Was ist Rechnen? Wann hat die Menschheit angefangen, Zahlen zu verwenden und mit ihnen zu arbeiten? Wo liegen die Wurzeln so alltäglicher Konzepte wie Zahlen, Brüche, Subtraktion, Addition und Multiplikation, die ein Mensch zu einem untrennbaren Teil seines Lebens und seiner Weltanschauung gemacht hat? Altgriechische Geister bewunderten Wissenschaften wie Mathematik, Arithmetik und Geometrie als die schönsten Symphonien der menschlichen Logik.
Arithmetik ist vielleicht nicht so tief wie andere Wissenschaften, aber was würde mit ihnen passieren, wenn jemand das einfache Einmaleins vergisst? Das uns gewohnte logische Denken mit Zahlen, Brüchen und anderen Hilfsmitteln war für die Menschen nicht einfach und unseren Vorfahren lange Zeit unzugänglich. Tatsächlich war vor der Entwicklung der Arithmetik kein Bereich des menschlichen Wissens wirklich wissenschaftlich.
Arithmetik ist das ABC der Mathematik
Arithmetik ist die Wissenschaft der Zahlen, mit der jeder beginnt, sich mit der faszinierenden Welt der Mathematik vertraut zu machen. Wie M. V. Lomonosov sagte, ist Arithmetik das Tor zum Lernen, das uns den Weg zum Weltwissen öffnet. Aber er hat rechtIst das Wissen der Welt trennbar vom Wissen um Zahlen und Buchstaben, Mathematik und Sprache? Vielleicht in alten Zeiten, aber nicht in der modernen Welt, wo die rasante Entwicklung von Wissenschaft und Technik ihre eigenen Gesetze diktiert.
Das Wort "Arithmetik" (griechisch "arithmos") griechischen Ursprungs bedeutet "Zahl". Sie studiert Zahlen und alles, was damit zu tun hat. Dies ist die Welt der Zahlen: verschiedene Operationen mit Zahlen, Zahlenregeln, Lösen von Problemen im Zusammenhang mit Multiplikation, Subtraktion usw.
Es ist allgemein anerkannt, dass Arithmetik der erste Schritt der Mathematik und eine solide Grundlage für ihre komplexeren Abschnitte wie Algebra, mathematische Analyse, höhere Mathematik usw. ist.
Hauptgegenstand der Arithmetik
Die Grundlage der Arithmetik ist eine ganze Zahl, deren Eigenschaften und Muster in der höheren Arithmetik oder Zahlentheorie berücksichtigt werden. Tatsächlich hängt die Stärke des ganzen Gebäudes – der Mathematik – davon ab, wie richtig man vorgeht, wenn man einen so kleinen Block als natürliche Zahl betrachtet.
Daher ist die Frage, was Arithmetik ist, einfach zu beantworten: Es ist die Wissenschaft der Zahlen. Ja, über die üblichen sieben, neun und all diese vielfältige Gemeinschaft. Und so wie man ohne ein elementares Alphabet keine gute oder auch nur die mittelmäßigste Dichtung schreiben kann, kann man ohne Arithmetik nicht einmal ein elementares Problem lösen. Aus diesem Grund haben sich alle Wissenschaften erst nach der Entwicklung der Arithmetik und Mathematik weiterentwickelt, bevor dies nur eine Reihe von Annahmen war.
Arithmetik ist eine Phantomwissenschaft
Was ist Rechnen - Naturwissenschaft oder Phantom? Tatsächlich existieren, wie die antiken griechischen Philosophen argumentierten, weder Zahlen noch Figuren in der Realität. Das ist nur ein Phantom, das im menschlichen Denken entsteht, wenn man die Umwelt mit ihren Prozessen betrachtet. Was ist eigentlich eine Zahl? Nirgends sehen wir so etwas, das man eine Zahl nennen könnte, vielmehr ist eine Zahl eine Art des menschlichen Geistes, die Welt zu studieren. Oder vielleicht ist es das Studium von uns selbst von innen? Darüber streiten sich die Philosophen seit vielen Jahrhunderten in Folge, daher verpflichten wir uns nicht, eine erschöpfende Antwort zu geben. Auf die eine oder andere Weise hat es die Arithmetik geschafft, ihren Platz so fest einzunehmen, dass in der modernen Welt niemand als sozial angepasst angesehen werden kann, ohne ihre Grundlagen zu kennen.
Wie ist die natürliche Zahl entstanden
Natürlich ist das Hauptobjekt der Arithmetik eine natürliche Zahl, wie 1, 2, 3, 4, …, 152 … usw. Die Arithmetik natürlicher Zahlen ist das Ergebnis des Zählens gewöhnlicher Objekte, wie z. B. Kühe auf einer Wiese. Trotzdem passte die Definition von „viel“oder „wenig“den Menschen früher nicht mehr, und sie mussten fortschrittlichere Zähltechniken erfinden.
Aber der wirkliche Durchbruch geschah, als das menschliche Denken den Punkt erreichte, an dem es möglich ist, 2 Kilogramm und 2 Ziegel und 2 Teile mit der gleichen Zahl "zwei" zu bezeichnen. Tatsache ist, dass Sie von den Formen, Eigenschaften und der Bedeutung von Objekten abstrahieren müssen, dann können Sie einige Aktionen mit diesen Objekten in Form natürlicher Zahlen ausführen. So wurde die Arithmetik der Zahlen geboren, dieweiterentwickelt und ausgebaut und nehmen immer größere Positionen im gesellschaftlichen Leben ein.
So tiefgreifende Zahlenkonzepte wie Null und negative Zahl, Brüche, Bezeichnungen von Zahlen durch Zahlen und auf andere Weise haben eine reiche und interessante Entwicklungsgeschichte.
Arithmetische und praktische Ägypter
Die beiden ältesten menschlichen Begleiter bei der Erforschung der Welt um uns herum und der Lösung alltäglicher Probleme sind Arithmetik und Geometrie.
Es wird angenommen, dass die Geschichte der Arithmetik im Alten Osten ihren Ursprung hat: in Indien, Ägypten, Babylon und China. So stammt der Rinda-Papyrus ägyptischen Ursprungs (so genannt, weil er dem gleichnamigen Besitzer gehörte) aus dem 20. Jahrhundert. BC enthält neben anderen wertvollen Daten die Erweiterung eines Bruchs in die Summe von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern und einem Zähler gleich eins.
Zum Beispiel: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Aber was ist der Sinn einer so komplexen Zerlegung? Tatsache ist, dass der ägyptische Ansatz keine abstrakten Gedanken über Zahlen tolerierte, im Gegenteil, Berechnungen wurden nur für praktische Zwecke durchgeführt. Das heißt, der Ägypter wird sich auf so etwas wie Berechnungen einlassen, nur um zum Beispiel ein Grab zu bauen. Es war notwendig, die Länge der Kante der Struktur zu berechnen, und dies zwang eine Person, sich hinter den Papyrus zu setzen. Wie Sie sehen können, war der ägyptische Fortschritt in der Berechnung eher durch Massenkonstruktion als durch Liebe zur Wissenschaft verursacht.
Aus diesem Grund können die auf den Papyri gefundenen Berechnungen nicht als Reflexionen zum Thema Brüche bezeichnet werden. Höchstwahrscheinlich ist dies eine praktische Vorbereitung, die in der Zukunft geholfen hat. Probleme mit Brüchen lösen. Die alten Ägypter, die das Einmaleins nicht kannten, machten ziemlich lange Berechnungen, zerlegt in viele Teilaufgaben. Vielleicht ist dies eine dieser Unteraufgaben. Es ist leicht einzusehen, dass Berechnungen mit solchen Werkstücken sehr aufwendig und aussichtslos sind. Vielleicht sehen wir aus diesem Grund den großen Beitrag des alten Ägypten zur Entwicklung der Mathematik nicht.
Das antike Griechenland und die philosophische Arithmetik
Viele Kenntnisse des Alten Ostens wurden von den alten Griechen, berühmten Liebhabern abstrakter, abstrakter und philosophischer Reflexionen, erfolgreich gemeistert. Sie interessierten sich nicht weniger für die Praxis, aber es ist schwierig, die besten Theoretiker und Denker zu finden. Davon profitiert die Wissenschaft, denn es ist unmöglich, sich in Arithmetik zu vertiefen, ohne sie von der Realität abzubrechen. Klar, man kann 10 Kühe und 100 Liter Milch vermehren, aber weit kommt man nicht.
Die tief denkenden Griechen haben einen bedeutenden Eindruck in der Geschichte hinterlassen, und ihre Schriften sind bis zu uns überliefert:
- Euklid und die Elemente.
- Pythagoras.
- Archimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
Und natürlich waren die Griechen, die alles in Philosophie verwandelten, und besonders die Nachfolger des Werkes von Pythagoras, so fasziniert von Zahlen, dass sie sie für das Mysterium der Harmonie der Welt hielten. Zahlen wurden so intensiv studiert und erforscht, dass einigen von ihnen und ihren Paaren besondere Eigenschaften zugeordnet wurden. Zum Beispiel:
- Perfekte Zahlen sind solche, die gleich der Summe aller ihrer Teiler sind, mit Ausnahme der Zahl selbst (6=1+2+3).
- Freundliche Nummern sind jene Nummern, von denen eineist gleich der Summe aller Teiler der Sekunde und umgekehrt (die Pythagoräer kannten nur ein solches Paar: 220 und 284).
Die Griechen, die glaubten, dass die Wissenschaft geliebt werden sollte und nicht um des Profits willen, erzielten große Erfolge, indem sie Zahlen erforschten, spielten und addierten. Es sollte beachtet werden, dass nicht alle ihre Forschungen weit verbreitet waren, einige von ihnen blieben nur "für die Schönheit".
östliche Denker des Mittel alters
In gleicher Weise verdankt die Arithmetik im Mittel alter ihre Entwicklung östlichen Zeitgenossen. Die Indianer gaben uns die Zahlen, die wir aktiv verwenden, ein Konzept wie "Null" und die Positionsversion des Kalküls, die der modernen Wahrnehmung vertraut ist. Von Al-Kashi, der im 15. Jahrhundert in Samarkand arbeitete, haben wir Dezimalbrüche geerbt, ohne die die moderne Arithmetik nur schwer vorstellbar ist.
In vielerlei Hinsicht wurde Europas Bekanntschaft mit den Errungenschaften des Ostens dank der Arbeit des italienischen Wissenschaftlers Leonardo Fibonacci möglich, der das Werk "Das Buch des Abakus" schrieb, in dem er östliche Innovationen einführte. Es wurde zum Eckpfeiler der Entwicklung von Algebra und Arithmetik, Forschung und wissenschaftlichen Aktivitäten in Europa.
Russische Arithmetik
Und schließlich begann sich die Arithmetik, die ihren Platz in Europa gefunden und Wurzeln geschlagen hatte, in den russischen Ländern auszubreiten. Die erste russische Arithmetik wurde 1703 veröffentlicht - es war ein Buch über Arithmetik von Leonty Magnitsky. Es blieb lange Zeit das einzige Lehrbuch der Mathematik. Es enthält die Anfangsmomente der Algebra und Geometrie. Die in den Beispielen des ersten Rechenbuchs Russlands verwendeten Zahlen sind arabisch. Obwohl arabische Ziffern schon früher auf Gravuren aus dem 17. Jahrhundert zu sehen waren.
Das Buch selbst ist mit Bildern von Archimedes und Pythagoras geschmückt, und auf dem ersten Blatt - dem Bild der Arithmetik in Form einer Frau. Sie sitzt auf einem Thron, unter ihr steht auf Hebräisch ein Wort, das den Namen Gottes bezeichnet, und auf den Stufen, die zum Thron führen, sind die Worte „Division“, „Multiplikation“, „Addition“usw. eingeschrieben Wahrheiten die heute als alltäglich gelten.
Ein 600-seitiges Lehrbuch behandelt sowohl Grundlagen wie Additions- und Multiplikationstabellen als auch Anwendungen in den Navigationswissenschaften.
Es ist nicht verwunderlich, dass der Autor Bilder griechischer Denker für sein Buch gewählt hat, weil er selbst von der Schönheit der Arithmetik fasziniert war und sagte: "Arithmetik ist der Zähler, es gibt Kunst, ehrlich, nicht beneidenswert …". Diese Herangehensweise an die Arithmetik ist durchaus gerechtfertigt, da ihre weit verbreitete Einführung als Beginn der rasanten Entwicklung des wissenschaftlichen Denkens in Russland und der allgemeinen Bildung angesehen werden kann.
Primzahlen unprim
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur 2 positive Teiler hat: 1 und sich selbst. Alle anderen Zahlen außer 1 heißen zusammengesetzt. Beispiele für Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11 und alle anderen, die keine anderen Teiler als 1 und sich selbst haben.
Was die Zahl 1 betrifft, so befindet sie sich auf einem Sonderkonto - es besteht eine Vereinbarung, dass sie weder als einfach noch als zusammengesetzt betrachtet werden sollte. Auf den ersten Blick einfach, verbirgt eine einfache Zahl viele ungelöste Rätsel in sich.
Der Satz von Euklid besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, und Eratosthenes erfand ein spezielles arithmetisches "Sieb", das Nicht-Primzahlen eliminiert und nur einfache übrig lässt.
Es geht darum, die erste nicht durchgestrichene Zahl zu unterstreichen und anschließend die Vielfachen davon durchzustreichen. Wir wiederholen diesen Vorgang viele Male - und erh alten eine Tabelle mit Primzahlen.
Der Fundamentalsatz der Arithmetik
Unter den Beobachtungen über Primzahlen ist der Fundamentalsatz der Arithmetik in besonderer Weise zu nennen.
Der Hauptsatz der Arithmetik besagt, dass jede ganze Zahl größer als 1 entweder eine Primzahl ist oder bis zur Ordnung der Faktoren in ein Produkt von Primzahlen zerlegt werden kann, und zwar auf eindeutige Weise.
Der Hauptsatz der Arithmetik erweist sich als ziemlich umständlich, und sein Verständnis sieht nicht mehr nach den einfachsten Grundlagen aus.
Primzahlen sind auf den ersten Blick ein elementarer Begriff, sind es aber nicht. Auch die Physik betrachtete das Atom einst als elementar, bis sie das ganze Universum in sich fand. Eine wunderbare Geschichte des Mathematikers Don Tzagir „The First Fifty Million Primes“ist den Primzahlen gewidmet.
Von "drei Äpfeln" zu deduktiven Gesetzen
Was wirklich als verstärkte Grundlage aller Wissenschaft bezeichnet werden kann, sind die Gesetze der Arithmetik. Schon in der Kindheit ist jeder mit Rechnen konfrontiert und studiert die Anzahl der Beine und Arme von Puppen.die Anzahl der Würfel, Äpfel usw. So lernen wir Arithmetik, die dann in komplexere Regeln übergeht.
Unser ganzes Leben macht uns mit den Regeln der Arithmetik vertraut, die für den einfachen Mann zu den nützlichsten aller Wissenschaften geworden sind. Das Studium der Zahlen ist "Arithmetik-Baby", das einen Menschen in der frühen Kindheit in die Welt der Zahlen in Form von Zahlen einführt.
Höhere Arithmetik ist eine deduktive Wissenschaft, die die Gesetze der Arithmetik untersucht. Wir kennen die meisten von ihnen, auch wenn wir ihren genauen Wortlaut vielleicht nicht kennen.
Das Gesetz der Addition und Multiplikation
Zwei beliebige natürliche Zahlen a und b können als Summe a+b ausgedrückt werden, die ebenfalls eine natürliche Zahl ist. Für die Addition gelten die folgenden Gesetze:
- Kommutativ, was besagt, dass sich die Summe durch die Neuordnung der Terme nicht ändert, oder a+b=b+a.
- Assoziativ, was besagt, dass die Summe nicht von der Gruppierung der Terme abhängt, oder a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Arithmetische Regeln wie die Addition gehören zu den elementarsten, werden aber von allen Wissenschaften genutzt, vom Alltag ganz zu schweigen.
Zwei beliebige natürliche Zahlen a und b können als Produkt ab oder ab ausgedrückt werden, was ebenfalls eine natürliche Zahl ist. Für das Produkt gelten die gleichen Kommutativ- und Assoziativgesetze wie für die Addition:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Ich frage michdass es ein Gesetz gibt, das Addition und Multiplikation vereint, auch Distributiv- oder Distributivgesetz genannt:
a(b+c)=ab+ac
Dieses Gesetz lehrt uns tatsächlich, mit Klammern zu arbeiten, indem wir sie erweitern, sodass wir mit komplexeren Formeln arbeiten können. Dies sind die Gesetze, die uns durch die bizarre und komplexe Welt der Algebra führen werden.
Das Gesetz der arithmetischen Ordnung
Das Gesetz der Ordnung wird jeden Tag von der menschlichen Logik verwendet, um Uhren zu vergleichen und Geldscheine zu zählen. Und dennoch muss es in Form konkreter Formulierungen formalisiert werden.
Wenn wir zwei natürliche Zahlen a und b haben, dann sind folgende Möglichkeiten möglich:
- a gleich b, oder a=b;
- a ist kleiner als b, oder a < b;
- a ist größer als b, oder a > b.
Von drei Optionen kann nur eine fair sein. Das Grundgesetz der Ordnung lautet: wenn a < b und b < c, dann a< c.
Es gibt auch Ordnungsgesetze für Multiplikation und Addition: Wenn a< b ist, dann a + c < b+c und ac< bc.
Die Gesetze der Arithmetik lehren uns, mit Zahlen, Zeichen und Klammern zu arbeiten und alles zu einer harmonischen Zahlensymphonie zu machen.
Positions- und Nicht-Positionsrechnung
Man kann sagen, dass Zahlen eine mathematische Sprache sind, von deren Bequemlichkeit viel abhängt. Es gibt viele Zahlensysteme, die sich wie die Alphabete verschiedener Sprachen voneinander unterscheiden.
Betrachten wir die Zahlensysteme vom Standpunkt des Einflusses der Position auf den quantitativen WertZahlen in dieser Position. So ist beispielsweise das römische System nicht-positional, wobei jede Zahl durch einen bestimmten Satz von Sonderzeichen codiert ist: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Sie sind jeweils gleich den Zahlen 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. In einem solchen System ändert die Zahl ihre quantitative Definition nicht, je nachdem, an welcher Position sie sich befindet: erste, zweite usw. Um andere Zahlen zu erh alten, müssen Sie die Basiszahlen addieren. Zum Beispiel:
- DCC=700.
- CCM=800.
Das uns bekanntere Zahlensystem mit arabischen Ziffern ist das Positions-System. In einem solchen System bestimmt die Ziffer einer Zahl die Anzahl der Ziffern, zum Beispiel dreistellige Zahlen: 333, 567 usw. Die Gewichtung einer beliebigen Ziffer hängt von der Position ab, an der diese oder jene Ziffer steht, beispielsweise hat die Zahl 8 an zweiter Stelle einen Wert von 80. Dies ist typisch für das Dezimalsystem, es gibt beispielsweise auch andere Positionssysteme, binär.
Binäre Arithmetik
Wir kennen das Dezimalsystem, bestehend aus einstelligen und mehrstelligen Zahlen. Die Zahl auf der linken Seite einer mehrstelligen Zahl ist zehnmal signifikanter als die auf der rechten Seite. Wir sind also daran gewöhnt, 2, 17, 467 usw. zu lesen. Der Abschnitt namens "Binäre Arithmetik" hat eine völlig andere Logik und Herangehensweise. Dies ist nicht verwunderlich, da die binäre Arithmetik nicht für die menschliche Logik, sondern für die Computerlogik geschaffen wurde. Wenn die Zahlenarithmetik aus dem Zählen von Gegenständen entstanden ist, das von den Eigenschaften der Gegenstände weiter abstrahiert wurde zur „nackten“Arithmetik, dann wird das mit einem Computer nicht funktionieren. Teilen zu könnenmit seinen Computerkenntnissen musste eine Person ein solches Rechenmodell erfinden.
Binäre Arithmetik arbeitet mit dem binären Alphabet, das nur aus 0 und 1 besteht. Und die Verwendung dieses Alphabets wird binäres System genannt.
Der Unterschied zwischen Binärarithmetik und Dezimalarithmetik besteht darin, dass die Wertigkeit der linken Stelle nicht mehr 10, sondern 2 mal ist. Binärzahlen haben die Form 111, 1001 usw. Wie sind solche Zahlen zu verstehen? Betrachten Sie also die Zahl 1100:
- Die erste Ziffer links ist 18=8, wobei wir uns daran erinnern, dass die vierte Ziffer, was bedeutet, dass sie mit 2 multipliziert werden muss, die Position 8 ergibt.
- Zweite Ziffer 14=4 (Stelle 4).
- Dritte Ziffer 02=0 (Stelle 2).
- Vierte Ziffer 01=0 (Stelle 1).
- Unsere Nummer ist also 1100=8+4+0+0=12.
Das heißt, wenn Sie zu einer neuen Ziffer auf der linken Seite wechseln, wird ihre Bedeutung im Binärsystem mit 2 und im Dezimalsystem mit 10 multipliziert. Ein solches System hat ein Minus: Es ist ein zu großer Anstieg Ziffern, die zum Schreiben von Zahlen benötigt werden. Beispiele für die Darstellung von Dezimalzahlen als Binärzahlen finden Sie in der folgenden Tabelle.
Dezimalzahlen in binärer Form werden unten angezeigt.
Oktale und hexadezimale Systeme werden ebenfalls verwendet.
Diese mysteriöse Arithmetik
Was ist Arithmetik, "zweimal zwei" oder unerforschte Zahlengeheimnisse? Wie Sie sehen, mag Arithmetik auf den ersten Blick einfach erscheinen, aber ihre nicht offensichtliche Leichtigkeit täuscht. Es kann auch von Kindern zusammen mit Tante Eule studiert werdenZeichentrickfilm „Arithmetik-Baby“und Sie können in tiefgründige wissenschaftliche Forschungen von fast philosophischem Rang eintauchen. In der Geschichte ist sie vom Zählen von Objekten zur Anbetung der Schönheit der Zahlen übergegangen. Sicher ist nur eines: Mit der Aufstellung der Grundpostulate der Arithmetik kann sich alle Wissenschaft auf ihre starke Schulter verlassen.
