielle Ableitung dieser Funktion beispielsweise nach x zu berechnen, müssen wir die Variable y als Konstante nehmen und einfach differenzieren.
Ganzzahl
Ein weiteres wichtiges Konzept ist das Integral. Tatsächlich ist dies das direkte Gegenteil der Ableitung. Es gibt mehrere Arten von Integralen, aber um die einfachsten Differentialgleichungen zu lösen, brauchen wir die trivialsten unbestimmten Integrale.
Also, was ist ein Integral? Nehmen wir an, wir haben eine gewisse Abhängigkeit fvon x. Wir nehmen daraus das Integral und erh alten die Funktion F (x) (oft als Stammfunktion bezeichnet), deren Ableitung gleich der ursprünglichen Funktion ist. Also F(x)'=f(x). Daraus folgt auch, dass das Integral der Ableitung gleich der ursprünglichen Funktion ist.
Beim Lösen von Differentialgleichungen ist es sehr wichtig, die Bedeutung und Funktion des Integrals zu verstehen, da man sie sehr oft nehmen muss, um die Lösung zu finden.
Gleichungen sind je nach Art unterschiedlich. Im nächsten Abschnitt betrachten wir die Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung und lernen dann, wie man sie löst.
Klassen von Differentialgleichungen
"Diffury" werden nach der Reihenfolge der beteiligten Derivate unterteilt. Somit gibt es die erste, zweite, dritte und weitere Ordnung. Sie können auch in mehrere Klassen eingeteilt werden: gewöhnliche und partielle Ableitungen.
In diesem Artikel betrachten wir gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung. In den folgenden Abschnitten werden wir auch Beispiele und Möglichkeiten zu ihrer Lösung diskutieren. Wir werden nur ODEs betrachten, da dies die häufigsten Arten von Gleichungen sind. Gewöhnliche sind in Unterarten unterteilt: mit trennbaren Variablen, homogen und heterogen. Als Nächstes erfahren Sie, wie sie sich voneinander unterscheiden und wie Sie sie lösen können.
Außerdem können diese Gleichungen kombiniert werden, sodass wir nachher ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung erh alten. Wir werden auch solche Systeme betrachten und lernen, wie man sie löst.
Warum berücksichtigen wir nur die erste Bestellung? Weil Sie mit einem einfachen beginnen und alles beschreiben müssen, was mit Differential zu tun hatGleichungen in einem Artikel ist einfach unmöglich.
Gleichungen mit trennbaren Variablen
Dies sind vielleicht die einfachsten Differentialgleichungen erster Ordnung. Dazu gehören Beispiele, die wie folgt geschrieben werden können: y'=f(x)f(y). Um diese Gleichung zu lösen, benötigen wir eine Formel zur Darstellung der Ableitung als Verhältnis von Differentialen: y'=dy/dx. Damit erh alten wir folgende Gleichung: dy/dx=f(x)f(y). Jetzt können wir uns der Methode zum Lösen von Standardbeispielen zuwenden: Wir teilen die Variablen in Teile, d. H. Wir übertragen alles mit der y-Variablen auf den Teil, in dem sich dy befindet, und wir machen dasselbe mit der x-Variablen. Wir erh alten eine Gleichung der Form: dy/f(y)=f(x)dx, die gelöst wird, indem die Integrale beider Teile genommen werden. Vergessen Sie nicht die Konstante, die nach dem Integral gesetzt werden muss.
Die Lösung für jede "Differenz" ist eine Funktion der Abhängigkeit von x von y (in unserem Fall) oder, wenn es eine numerische Bedingung gibt, dann hat die Antwort die Form einer Zahl. Analysieren wir den gesamten Verlauf der Lösung anhand eines konkreten Beispiels:
y'=2ysin(x)
Variablen in verschiedene Richtungen verschieben:
dy/y=2sin(x)dx
Jetzt nehmen wir Integrale. Sie alle sind in einer speziellen Integr altabelle zu finden. Und wir bekommen:
ln(y)=-2cos(x) + C
Bei Bedarf können wir "y" als Funktion von "x" ausdrücken. Nun können wir sagen, dass unsere Differentialgleichung gelöst ist, wenn keine Bedingung gegeben ist. Es kann eine Bedingung angegeben werden, zB y(n/2)=e. Dann setzen wir einfach den Wert dieser Variablen in die Lösung und einFinden Sie den Wert der Konstante. In unserem Beispiel ist es gleich 1.
Homogene Differentialgleichungen erster Ordnung
Nun zum schwierigeren Teil. Homogene Differentialgleichungen erster Ordnung lassen sich in allgemeiner Form wie folgt schreiben: y'=z(x, y). Es sollte beachtet werden, dass die rechte Funktion zweier Variablen homogen ist und nicht in zwei Abhängigkeiten unterteilt werden kann: z auf x und z auf y. Die Überprüfung, ob die Gleichung homogen ist oder nicht, ist ganz einfach: Wir nehmen die Substitution x=kx und y=ky vor. Jetzt kürzen wir alle k. Wenn alle diese Buchstaben reduziert werden, ist die Gleichung homogen und Sie können sie sicher lösen. Sagen wir vorausschauend: Das Prinzip der Lösung dieser Beispiele ist auch sehr einfach.
Wir müssen eine Substitution vornehmen: y=t(x)x, wobei t eine Funktion ist, die auch von x abhängt. Dann können wir die Ableitung ausdrücken: y'=t'(x)x+t. Wenn wir all dies in unsere ursprüngliche Gleichung einsetzen und vereinfachen, erh alten wir ein Beispiel mit den trennbaren Variablen t und x. Wir lösen es und erh alten die Abhängigkeit t(x). Wenn wir es bekommen haben, ersetzen wir einfach y=t(x)x in unsere vorherige Ersetzung. Dann erh alten wir die Abhängigkeit von y von x.
Zur Verdeutlichung ein Beispiel: xy'=y-xey/x.
Bei der Überprüfung mit Ersatz wird alles reduziert. Die Gleichung ist also wirklich homogen. Jetzt nehmen wir eine weitere Substitution vor, über die wir gesprochen haben: y=t(x)x und y'=t'(x)x+t(x). Nach Vereinfachung erh alten wir folgende Gleichung: t'(x)x=-et. Wir lösen das resultierende Beispiel mit getrennten Variablen und erh alten: e-t=ln(Cx). Wir brauchen nur t durch y/x zu ersetzen (schließlich wenn y=tx, dann t=y/x), und wir bekommenAntwort: e-y/x=ln(xC).
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
Es ist Zeit für ein weiteres großes Thema. Wir analysieren inhomogene Differentialgleichungen erster Ordnung. Wie unterscheiden sie sich von den beiden vorherigen? Finden wir es heraus. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung in allgemeiner Form können wie folgt geschrieben werden: y' + g(x)y=z(x). Es sollte klargestellt werden, dass z(x) und g(x) Konstanten sein können.
Und nun ein Beispiel: y' - yx=x2.
Es gibt zwei Möglichkeiten, es zu lösen, und wir werden beide der Reihe nach behandeln. Die erste ist die Methode der Variation beliebiger Konstanten.
Um die Gleichung auf diese Weise zu lösen, müssen Sie zuerst die rechte Seite mit Null gleichsetzen und die resultierende Gleichung lösen, die nach dem Verschieben der Teile die Form hat:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Nun müssen wir die Konstante C1 durch die zu findende Funktion v(x) ersetzen.
y=vex2/2.
Ändern wir die Ableitung:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Und setze diese Ausdrücke in die ursprüngliche Gleichung ein:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Sie können sehen, dass sich zwei Begriffe auf der linken Seite kürzen. Wenn dies in einigen Beispielen nicht geschehen ist, haben Sie etwas falsch gemacht. Weiter:
v'ex2/2 =x2.
Jetzt lösen wir die übliche Gleichung, in der wir die Variablen trennen müssen:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Um das Integral zu extrahieren, müssen wir hier partiell integrieren. Dies ist jedoch nicht das Thema unseres Artikels. Wenn Sie interessiert sind, können Sie lernen, wie Sie solche Aktionen selbst ausführen können. Es ist nicht schwierig und nimmt bei ausreichender Geschicklichkeit und Aufmerksamkeit nicht viel Zeit in Anspruch.
Wenden wir uns der zweiten Methode zur Lösung inhomogener Gleichungen zu: der Bernoulli-Methode. Welcher Ansatz schneller und einfacher ist, liegt bei Ihnen.
Wenn wir also die Gleichung mit dieser Methode lösen, müssen wir eine Ersetzung vornehmen: y=kn. Hier sind k und n einige x-abhängige Funktionen. Dann sieht die Ableitung so aus: y'=k'n+kn'. Setze beide Substitutionen in die Gleichung ein:
k'n+kn'+xkn=x2.
Gruppe:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Jetzt müssen wir das, was in Klammern steht, mit Null gleichsetzen. Wenn Sie nun die beiden resultierenden Gleichungen kombinieren, erh alten Sie ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung, das Sie lösen müssen:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Die erste Gleichheit wird wie eine normale Gleichung gelöst. Dazu müssen Sie die Variablen trennen:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Bilde das Integral und erh alte: ln(n)=x2/2. Wenn wir dann n ausdrücken:
n=ex2/2.
Nun setzen wir die resultierende Gleichheit in die zweite Gleichung des Systems ein:
k'ex2/2=x2.
Und beim Transformieren erh alten wir die gleiche Gleichheit wie bei der ersten Methode:
dk=x2/ex2/2.
Auf weitere Schritte gehen wir auch nicht ein. Es ist erwähnenswert, dass die Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung zunächst erhebliche Schwierigkeiten bereitet. Je tiefer Sie jedoch in das Thema eintauchen, desto besser wird es.
Wo werden Differentialgleichungen verwendet?
Differentialgleichungen werden in der Physik sehr aktiv verwendet, da fast alle Grundgesetze in Differentialform geschrieben sind und die Formeln, die wir sehen, die Lösung dieser Gleichungen sind. In der Chemie werden sie aus demselben Grund verwendet: Aus ihnen werden Grundgesetze abgeleitet. In der Biologie werden Differentialgleichungen verwendet, um das Verh alten von Systemen wie Räuber-Beute zu modellieren. Sie können auch verwendet werden, um Reproduktionsmodelle beispielsweise einer Kolonie von Mikroorganismen zu erstellen.
Wie helfen Differentialgleichungen im Leben?
Die Antwort auf diese Frage ist einfach: Auf keinen Fall. Wenn Sie kein Wissenschaftler oder Ingenieur sind, werden sie Ihnen wahrscheinlich nicht nützlich sein. Für die allgemeine Entwicklung schadet es jedoch nicht zu wissen, was eine Differentialgleichung ist und wie sie gelöst wird. Und dann die Frage eines Sohnes oder einer Tochter "Was ist eine Differentialgleichung?" wird dich nicht verwirren. Nun, wenn Sie Wissenschaftler oder Ingenieur sind, dann verstehen Sie selbst die Bedeutung dieses Themas in jeder Wissenschaft. Aber das Wichtigste ist, dass jetzt die Frage "Wie löst man eine Differentialgleichung erster Ordnung?" du kannst immer antworten. Stimmt, es ist immer schönwenn du verstehst, wovor die Leute sogar Angst haben.
Hauptlernprobleme
Das Hauptproblem beim Verständnis dieses Themas ist die mangelnde Fähigkeit, Funktionen zu integrieren und zu differenzieren. Wenn Sie schlecht darin sind, Ableitungen und Integrale zu bilden, sollten Sie wahrscheinlich mehr lernen, verschiedene Integrations- und Differenzierungsmethoden beherrschen und erst dann mit dem Studium des im Artikel beschriebenen Materials beginnen.
Manche Leute sind überrascht, wenn sie herausfinden, dass dx übertragen werden kann, weil früher (in der Schule) gesagt wurde, dass der Bruch dy/dx unteilbar ist. Hier müssen Sie die Literatur über die Ableitung lesen und verstehen, dass es sich um das Verhältnis unendlich kleiner Größen handelt, die beim Lösen von Gleichungen manipuliert werden können.
Viele erkennen nicht sofort, dass die Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung oft eine Funktion oder ein Integral ist, das nicht genommen werden kann, und diese Täuschung bereitet ihnen große Probleme.
Was kann für ein besseres Verständnis noch untersucht werden?
Ein weiteres Eintauchen in die Welt der Differentialrechnung beginnt am besten mit spezialisierten Lehrbüchern, zum Beispiel in Analysis für Studierende nicht-mathematischer Fachrichtungen. Dann können Sie zu spezialisierterer Literatur übergehen.
Es sollte gesagt werden, dass es neben Differentialgleichungen auch Integralgleichungen gibt, so dass Sie immer etwas zu streben und zu studieren haben.
Schlussfolgerung
Das hoffen wir nach dem LesenDieser Artikel hat Ihnen eine Vorstellung davon gegeben, was Differentialgleichungen sind und wie man sie richtig löst.
In jedem Fall wird uns die Mathematik im Leben irgendwie nützlich sein. Es entwickelt Logik und Aufmerksamkeit, ohne die jeder Mensch wie ohne Hände ist.
