Die Fähigkeit, mit numerischen Ausdrücken zu arbeiten, die eine Quadratwurzel enth alten, ist für die erfolgreiche Lösung einer Reihe von Problemen aus der OGE und der USE erforderlich. In diesen Prüfungen reicht in der Regel ein Grundverständnis darüber, was das Wurzelziehen ist und wie es in der Praxis durchgeführt wird.
Definition
Die n-te Wurzel einer Zahl X ist eine Zahl x, für die die Gleichheit gilt: xn =X.
Den Wert eines Ausdrucks mit einer Wurzel zu finden bedeutet, x bei X und n zu finden.
Die Quadratwurzel oder, was dasselbe ist, die zweite Wurzel von X - die Zahl x, für die die Gleichheit erfüllt ist: x2 =X.
Bezeichnung: ∛Х. Hier ist 3 der Grad der Wurzel, X ist der Wurzelausdruck. Das Zeichen '√' wird oft als Radikal bezeichnet.
Wenn die Zahl über der Wurzel nicht den Grad angibt, dann ist der Standardgrad 2.
In einem Schulkurs für gerade Grade werden negative Wurzeln und radikale Ausdrücke normalerweise nicht berücksichtigt. Zum Beispiel gibt es keine√-2, und für den Ausdruck √4 ist die richtige Antwort 2, obwohl (-2)2 auch gleich 4 ist.
Rationalität und Irrationalität der Wurzeln
Die einfachste mögliche Aufgabe mit einer Wurzel ist es, den Wert eines Ausdrucks zu finden oder ihn auf Rationalität zu testen.
Berechnen Sie zum Beispiel die Werte √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 weil 52 =25;
- ∛8=2 weil 23 =8;
- ∛ - 125=-5 seit (-5)3 =-125.
Die Antworten in den angegebenen Beispielen sind rationale Zahlen.
Bei der Arbeit mit Ausdrücken, die keine wörtlichen Konstanten und Variablen enth alten, empfiehlt es sich, eine solche Überprüfung immer mit der umgekehrten Potenzoperation durchzuführen. Das Ermitteln der Zahl x hoch n entspricht der Berechnung des Produkts von n Faktoren von x.
Es gibt viele Ausdrücke mit einer Wurzel, deren Wert irrational ist, also als unendlicher nichtperiodischer Bruch geschrieben wird.
Per Definition sind rationale Zahlen solche, die als gemeinsamer Bruch ausgedrückt werden können, und irrationale Zahlen sind alle anderen reellen Zahlen.
Dazu gehören √24, √0, 1, √101.
Wenn das Aufgabenbuch sagt: Finde den Wert des Ausdrucks mit einer Wurzel von 2, 3, 5, 6, 7 usw., also aus den natürlichen Zahlen, die nicht in der Quadrattabelle enth alten sind, dann ist die richtige Antwort √ 2 kann vorhanden sein (sofern nicht anders angegeben).
Bewertung
Bei Problemen miteine offene Antwort, wenn es unmöglich ist, den Wert eines Ausdrucks mit einer Wurzel zu finden und ihn als rationale Zahl zu schreiben, sollte das Ergebnis als Wurzel belassen werden.
Einige Aufgaben erfordern möglicherweise eine Bewertung. Vergleichen Sie zum Beispiel 6 und √37. Die Lösung erfordert das Quadrieren beider Zahlen und den Vergleich der Ergebnisse. Von zwei Zahlen ist die größer, deren Quadrat größer ist. Diese Regel gilt für alle positiven Zahlen:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- bedeutet √37 > 6.
Auf die gleiche Weise werden Aufgaben gelöst, bei denen mehrere Zahlen aufsteigend oder absteigend angeordnet werden müssen.
Beispiel: Ordne 5, √6, √48, √√64 in aufsteigender Reihenfolge an.
Nach dem Quadrieren haben wir: 25, 6, 48, √64. Man könnte alle Zahlen noch einmal quadrieren, um sie mit √64 zu vergleichen, aber es entspricht der rationalen Zahl 8. 6 < 8 < 25 < 48, also lautet die Lösung: 48.
Vereinfachung des Ausdrucks
Es kommt vor, dass es unmöglich ist, den Wert eines Ausdrucks mit einer Wurzel zu finden, also muss er vereinfacht werden. Dabei hilft folgende Formel:
√ab=√a√b.
Die Wurzel des Produkts zweier Zahlen ist gleich dem Produkt ihrer Wurzeln. Diese Operation erfordert auch die Fähigkeit, eine Zahl zu faktorisieren.
In der Anfangsphase empfiehlt es sich, um die Arbeit zu beschleunigen, eine Tabelle mit Primzahlen und Quadraten zur Hand zu haben. Diese Tabellen mit häufigVerwendung in der Zukunft wird gespeichert.
Zum Beispiel ist √242 eine irrationale Zahl, du kannst sie so umwandeln:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Normalerweise wird das Ergebnis als 11√2 geschrieben (sprich: elf Wurzeln aus zwei).
Wenn es schwierig ist, sofort zu erkennen, in welche zwei Faktoren eine Zahl zerlegt werden muss, damit aus einem von ihnen eine natürliche Wurzel gezogen werden kann, können Sie die vollständige Zerlegung in Primfaktoren verwenden. Kommt dieselbe Primzahl in der Erweiterung zweimal vor, wird sie aus dem Wurzelzeichen herausgenommen. Bei vielen Faktoren können Sie die Wurzel in mehreren Schritten ziehen.
Beispiel: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Die Zahl 2 kommt in der Erweiterung 2 Mal vor (tatsächlich mehr als zweimal, aber wir interessieren uns immer noch für die ersten beiden Vorkommen in der Erweiterung).
Wir nehmen es unter dem Wurzelzeichen heraus:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Wiederholen Sie dieselbe Aktion:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
Im verbleibenden Wurzelausdruck kommen 2 und 3 einmal vor, also bleibt der Faktor 5 zu streichen:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
und arithmetische Operationen ausführen:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Also erh alten wir √2400=20√6.
Wenn die Aufgabe nicht explizit sagt: "Finde den Wert des Ausdrucks mit einer Quadratwurzel", dann ist die Wahl,in welcher Form die Antwort hinterlassen wird (ob die Wurzel unter dem Radikal gezogen werden soll), bleibt dem Schüler überlassen und kann von dem zu lösenden Problem abhängen.
Zunächst werden hohe Anforderungen an die Aufgabengest altung, die Berechnung, auch mündlich oder schriftlich, ohne den Einsatz technischer Mittel gestellt.
Erst nach einer guten Beherrschung der Regeln für die Arbeit mit irrationalen numerischen Ausdrücken ist es sinnvoll, zu schwierigeren wörtlichen Ausdrücken überzugehen und irrationale Gleichungen zu lösen und den Bereich möglicher Werte des Ausdrucks unter zu berechnen Radikal.
Studenten begegnen solchen Problemen beim Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik sowie im ersten Jahr an Fachuniversitäten beim Studium der mathematischen Analyse und verwandter Disziplinen.
