Matrizen: Gauss-Methode. Gauß-Matrix-Berechnung: Beispiele

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 05:21

Lineare Algebra, die an Universitäten in verschiedenen Fachrichtungen gelehrt wird, vereint viele komplexe Themen. Einige von ihnen beziehen sich auf Matrizen sowie auf die Lösung linearer Gleichungssysteme nach der Gauß- und der Gauß-Jordan-Methode. Nicht alle Schüler verstehen diese Themen, Algorithmen zur Lösung verschiedener Probleme. Lassen Sie uns gemeinsam die Matrizen und Methoden von Gauß und Gauß-Jordan verstehen.

Grundlegende Konzepte

Eine Matrix in der linearen Algebra ist eine rechteckige Anordnung von Elementen (Tabelle). Unten sind Sätze von Elementen in Klammern eingeschlossen. Das sind Matrizen. Aus dem obigen Beispiel ist ersichtlich, dass die Elemente in rechteckigen Arrays nicht nur Zahlen sind. Die Matrix kann aus mathematischen Funktionen, algebraischen Symbolen bestehen.

Um einige Konzepte zu verstehen, wollen wir eine Matrix A aus den Elementen a_ij erstellen. Indizes sind nicht nur Buchstaben: i ist die Nummer der Zeile in der Tabelle und j ist die Nummer der Sp alte, in deren Bereich sich das Element befindeta_ij. Wir sehen also, dass wir eine Matrix von Elementen wie a₁₁, a₂₁, a₁₂, a haben. ₂₂ usw. Der Buchstabe n bezeichnet die Anzahl der Sp alten und der Buchstabe m die Anzahl der Zeilen. Das Symbol m × n bezeichnet die Dimension der Matrix. Dies ist das Konzept, das die Anzahl der Zeilen und Sp alten in einem rechteckigen Array von Elementen definiert.

Optional muss die Matrix mehrere Sp alten und Zeilen haben. Bei einer Dimension von 1 × n ist das Array von Elementen einzeilig und bei einer Dimension von m × 1 ein einsp altiges Array. Wenn die Anzahl der Zeilen und die Anzahl der Sp alten gleich sind, heißt die Matrix quadratisch. Jede quadratische Matrix hat eine Determinante (det A). Dieser Begriff bezieht sich auf die Zahl, die der Matrix A zugeordnet ist.

Ein paar weitere wichtige Konzepte, die Sie sich merken sollten, um Matrizen erfolgreich zu lösen, sind die Haupt- und Nebendiagonalen. Die Hauptdiagonale einer Matrix ist die Diagonale, die von der oberen linken Ecke bis zur rechten Ecke der Tabelle verläuft. Die seitliche Diagonale geht von der linken Ecke von unten zur rechten Ecke nach oben.

Stufenmatrixansicht

Schau dir das Bild unten an. Darauf sehen Sie eine Matrix und ein Diagramm. Beschäftigen wir uns zuerst mit der Matrix. In der linearen Algebra wird eine solche Matrix Stufenmatrix genannt. Es hat eine Eigenschaft: Wenn a_ij das erste Nicht-Null-Element in der i-ten Zeile ist, dann alle anderen Elemente aus der Matrix darunter und links von a_ij , sind null (d. h. alle Elemente, denen die Buchstabenbezeichnung a_kl gegeben werden kann, wobei k>i undl<j).

Betrachte nun das Diagramm. Sie spiegelt die Stufenform der Matrix wider. Das Schema zeigt 3 Arten von Zellen. Jeder Typ bezeichnet bestimmte Elemente:

• leere Zellen - null Elemente der Matrix;
• schattierte Zellen sind beliebige Elemente, die sowohl null als auch ungleich null sein können;
• schwarze Quadrate sind Nicht-Null-Elemente, die Eckelemente, „Stufen“genannt werden (in der nebenstehenden Matrix sind solche Elemente die Zahlen –1, 5, 3, 8).

Beim Lösen von Matrizen kommt es manchmal vor, dass die "Länge" des Schrittes größer als 1 ist. Das ist erlaubt. Es kommt nur auf die "Höhe" der Stufen an. In einer Stufenmatrix muss dieser Parameter immer gleich eins sein.

Matrixreduktion auf Stufenform

Jede rechteckige Matrix kann in eine Stufenform umgewandelt werden. Dies geschieht durch elementare Transformationen. Dazu gehören:

• Saiten neu anordnen;
• Hinzufügen einer weiteren Zeile zu einer Zeile, ggf. multipliziert mit einer Zahl (Sie können auch eine Subtraktionsoperation durchführen).

Betrachten wir elementare Transformationen zur Lösung eines bestimmten Problems. Die folgende Abbildung zeigt die Matrix A, die auf eine Stufenform reduziert werden muss.

Um das Problem zu lösen, folgen wir dem Algorithmus:

• Es ist bequem, Transformationen an einer Matrix mit durchzuführendas erste Element in der oberen linken Ecke (d. h. das "führende" Element) ist 1 oder -1. In unserem Fall ist das erste Element in der obersten Reihe 2, also tauschen wir die erste und zweite Reihe aus.
• Lassen Sie uns Subtraktionsoperationen durchführen, die sich auf die Zeilen 2, 3 und 4 auswirken. Wir sollten Nullen in der ersten Sp alte unter dem "führenden" Element erh alten. Um dieses Ergebnis zu erzielen: subtrahieren wir von den Elementen der Zeile Nr. 2 nacheinander die Elemente der Zeile Nr. 1, multipliziert mit 2; von den Elementen der Zeile Nr. 3 subtrahieren wir nacheinander die Elemente der Zeile Nr. 1, multipliziert mit 4; von den Elementen der Zeile Nr. 4 subtrahieren wir nacheinander die Elemente der Zeile Nr. 1.
• Als nächstes arbeiten wir mit einer abgeschnittenen Matrix (ohne Sp alte 1 und ohne Zeile 1). Das neue "führende" Element, das am Schnittpunkt der zweiten Sp alte und der zweiten Zeile steht, ist gleich -1. Es besteht keine Notwendigkeit, die Zeilen neu anzuordnen, also schreiben wir die erste Sp alte und die erste und zweite Zeile ohne Änderungen neu. Führen wir Subtraktionsoperationen durch, um Nullen in der zweiten Sp alte unter dem "führenden" Element zu erh alten: Von den Elementen der dritten Zeile subtrahieren wir nacheinander die Elemente der zweiten Zeile, multipliziert mit 3; subtrahiere die Elemente der zweiten Zeile multipliziert mit 2 von den Elementen der vierten Zeile.
• Es bleibt die letzte Zeile zu ändern. Von seinen Elementen subtrahieren wir nacheinander die Elemente der dritten Reihe. Somit haben wir eine Stufenmatrix.

Die Reduktion von Matrizen auf eine Stufenform wird beim Lösen linearer Gleichungssysteme (SLE) nach der Gauß-Methode verwendet. Bevor wir uns diese Methode ansehen, wollen wir einige der Begriffe im Zusammenhang mit SLN verstehen.

Matrizen und lineare Gleichungssysteme

Matrizen werden in verschiedenen Wissenschaften verwendet. Mit Hilfe von Zahlentafeln können Sie zum Beispiel lineare Gleichungen lösen, die mit der Gauß-Methode zu einem System zusammengefasst sind. Machen wir uns zunächst mit einigen Begriffen und deren Definitionen vertraut und sehen auch, wie aus einem System, das mehrere lineare Gleichungen kombiniert, eine Matrix gebildet wird.

SLU – mehrere kombinierte algebraische Gleichungen mit Unbekannten erster Potenz und ohne Produktterme.

SLE-Lösung – gefundene Werte von Unbekannten, durch deren Ersetzung die Gleichungen im System zu Identitäten werden.

Ein gemeinsames SLE ist ein Gleichungssystem, das mindestens eine Lösung hat.

Inkonsistente SLE ist ein Gleichungssystem, das keine Lösungen hat.

Wie wird eine Matrix basierend auf einem System gebildet, das lineare Gleichungen kombiniert? Es gibt solche Konzepte wie die Haupt- und erweiterte Matrizen des Systems. Um die Hauptmatrix des Systems zu erh alten, müssen alle Koeffizienten für die Unbekannten in die Tabelle eingetragen werden. Die erweiterte Matrix wird erh alten, indem der Hauptmatrix eine Sp alte mit freien Termen hinzugefügt wird (sie enthält bekannte Elemente, mit denen jede Gleichung im System gleichgesetzt wird). Sie können diesen ganzen Prozess verstehen, indem Sie das Bild unten studieren.

Das erste, was wir auf dem Bild sehen, ist ein System, das lineare Gleichungen enthält. Seine Elemente: a_ij – numerische Koeffizienten, x_j – unbekannte Werte, b_i – konstante Terme (wobei i=1, 2, …, m und j=1, 2, …, n). Das zweite Element im Bild ist die Hauptmatrix der Koeffizienten. Von jeder Gleichung werden die Koeffizienten in einer Reihe geschrieben. Als Ergebnis gibt es so viele Zeilen in der Matrix, wie es Gleichungen im System gibt. Die Anzahl der Sp alten ist gleich der größten Anzahl von Koeffizienten in jeder Gleichung. Das dritte Element im Bild ist eine erweiterte Matrix mit einer Sp alte freier Terme.

Allgemeines zur Gauß-Methode

In der linearen Algebra ist die Gauß-Methode die klassische Art, SLE zu lösen. Es trägt den Namen von Carl Friedrich Gauß, der im 18.-19. Jahrhundert lebte. Dies ist einer der größten Mathematiker aller Zeiten. Das Wesen der Gauß-Methode besteht darin, elementare Transformationen an einem System linearer algebraischer Gleichungen durchzuführen. Mit Hilfe von Transformationen wird der SLE auf ein äquivalentes System in Dreiecksform (Stufenform) reduziert, aus dem alle Variablen zu entnehmen sind.

Bemerkenswert ist, dass Carl Friedrich Gauß nicht der Entdecker der klassischen Methode zur Lösung eines linearen Gleichungssystems ist. Die Methode wurde viel früher erfunden. Seine erste Beschreibung findet sich in der Enzyklopädie des Wissens alter chinesischer Mathematiker mit dem Titel "Mathematik in 9 Büchern".

Ein Beispiel für die Lösung des SLE mit der Gauß-Methode

Betrachten wir die Lösung von Systemen nach der Gauß-Methode an einem konkreten Beispiel. Wir werden mit der im Bild gezeigten SLU arbeiten.

Lösungsalgorithmus:

1. Wir werden das System durch die direkte Bewegung der Gauß-Methode auf eine Stufenform reduzieren, aber zuerstwir werden eine erweiterte Matrix numerischer Koeffizienten und freier Mitglieder zusammenstellen.
2. Um die Matrix mit der Gaußschen Methode zu lösen (d.h. in eine Stufenform zu bringen), subtrahieren wir sequentiell von den Elementen der zweiten und dritten Reihe die Elemente der ersten Reihe. Wir erh alten Nullen in der ersten Sp alte unter dem "führenden" Element. Als nächstes werden wir die zweite und dritte Zeile der Einfachheit halber stellenweise ändern. Zu den Elementen der letzten Reihe werden nacheinander die Elemente der zweiten Reihe addiert, multipliziert mit 3.
3. Als Ergebnis der Berechnung der Matrix nach der Gauß-Methode haben wir eine abgestufte Anordnung von Elementen erh alten. Darauf aufbauend werden wir ein neues lineares Gleichungssystem aufstellen. Durch den umgekehrten Verlauf der Gauß-Methode finden wir die Werte der unbekannten Terme. Aus der letzten linearen Gleichung ist ersichtlich, dass x₃ gleich 1 ist. Diesen Wert setzen wir in die zweite Zeile des Systems ein. Sie erh alten die Gleichung x₂ – 4=–4. Daraus folgt, dass x₂ gleich 0 ist. Setzen Sie x₂ und x₃ in die erste Gleichung des Systems ein: x1 _{+ 0 +3=2. Der unbekannte Term ist -1.}

Antwort: Mit der Matrix, der Gaußschen Methode, haben wir die Werte der Unbekannten gefunden; x1 _{=–1, x}2_{=0, x}3_=1.

Gauß-Jordan-Verfahren

In der linearen Algebra gibt es auch so etwas wie das Gauß-Jordan-Verfahren. Es gilt als Modifikation der Gaußschen Methode und wird verwendet, um die inverse Matrix zu finden und unbekannte Terme von quadratischen Systemen algebraischer linearer Gleichungen zu berechnen. Die Gauß-Jordan-Methode ist insofern praktisch, als sie die Lösung des SLE in einem Schritt ermöglicht (ohne die Verwendung von direkten und inversenbewegt).

Beginnen wir mit dem Begriff "inverse Matrix". Angenommen, wir haben eine Matrix A. Die Inverse dafür ist die Matrix A^-1, während die Bedingung notwendigerweise erfüllt ist: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, d.h. das Produkt dieser Matrizen ist gleich der Identitätsmatrix (die Elemente der Hauptdiagonalen der Identitätsmatrix sind Einsen, die restlichen Elemente sind Null).}

Eine wichtige Nuance: In der linearen Algebra gibt es einen Satz über die Existenz einer inversen Matrix. Eine hinreichende und notwendige Bedingung für die Existenz der Matrix A^-1 ist, dass die Matrix A nichtsingulär ist.

Grundlegende Schritte, auf denen die Gauß-Jordan-Methode basiert:

1. Schau dir die erste Zeile einer bestimmten Matrix an. Das Gauß-Jordan-Verfahren kann gestartet werden, wenn der erste Wert ungleich Null ist. Wenn die erste Stelle 0 ist, tauschen Sie die Zeilen so aus, dass das erste Element einen Wert ungleich Null hat (es ist wünschenswert, dass die Zahl näher bei eins liegt).
2. Teile alle Elemente der ersten Reihe durch die erste Zahl. Am Ende erh alten Sie eine Zeichenfolge, die mit Eins beginnt.
3. Subtrahiere von der zweiten Zeile die erste Zeile multipliziert mit dem ersten Element der zweiten Zeile, d.h. am Ende erhältst du eine Zeile, die bei Null beginnt. Machen Sie dasselbe für die restlichen Linien. Dividiere jede Zeile durch ihr erstes Element ungleich Null, um 1er diagonal zu erh alten.
4. Als Ergebnis erh alten Sie die obere Dreiecksmatrix mit der Gauß-Jordan-Methode. Darin wird die Hauptdiagonale durch Einheiten dargestellt. Die untere Ecke ist mit Nullen gefüllt, undobere Ecke - verschiedene Werte.
5. Subtrahieren Sie von der vorletzten Zeile die letzte Zeile multipliziert mit dem erforderlichen Koeffizienten. Sie sollten eine Zeichenfolge mit Nullen und Einsen erh alten. Wiederholen Sie für die restlichen Zeilen die gleiche Aktion. Nach allen Transformationen erhält man die Identitätsmatrix.

Ein Beispiel für das Finden der inversen Matrix mit der Gauß-Jordan-Methode

Um die inverse Matrix zu berechnen, müssen Sie die erweiterte Matrix A|E schreiben und die notwendigen Transformationen durchführen. Betrachten wir ein einfaches Beispiel. Die folgende Abbildung zeigt die Matrix A.

Lösung:

1. Lassen Sie uns zuerst die Matrixdeterminante mit der Gaußschen Methode finden (det A). Wenn dieser Parameter nicht gleich Null ist, wird die Matrix als nichtsingulär betrachtet. Daraus können wir schließen, dass A definitiv A^-1 hat. Zur Berechnung der Determinante transformieren wir die Matrix durch elementare Transformationen in eine schrittweise Form. Zählen wir die Zahl K gleich der Anzahl der Zeilenpermutationen. Wir haben die Linien nur 1 Mal geändert. Lassen Sie uns die Determinante berechnen. Sein Wert ist gleich dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen, multipliziert mit (–1)^K. Rechenergebnis: det A=2.
2. Stellen Sie die erweiterte Matrix zusammen, indem Sie die Identitätsmatrix zur ursprünglichen Matrix hinzufügen. Das resultierende Array von Elementen wird verwendet, um die inverse Matrix nach der Gauß-Jordan-Methode zu finden.
3. Das erste Element in der ersten Zeile ist gleich eins. Das passt zu uns, weil es nicht nötig ist, die Zeilen neu anzuordnen und die gegebene Zeile durch eine Zahl zu teilen. Fangen wir an zu arbeitenmit der zweiten und dritten Zeile. Um das erste Element in der zweiten Zeile in 0 umzuwandeln, subtrahieren Sie die erste Zeile multipliziert mit 3 von der zweiten Zeile Subtrahieren Sie die erste Zeile von der dritten Zeile (keine Multiplikation erforderlich).
4. In der resultierenden Matrix ist das zweite Element der zweiten Zeile -4 und das zweite Element der dritten Zeile -1. Lassen Sie uns der Einfachheit halber die Zeilen tauschen. Von der dritten Zeile subtrahieren Sie die zweite Zeile multipliziert mit 4. Teilen Sie die zweite Zeile durch -1 und die dritte Zeile durch 2. Wir erh alten die obere Dreiecksmatrix.
5. Subtrahieren wir die letzte Zeile multipliziert mit 4 von der zweiten Zeile und die letzte Zeile multipliziert mit 5 von der ersten Zeile. Als nächstes subtrahieren wir die zweite Zeile multipliziert mit 2 von der ersten Zeile. Auf der linken Seite haben wir die Identitätsmatrix. Rechts ist die inverse Matrix.

Ein Beispiel für die Lösung von SLE nach der Gauß-Jordan-Methode

Die Abbildung zeigt ein lineares Gleichungssystem. Es ist erforderlich, die Werte unbekannter Variablen mithilfe einer Matrix, der Gauß-Jordan-Methode, zu finden.

Lösung:

1. Erstellen wir eine erweiterte Matrix. Dazu tragen wir die Koeffizienten und freien Terme in die Tabelle ein.
2. Löse die Matrix mit der Gauß-Jordan-Methode. Von Zeile Nr. 2 subtrahieren wir Zeile Nr. 1. Von Zeile Nr. 3 subtrahieren wir Zeile Nr. 1, die zuvor mit 2 multipliziert wurde.
3. Zeile 2 und 3 vertauschen.
4. Von Zeile 3 subtrahieren Sie Zeile 2 multipliziert mit 2. Teilen Sie die resultierende dritte Zeile durch –1.
5. Zeile 3 von Zeile 2 subtrahieren.
6. Zeile 1 von Zeile 1 subtrahieren2 mal -1. An der Seite haben wir eine Sp alte, die aus den Zahlen 0, 1 und -1 besteht. Daraus schließen wir, dass x₁=0, x₂=1 und x₃ =–1.

Wenn Sie möchten, können Sie die Richtigkeit der Lösung überprüfen, indem Sie die berechneten Werte in die Gleichungen einsetzen:

• 0 – 1=–1, die erste Identität aus dem System ist korrekt;
• 0 + 1 + (–1)=0, die zweite Identität aus dem System ist richtig;
• 0 – 1 + (–1)=–2, die dritte Identität aus dem System ist richtig.

Schlussfolgerung: Mit der Gauß-Jordan-Methode haben wir die richtige Lösung für ein quadratisches System gefunden, das lineare algebraische Gleichungen kombiniert.

Online-Rechner

Das Leben der heutigen Jugend, die an Universitäten studiert und lineare Algebra studiert, wurde stark vereinfacht. Vor einigen Jahren mussten wir Lösungen für Systeme mit der Gauß- und Gauß-Jordan-Methode selbst finden. Einige Schüler haben die Aufgaben erfolgreich gemeistert, während andere bei der Lösung verwirrt waren, Fehler machten und Klassenkameraden um Hilfe baten. Heute können Sie bei Hausaufgaben Online-Rechner verwenden. Um lineare Gleichungssysteme zu lösen, nach inversen Matrizen zu suchen, wurden Programme geschrieben, die nicht nur die richtigen Antworten zeigen, sondern auch den Fortschritt bei der Lösung eines bestimmten Problems zeigen.

Im Internet gibt es viele Ressourcen mit integrierten Online-Rechnern. Gaußsche Matrizen, Gleichungssysteme werden von diesen Programmen in wenigen Sekunden gelöst. Die Schüler müssen nur die erforderlichen Parameter angeben (z. B. die Anzahl der Gleichungen,Anzahl Variablen).