Das Lösen von Gleichungen in der Mathematik hat einen besonderen Stellenwert. Diesem Prozess gehen viele Stunden des Theoriestudiums voraus, in denen der Student lernt, Gleichungen zu lösen, ihre Form zu bestimmen und die Fertigkeit zum vollen Automatismus zu bringen. Die Suche nach Wurzeln ist jedoch nicht immer sinnvoll, da sie möglicherweise einfach nicht existieren. Es gibt spezielle Methoden, um Wurzeln zu finden. In diesem Artikel analysieren wir die Hauptfunktionen, ihre Bereiche sowie Fälle, in denen ihre Wurzeln fehlen.
Welche Gleichung hat keine Nullstelle?
Eine Gleichung hat keine Wurzeln, wenn es keine solchen reellen Argumente x gibt, für die die Gleichung identisch wahr ist. Für einen Laien sieht diese Formulierung, wie die meisten mathematischen Theoreme und Formeln, sehr vage und abstrakt aus, aber das ist Theorie. In der Praxis wird alles extrem einfach. Zum Beispiel: Die Gleichung 0x=-53 hat keine Lösung, da es keine solche Zahl x gibt, deren Produkt mit Null etwas anderes als Null ergeben würde.
Jetzt schauen wir uns die grundlegendsten Arten von Gleichungen an.
1. Lineare Gleichung
Eine Gleichung heißt linear, wenn ihr rechter und linker Teil als lineare Funktionen dargestellt werden: ax + b=cx + d oder verallgemeinert kx + b=0. Wobei a, b, c, d bekannt sind Zahlen, und x ist eine unbekannte Größe. Welche Gleichung hat keine Wurzeln? Beispiele für lineare Gleichungen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.
Grundsätzlich werden lineare Gleichungen gelöst, indem man einfach den Zahlenteil in einen Teil und den Inh alt von x in den anderen verschiebt. Es stellt sich eine Gleichung der Form mx \u003d n heraus, wobei m und n Zahlen sind und x eine Unbekannte ist. Um x zu finden, genügt es, beide Teile durch m zu dividieren. Dann ist x=n/m. Grundsätzlich haben lineare Gleichungen nur eine Wurzel, aber es gibt Fälle, in denen es entweder unendlich viele oder gar keine Wurzeln gibt. Mit m=0 und n=0 hat die Gleichung die Form 0x=0. Absolut jede Zahl wird die Lösung einer solchen Gleichung sein.
Aber welche Gleichung hat keine Wurzeln?
Wenn m=0 und n=0, hat die Gleichung keine Wurzeln aus der Menge der reellen Zahlen. 0x=-1; 0x=200 - diese Gleichungen haben keine Wurzeln.
2. Quadratische Gleichung
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax2 + bx + c=0 für a=0. Die häufigste Art, eine quadratische Gleichung zu lösen, ist, sie zu lösen durch die Diskriminante. Die Formel zum Ermitteln der Diskriminante einer quadratischen Gleichung: D=b2 - 4ac. Dann gibt es zwei Wurzeln x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Wenn D > 0 ist, hat die Gleichung zwei Wurzeln, wenn D=0 - eine Wurzel. Aber welche quadratische Gleichung hat keine Wurzeln?Der einfachste Weg, die Anzahl der Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu beobachten, ist der Graph einer Funktion, der eine Parabel ist. Bei einer > 0 sind die Äste nach oben gerichtet, bei einer < 0 sind die Äste abgesenkt. Wenn die Diskriminante negativ ist, hat eine solche quadratische Gleichung keine Wurzeln in der Menge der reellen Zahlen.
Du kannst die Anzahl der Wurzeln auch visuell bestimmen, ohne die Diskriminante zu berechnen. Dazu müssen Sie die Spitze der Parabel finden und bestimmen, in welche Richtung die Zweige gerichtet sind. Die x-Koordinate eines Scheitelpunkts können Sie mit der Formel x0 =-b / 2a bestimmen. In diesem Fall erhält man die y-Koordinate des Scheitelpunkts, indem man einfach den x0-Wert in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.
Die quadratische Gleichung x2 – 8x + 72=0 hat keine Wurzeln, weil sie eine negative Diskriminante D=(–8)2 hat- 4172=-224. Das bedeutet, dass die Parabel die x-Achse nicht berührt und die Funktion nie den Wert 0 annimmt, die Gleichung also keine echten Wurzeln hat.
3. Trigonometrische Gleichungen
Trigonometrische Funktionen werden auf einem trigonometrischen Kreis betrachtet, können aber auch in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden. In diesem Artikel betrachten wir zwei grundlegende trigonometrische Funktionen und ihre Gleichungen: sinx und cosx. Da diese Funktionen einen trigonometrischen Kreis mit Radius 1 bilden, ist |sinx| und |cosx| kann nicht größer als 1 sein. Welche sinx-Gleichung hat also keine Wurzeln? Betrachten Sie den Graphen der sinx-Funktion, der im Bild dargestellt istunten.
Wir sehen, dass die Funktion symmetrisch ist und eine Wiederholungsperiode von 2pi hat. Auf dieser Grundlage können wir sagen, dass der Maximalwert dieser Funktion 1 und der Minimalwert -1 sein kann. Beispielsweise hat der Ausdruck cosx=5 keine Wurzeln, da sein Modulo größer als eins ist.
Dies ist das einfachste Beispiel für trigonometrische Gleichungen. Tatsächlich kann ihre Lösung viele Seiten umfassen, an deren Ende Sie feststellen, dass Sie die falsche Formel verwendet haben und von vorne beginnen müssen. Manchmal können Sie trotz des richtigen Findens der Wurzeln vergessen, die Einschränkungen der ODZ zu berücksichtigen, weshalb in der Antwort eine zusätzliche Wurzel oder ein zusätzliches Intervall erscheint und die gesamte Antwort zu einer fehlerhaften wird. H alten Sie sich daher strikt an alle Einschränkungen, da nicht alle Wurzeln in den Aufgabenbereich passen.
4. Gleichungssysteme
Ein Gleichungssystem ist ein Satz von Gleichungen, die mit geschweiften oder eckigen Klammern verbunden sind. Geschweifte Klammern kennzeichnen die gemeinsame Ausführung aller Gleichungen. Das heißt, wenn mindestens eine der Gleichungen keine Wurzeln hat oder der anderen widerspricht, hat das gesamte System keine Lösung. Eckige Klammern kennzeichnen das Wort „oder“. Das bedeutet, wenn mindestens eine der Gleichungen des Systems eine Lösung hat, dann hat das ganze System eine Lösung.
Die Antwort des Systems mit eckigen Klammern ist die Gesamtheit aller Wurzeln der einzelnen Gleichungen. Und Systeme mit geschweiften Klammern haben nur gemeinsame Wurzeln. Gleichungssysteme können absolut unterschiedliche Funktionen enth alten, diese Komplexität ist es also nichtermöglicht es Ihnen, sofort zu erkennen, welche Gleichung keine Nullstellen hat.
Verallgemeinerung und Tipps zum Finden der Wurzeln der Gleichung
In Problem- und Lehrbüchern gibt es verschiedene Arten von Gleichungen: solche mit Wurzeln und solche ohne Wurzeln. Erstens, wenn Sie Wurzeln nicht finden können, denken Sie nicht, dass sie überhaupt nicht existieren. Möglicherweise haben Sie irgendwo einen Fehler gemacht, dann überprüfen Sie Ihre Lösung einfach noch einmal.
Wir haben die grundlegendsten Gleichungen und ihre Typen behandelt. Jetzt können Sie erkennen, welche Gleichung keine Wurzeln hat. In den meisten Fällen ist dies überhaupt nicht schwierig. Um beim Lösen von Gleichungen erfolgreich zu sein, sind nur Aufmerksamkeit und Konzentration erforderlich. Üben Sie mehr, es wird Ihnen helfen, sich viel besser und schneller im Material zurechtzufinden.
Also hat die Gleichung keine Wurzeln, wenn:
- in der linearen Gleichung mx=n der Wert m=0 und n=0;
- in einer quadratischen Gleichung, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist;
- in einer trigonometrischen Gleichung der Form cosx=m / sinx=n, falls |m| > 0, |n| > 0;
- in einem Gleichungssystem mit geschweiften Klammern, wenn mindestens eine Gleichung keine Nullstellen hat, und mit eckigen Klammern, wenn alle Gleichungen keine Nullstellen haben.
