Matrizen (Tabellen mit numerischen Elementen) können für verschiedene Berechnungen verwendet werden. Einige von ihnen sind Multiplikation mit einer Zahl, einem Vektor, einer anderen Matrix, mehreren Matrizen. Das Produkt ist manchmal falsch. Ein fehlerhaftes Ergebnis ist das Ergebnis der Unkenntnis der Regeln zum Ausführen von Berechnungsaktionen. Lassen Sie uns herausfinden, wie man multipliziert.
Matrix und Zahl
Beginnen wir mit dem Einfachsten - dem Multiplizieren einer Tabelle mit Zahlen mit einem bestimmten Wert. Zum Beispiel haben wir eine Matrix A mit den Elementen aij (i sind die Zeilennummern und j sind die Sp altennummern) und der Zahl e. Das Produkt der Matrix mit der Zahl e wird die Matrix B mit den Elementen bij sein, die durch die Formel gefunden werden:
bij=e × aij.
T. B. um das Element b11 zu erh alten, müssen Sie das Element a11 nehmen und es mit der gewünschten Zahl multiplizieren, um b12 zu erh alten es ist erforderlich, das Produkt des Elements a12 und der Zahl e usw. zu finden.
Lassen Sie uns das Problem Nr. 1 lösen, das auf dem Bild dargestellt ist. Um Matrix B zu erh alten, multiplizieren Sie einfach die Elemente von A mit 3:
- a11 × 3=18. Diesen Wert schreiben wir in Matrix B an der Stelle ein, an der sich Sp alte Nr. 1 und Zeile Nr. 1 schneiden.
- a21 × 3=15. Wir haben Element b21.
- a12 × 3=-6. Wir haben das Element b12 erh alten. Wir schreiben es in Matrix B an der Stelle, wo Sp alte 2 und Zeile 1 sich schneiden.
- a22 × 3=9. Dieses Ergebnis ist Element b22.
- a13 × 3=12. Trage diese Zahl in die Matrix anstelle des Elements b13.
- a23 × 3=-3. Die letzte empfangene Zahl ist Element b23.
ein
So haben wir ein rechteckiges Array mit numerischen Elementen.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vektoren und die Bedingung für die Existenz eines Produkts von Matrizen
In mathematischen Disziplinen gibt es so etwas wie einen "Vektor". Dieser Begriff bezieht sich auf eine geordnete Menge von Werten von a1 bis a . Sie werden als Vektorraumkoordinaten bezeichnet und als Sp alte geschrieben. Es gibt auch den Begriff "transponierter Vektor". Seine Komponenten sind als String angeordnet.
Vektoren können Matrizen genannt werden:
- Sp altenvektor ist eine aus einer Sp alte aufgebaute Matrix;
- Zeilenvektor ist eine Matrix, die nur eine Zeile enthält.
Wenn Sie fertig sindBei Matrizen von Multiplikationsoperationen ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass es eine Bedingung für die Existenz eines Produkts gibt. Die Rechenaktion A × B kann nur ausgeführt werden, wenn die Anzahl der Sp alten in Tabelle A gleich der Anzahl der Zeilen in Tabelle B ist. Die aus der Berechnung resultierende Matrix hat immer die Anzahl der Zeilen in Tabelle A und die Anzahl der Sp alten in Tabelle B.
Beim Multiplizieren ist es nicht empfehlenswert, Matrizen (Multiplikatoren) neu anzuordnen. Ihr Produkt entspricht normalerweise nicht dem kommutativen (Verschiebungs-) Gesetz der Multiplikation, d. h. das Ergebnis der Operation A × B ist nicht gleich dem Ergebnis der Operation B × A. Dieses Merkmal wird als Nichtkommutativität des Produkts von bezeichnet Matrizen. In einigen Fällen ist das Ergebnis der Multiplikation A × B gleich dem Ergebnis der Multiplikation B × A, d. h. das Produkt ist kommutativ. Matrizen, für die die Gleichheit A × B=B × A gilt, heißen Permutationsmatrizen. Siehe Beispiele für solche Tabellen unten.
Multiplikation mit einem Sp altenvektor
Bei der Multiplikation einer Matrix mit einem Sp altenvektor müssen wir die Bedingung für die Existenz des Produkts berücksichtigen. Die Anzahl der Sp alten (n) in der Tabelle muss mit der Anzahl der Koordinaten übereinstimmen, aus denen der Vektor besteht. Das Ergebnis der Berechnung ist der transformierte Vektor. Die Anzahl der Koordinaten ist gleich der Anzahl der Zeilen (m) aus der Tabelle.
Wie werden die Koordinaten des Vektors y berechnet, wenn es eine Matrix A und einen Vektor x gibt? Für Berechnungen erstellte Formeln:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
…………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
wobei x1, …, x Koordinaten aus dem x-Vektor sind, m die Anzahl der Zeilen in der Matrix und die Zahl ist der Koordinaten im neuen y-Vektor, n ist die Anzahl der Sp alten in der Matrix und die Anzahl der Koordinaten im x-Vektor, a11, a12, …, amn– Elemente der Matrix A.
Um also die i-te Komponente des neuen Vektors zu erh alten, wird das Skalarprodukt durchgeführt. Der i-te Zeilenvektor wird der Matrix A entnommen und mit dem verfügbaren Vektor x multipliziert.
Lösen wir Problem Nr. 2. Sie können das Produkt einer Matrix und eines Vektors finden, weil A 3 Sp alten hat und x aus 3 Koordinaten besteht. Als Ergebnis sollten wir einen Sp altenvektor mit 4 Koordinaten erh alten. Lassen Sie uns die obigen Formeln verwenden:
- Berechnen y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Der Endwert ist 2.
- Berechnen y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Bei der Berechnung erh alten wir 0.
- Berechnen y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Die Summe der Produkte der angegebenen Faktoren ist 6.
- Berechnen y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Die Koordinate ist -8.
Zeilen-Vektor-Matrix-Multiplikation
Du kannst eine Matrix mit mehreren Sp alten nicht mit einem Zeilenvektor multiplizieren. In solchen Fällen ist die Voraussetzung für das Bestehen des Werkes nicht erfüllt. Aber die Multiplikation eines Zeilenvektors mit einer Matrix ist möglich. Dasdie Rechenoperation wird durchgeführt, wenn die Anzahl der Koordinaten im Vektor und die Anzahl der Zeilen in der Tabelle übereinstimmen. Das Ergebnis des Produkts aus einem Vektor und einer Matrix ist ein neuer Zeilenvektor. Die Anzahl der Koordinaten muss gleich der Anzahl der Sp alten in der Matrix sein.
Berechnen der ersten Koordinate eines neuen Vektors beinh altet das Multiplizieren des Zeilenvektors und des ersten Sp altenvektors aus der Tabelle. Die zweite Koordinate wird auf ähnliche Weise berechnet, aber anstelle des ersten Sp altenvektors wird der zweite Sp altenvektor genommen. Hier ist die allgemeine Formel zur Berechnung von Koordinaten:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, wobei yk eine Koordinate aus dem y-Vektor ist, (k liegt zwischen 1 und n), m die Anzahl der Zeilen in der Matrix und die Anzahl der Koordinaten ist im x-Vektor ist n die Anzahl der Sp alten in der Matrix und die Anzahl der Koordinaten im y-Vektor, a mit alphanumerischen Indizes sind die Elemente der Matrix A.
Produkt rechteckiger Matrizen
Diese Berechnung mag kompliziert erscheinen. Die Multiplikation ist jedoch leicht durchzuführen. Beginnen wir mit einer Definition. Das Produkt einer Matrix A mit m Zeilen und n Sp alten und einer Matrix B mit n Zeilen und p Sp alten ist eine Matrix C mit m Zeilen und p Sp alten, in der das Element cij ist Summe der Produkte der Elemente i-te Zeile aus Tabelle A und j-te Sp alte aus Tabelle B. Einfacher ausgedrückt ist das Element cij das Skalarprodukt der i-ten Zeile Vektor aus Tabelle A und den j-ten Sp altenvektor aus Tabelle B.
Lassen Sie uns nun in der Praxis herausfinden, wie man das Produkt von rechteckigen Matrizen findet. Lösen wir dazu Problem Nr. 3. Die Bedingung für die Existenz eines Produktes ist erfüllt. Beginnen wir mit der Berechnung der Elemente cij:
- Matrix C wird 2 Zeilen und 3 Sp alten haben.
- Element c berechnen11. Dazu bilden wir das Skalarprodukt von Zeile Nr. 1 aus Matrix A und Sp alte Nr. 1 aus Matrix B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Dann gehen wir ähnlich vor und ändern nur Zeilen, Sp alten (je nach Elementindex).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Die Elemente werden berechnet. Jetzt muss nur noch ein rechteckiger Block aus den empfangenen Nummern erstellt werden.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Multiplikation dreier Matrizen: der theoretische Teil
Kannst du das Produkt von drei Matrizen finden? Diese Rechenoperation ist durchführbar. Das Ergebnis kann auf mehrere Arten erh alten werden. Zum Beispiel gibt es 3 quadratische Tabellen (in derselben Reihenfolge) - A, B und C. Um das Produkt zu berechnen, können Sie:
- Multipliziere zuerst A und B. Multipliziere dann das Ergebnis mit C.
- Bestimme zuerst das Produkt von B und C. Multipliziere dann Matrix A mit dem Ergebnis.
Wenn Sie rechteckige Matrizen multiplizieren müssen, müssen Sie zunächst sicherstellen, dass diese Rechenoperation möglich ist. SollenProdukte A × B und B × C existieren.
Inkrementelle Multiplikation ist kein Fehler. Es gibt so etwas wie "Assoziativität der Matrixmultiplikation". Dieser Begriff bezieht sich auf die Gleichheit (A × B) × C=A × (B × C).
Übung der Multiplikation mit drei Matrizen
Quadratmatrizen
Beginne mit der Multiplikation kleiner quadratischer Matrizen. Die folgende Abbildung zeigt das Problem Nummer 4, das wir lösen müssen.
Wir werden die Assoziativitätseigenschaft verwenden. Zuerst multiplizieren wir entweder A und B oder B und C. Wir erinnern uns nur an eines: Sie können die Faktoren nicht vertauschen, das heißt, Sie können B × A oder C × B nicht multiplizieren. Mit dieser Multiplikation erh alten wir ein fehlerhaftes Ergebnis.
Entscheidungsfortschritt.
Schritt eins. Um das gemeinsame Produkt zu finden, multiplizieren wir zuerst A mit B. Bei der Multiplikation zweier Matrizen orientieren wir uns an den oben beschriebenen Regeln. Das Ergebnis der Multiplikation von A und B ist also eine Matrix D mit 2 Zeilen und 2 Sp alten, d. h. ein rechteckiges Array enthält 4 Elemente. Lassen Sie uns sie finden, indem wir die Berechnung durchführen:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Zwischenergebnis bereit.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Schritt zwei. Lassen Sie uns nun Matrix D mit Matrix C multiplizieren. Das Ergebnis sollte eine quadratische Matrix G mit 2 Zeilen und 2 Sp alten sein. Elemente berechnen:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Also ist das Ergebnis des Produkts quadratischer Matrizen eine Tabelle G mit berechneten Elementen.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Rechteckige Matrizen
Die folgende Abbildung zeigt Problem Nummer 5. Es ist erforderlich, rechteckige Matrizen zu multiplizieren und eine Lösung zu finden.
Überprüfen wir, ob die Bedingung für die Existenz der Produkte A × B und B × C erfüllt ist Die Ordnungen der angegebenen Matrizen erlauben uns, Multiplikationen durchzuführen. Fangen wir an, das Problem zu lösen.
Entscheidungsfortschritt.
Schritt eins. Multiplizieren Sie B mit C, um D zu erh alten. Matrix B hat 3 Zeilen und 4 Sp alten, und Matrix C hat 4 Zeilen und 2 Sp alten. Das bedeutet, dass wir eine Matrix D mit 3 Zeilen und 2 Sp alten erh alten. Lassen Sie uns die Elemente berechnen. Hier 2 Rechenbeispiele:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Wir arbeiten weiter an der Lösung des Problems. Als Ergebnis weiterer Berechnungen finden wir die Werte d21, d2 2, d31 und d32. Diese Elemente sind 0, 19, 1 bzw. 11. Schreiben wir die gefundenen Werte in ein rechteckiges Array.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Schritt zwei. Multiplizieren Sie A mit D, um die endgültige Matrix F zu erh alten. Sie wird 2 Zeilen und 2 Sp alten haben. Elemente berechnen:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Stelle ein rechteckiges Array zusammen, das das Endergebnis der Multiplikation von drei Matrizen ist.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Einführung in die direkte Arbeit
Ganz schwer verständliches Material ist das Kronecker-Produkt der Matrizen. Es hat auch einen zusätzlichen Namen - ein direktes Werk. Was ist mit diesem Begriff gemeint? Nehmen wir an, wir haben Tabelle A der Ordnung m × n und Tabelle B der Ordnung p × q. Das direkte Produkt von Matrix A und Matrix B ist eine Matrix der Ordnung mp × nq.
Wir haben 2 quadratische Matrizen A, B, die im Bild zu sehen sind. Der erste hat 2 Sp alten und 2 Zeilen und der zweite hat 3 Sp alten und 3 Zeilen. Wir sehen, dass die aus dem direkten Produkt resultierende Matrix aus 6 Zeilen und genau so vielen Sp alten besteht.
Wie werden Elemente einer neuen Matrix in einem direkten Produkt berechnet? Die Antwort auf diese Frage zu finden ist sehr einfach, wenn Sie das Bild analysieren. Füllen Sie zuerst die erste Zeile aus. Nehmen Sie das erste Element aus der obersten Reihe von Tabelle A und multiplizieren Sie es nacheinander mit den Elementen der ersten Reiheaus Tabelle B. Als nächstes nehmen Sie das zweite Element der ersten Zeile von Tabelle A und multiplizieren es nacheinander mit den Elementen der ersten Zeile von Tabelle B. Um die zweite Zeile zu füllen, nehmen Sie wieder das erste Element aus der ersten Zeile von Tabelle A und multipliziere es mit den Elementen der zweiten Zeile von Tabelle B.
Die durch direktes Produkt erh altene endgültige Matrix wird als Blockmatrix bezeichnet. Wenn wir die Figur noch einmal analysieren, können wir sehen, dass unser Ergebnis aus 4 Blöcken besteht. Alle enth alten Elemente der Matrix B. Zusätzlich wird ein Element jedes Blocks mit einem bestimmten Element der Matrix A multipliziert. Im ersten Block werden alle Elemente mit a11 multipliziert, im zweitens - durch a12, im dritten - auf a21, im vierten - auf a22.
Produktdeterminante
Bei der Betrachtung des Themas der Matrizenmultiplikation lohnt es sich, einen Begriff wie „die Determinante des Produkts von Matrizen“in Betracht zu ziehen. Was ist eine Determinante? Dies ist ein wichtiges Merkmal einer quadratischen Matrix, ein bestimmter Wert, der dieser Matrix zugeordnet wird. Die wörtliche Bezeichnung der Determinante ist det.
Für eine Matrix A, die aus zwei Sp alten und zwei Zeilen besteht, ist die Determinante leicht zu finden. Es gibt eine kleine Formel, die den Unterschied zwischen den Produkten bestimmter Elemente darstellt:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Determinante für eine Tabelle zweiter Ordnung. Es gibt eine Matrix A, in der a11=2, a12=3, a21=5 und a22=1. Um die Determinante zu berechnen, verwenden Sie die Formel:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
Für 3 × 3-Matrizen wird die Determinante mit einer komplexeren Formel berechnet. Es wird unten für Matrix A dargestellt:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Um uns an die Formel zu erinnern, haben wir uns die Dreiecksregel ausgedacht, die im Bild dargestellt ist. Zuerst werden die Elemente der Hauptdiagonalen multipliziert. Die Produkte dieser Elemente, die durch die Winkel von Dreiecken mit roten Seiten angezeigt werden, werden zum erh altenen Wert addiert. Als nächstes wird das Produkt der Elemente der sekundären Diagonalen subtrahiert und die Produkte der Elemente, die durch die Ecken von Dreiecken mit blauen Seiten gekennzeichnet sind, werden subtrahiert.
Lassen Sie uns nun über die Determinante des Produkts von Matrizen sprechen. Es gibt einen Satz, der besagt, dass dieser Indikator gleich dem Produkt der Determinanten der Multiplikatortabellen ist. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels überprüfen. Wir haben eine Matrix A mit den Einträgen a11=2, a12=3, a21=1 und a22=1 und Matrix B mit Einträgen b11=4, b12=5, b 21 =1 und b22=2. Finden Sie die Determinanten für die Matrizen A und B, das Produkt A × B und die Determinante dieses Produkts.
Entscheidungsfortschritt.
Schritt eins. Berechnen Sie die Determinante für A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Berechnen Sie als nächstes die Determinante für B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Schritt zwei. Lass uns findenProdukt A × B. Bezeichne die neue Matrix mit dem Buchstaben C. Berechne ihre Elemente:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Schritt drei. Berechnen Sie die Determinante für C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Vergleichen Sie mit dem Wert, der durch Multiplikation der Determinanten der ursprünglichen Matrizen erh alten werden könnte. Die Nummern sind gleich. Der obige Satz ist wahr.
Produktrang
Der Rang einer Matrix ist ein Merkmal, das die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Sp alten widerspiegelt. Um den Rang zu berechnen, werden elementare Transformationen der Matrix durchgeführt:
- Umordnung zweier paralleler Reihen;
- alle Elemente einer bestimmten Zeile aus der Tabelle mit einer Zahl ungleich Null multiplizieren;
- Hinzufügen der Elemente einer Reihe von Elementen einer anderen Reihe, multipliziert mit einer bestimmten Zahl.
Schau dir nach elementaren Transformationen die Anzahl der Nicht-Null-Strings an. Ihre Zahl ist der Rang der Matrix. Betrachten Sie das vorherige Beispiel. Es präsentiert 2 Matrizen: A mit den Elementen a11=2, a12=3, a21=1 und a22 =1 und B mit Elementen b11=4, b12=5, b21=1 und b22=2. Wir werden auch die durch Multiplikation erh altene Matrix C verwenden. Wenn wir elementare Transformationen durchführen, gibt es in den vereinfachten Matrizen keine Nullzeilen. Dies bedeutet, dass sowohl der Rang von Tabelle A, als auch der Rang von Tabelle B, und der RangTabelle C ist 2.
Lassen Sie uns jetzt besonders auf den Rang des Produkts von Matrizen achten. Es gibt einen Satz, der besagt, dass der Rang eines Produkts von Tabellen, die numerische Elemente enth alten, den Rang eines der Faktoren nicht überschreitet. Dies kann nachgewiesen werden. Sei A eine k × s-Matrix und B eine s × m-Matrix. Das Produkt von A und B ist gleich C.
Lassen Sie uns das obige Bild studieren. Es zeigt die erste Sp alte der Matrix C und ihre vereinfachte Notation. Diese Sp alte ist eine Linearkombination der in der Matrix A enth altenen Sp alten. Ebenso kann man von jeder anderen Sp alte aus dem rechteckigen Array C sprechen. Somit liegt der von den Sp altenvektoren der Tabelle C gebildete Unterraum in dem von der gebildeten Unterraum Sp altenvektoren der Tabelle A. Dadurch überschreitet die Dimension des Unterraums Nr. 1 nicht die Dimension des Unterraums Nr. 2. Dies impliziert, dass der Sp altenrang der Tabelle C den Sp altenrang der Tabelle A nicht überschreitet, d.h. r(C) ≤ r(A). Wenn wir ähnlich argumentieren, dann können wir sicherstellen, dass die Zeilen der Matrix C Linearkombinationen der Zeilen der Matrix B sind. Daraus folgt die Ungleichung r(C) ≦ r(B).
Wie man das Produkt von Matrizen findet, ist ein ziemlich kompliziertes Thema. Es kann leicht gemeistert werden, aber um ein solches Ergebnis zu erzielen, müssen Sie viel Zeit damit verbringen, sich alle vorhandenen Regeln und Theoreme zu merken.
