Um die Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen und ihren Variablen zu finden, ist es notwendig, alle Merkmale dieses Wissensgebiets zu studieren. Es gibt verschiedene Methoden, um die betreffenden Werte zu finden, darunter das Ändern einer Variablen und das Generieren eines Moments. Distribution ist ein Konzept, das auf Elementen wie Streuung, Variationen basiert. Sie charakterisieren jedoch nur den Grad der Streuamplitude.
Die wichtigeren Funktionen von Zufallsvariablen sind diejenigen, die verwandt und unabhängig und gleichverteilt sind. Wenn zum Beispiel X1 das Gewicht einer zufällig ausgewählten Person aus einer männlichen Population ist, X2 das Gewicht einer anderen Person ist, … und Xn das Gewicht einer weiteren Person aus der männlichen Population ist, dann müssen wir wissen, wie der Zufall funktioniert X ist verteilt. In diesem Fall gilt der klassische Satz, der als zentraler Grenzwertsatz bezeichnet wird. Damit können Sie zeigen, dass die Funktion für große n Standardverteilungen folgt.
Funktionen einer Zufallsvariablen
Der zentrale Grenzwertsatz dient zur Annäherung diskreter betrachteter Werte wie Binomial und Poisson. Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen werden zunächst auf einfache Werte einer Variablen betrachtet. Zum Beispiel, wenn X eine kontinuierliche Zufallsvariable mit eigener Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. In diesem Fall untersuchen wir, wie man die Dichtefunktion von Y mit zwei verschiedenen Ansätzen findet, nämlich der Verteilungsfunktionsmethode und der Änderung der Variablen. Zunächst werden nur Eins-zu-eins-Werte betrachtet. Dann müssen Sie die Technik zum Ändern der Variablen ändern, um ihre Wahrscheinlichkeit zu finden. Schließlich müssen wir lernen, wie die inverse kumulative Verteilungsfunktion dabei helfen kann, Zufallszahlen zu modellieren, die bestimmten sequentiellen Mustern folgen.
Methode der Verteilung der betrachteten Werte
Die Methode der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion einer Zufallsvariablen ist anwendbar, um ihre Dichte zu finden. Bei dieser Methode wird ein kumulierter Wert berechnet. Durch Differenzieren erhält man dann die Wahrscheinlichkeitsdichte. Nachdem wir nun die Verteilungsfunktionsmethode haben, können wir uns ein paar weitere Beispiele ansehen. Sei X eine stetige Zufallsvariable mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsdichte.
Was ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von x2? Wenn Sie sich die Funktion (oben und rechts) y \u003d x2 ansehen oder grafisch darstellen, können Sie feststellen, dass es sich um ein zunehmendes X und 0 <y<1 handelt. Jetzt müssen Sie die betrachtete Methode verwenden, um Y zu finden. Zuerst wird die kumulative Verteilungsfunktion gefunden, Sie müssen nur differenzieren, um die Wahrscheinlichkeitsdichte zu erh alten. Dabei erh alten wir: 0<y<1. Die Verteilungsmethode wurde erfolgreich implementiert, um Y zu finden, wenn Y eine wachsende Funktion von X ist. Übrigens integriert sich f(y) in 1 über y.
Im letzten Beispiel wurde große Sorgf alt darauf verwendet, die Summenfunktionen und die Wahrscheinlichkeitsdichte entweder mit X oder Y zu indizieren, um anzugeben, zu welcher Zufallsvariablen sie gehörten. Wenn Sie beispielsweise die kumulative Verteilungsfunktion von Y finden, erh alten wir X. Wenn Sie eine Zufallsvariable X und ihre Dichte finden müssen, müssen Sie sie nur differenzieren.
Variable Change Technique
Sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable, die durch eine Verteilungsfunktion mit einem gemeinsamen Nenner f (x) gegeben ist. Wenn Sie in diesem Fall den Wert von y in X=v (Y) eingeben, erh alten Sie den Wert von x, zum Beispiel v (y). Jetzt müssen wir die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen Y erh alten. Wobei die erste und zweite Gleichheit aus der Definition von kumulativ Y erfolgt. Die dritte Gleichheit gilt, weil der Teil der Funktion, für den u (X) ≦ y ist auch wahr, dass X ≦ v (Y). Und die letzte dient dazu, die Wahrscheinlichkeit in einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X zu bestimmen. Jetzt müssen wir die Ableitung von FY (y), der kumulativen Verteilungsfunktion von Y, nehmen, um die Wahrscheinlichkeitsdichte Y zu erh alten.
Verallgemeinerung für die Abnahmefunktion
Sei X eine stetige Zufallsvariable mit gemeinsamem f (x), definiert über c1<x<c2. Und sei Y=u (X) eine fallende Funktion von X mit Umkehrung X=v (Y). Da die Funktion stetig und fallend ist, gibt es eine Umkehrfunktion X=v (Y).
Um dieses Problem zu lösen, können Sie quantitative Daten sammeln und die empirische kumulative Verteilungsfunktion verwenden. Mit diesen Informationen müssen Sie Mittelwerte, Standardabweichungen, Mediendaten und so weiter kombinieren.
In ähnlicher Weise kann selbst ein ziemlich einfaches Wahrscheinlichkeitsmodell eine große Anzahl von Ergebnissen haben. Zum Beispiel, wenn Sie eine Münze 332 Mal werfen. Dann ist die Anzahl der von Flips erh altenen Ergebnisse größer als die von Google (10100) - eine Zahl, die jedoch nicht weniger als 100 Trillionen Mal höher ist als Elementarteilchen im bekannten Universum. Kein Interesse an einer Analyse, die auf jedes mögliche Ergebnis eine Antwort gibt. Ein einfacheres Konzept wäre erforderlich, wie z. B. die Anzahl der Köpfe oder der längste Hub der Schwänze. Um sich auf interessante Themen zu konzentrieren, wird ein bestimmtes Ergebnis akzeptiert. Die Definition lautet in diesem Fall wie folgt: Eine Zufallsvariable ist eine reelle Funktion mit einem Wahrscheinlichkeitsraum.
Der Bereich S einer Zufallsvariablen wird manchmal Zustandsraum genannt. Wenn also X der fragliche Wert ist, dann gilt N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc und so weiter. Die letzte davon, das Runden von X auf die nächste ganze Zahl, wird Floor-Funktion genannt.
Verteilungsfunktionen
Sobald die interessierende Verteilungsfunktion für eine Zufallsvariable x bestimmt ist, lautet die Frage normalerweise: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X in eine Teilmenge von B-Werten fällt?". Beispiel: B={ungerade Zahlen}, B={größer als 1} oder B={zwischen 2 und 7}, um die Ergebnisse anzugeben, die X, den Wert, habenZufallsvariable, in Teilmenge A. Somit können Sie im obigen Beispiel die Ereignisse wie folgt beschreiben.
{X ist eine ungerade Zahl}, {X ist größer als 1}={X> 1}, {X ist zwischen 2 und 7}={2 <X <7}, um die drei obigen Optionen für Teilmenge B abzugleichen. Viele Eigenschaften von Zufallsgrößen beziehen sich nicht auf ein bestimmtes X. Sie hängen vielmehr davon ab, wie X seine Werte zuweist. Das führt zu einer Definition, die so klingt: Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen x ist kumulativ und wird durch quantitative Beobachtungen bestimmt.
Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen
Daher kannst du durch Subtraktion die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen x Werte im Intervall annehmen wird. Denken Sie darüber nach, Endpunkte ein- oder auszuschließen.
Wir nennen eine Zufallsvariable diskret, wenn sie einen endlichen oder abzählbar unendlichen Zustandsraum hat. Somit ist X die Anzahl der Köpfe bei drei unabhängigen Würfen einer voreingenommenen Münze, die mit der Wahrscheinlichkeit p steigt. Wir müssen die kumulative Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen FX für X finden. Sei X die Anzahl der Spitzen in einer Sammlung von drei Karten. Dann Y=X3 über FX. FX beginnt bei 0, endet bei 1 und nimmt nicht ab, wenn die x-Werte steigen. Die kumulative FX-Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen X ist bis auf Sprünge konstant. Beim Springen ist der FX kontinuierlich. Beweisen Sie die Aussage über das Richtigedie Stetigkeit der Verteilungsfunktion aus der Wahrscheinlichkeitseigenschaft ist mit der Definition möglich. Es hört sich so an: Eine konstante Zufallsvariable hat einen kumulativen FX, der differenzierbar ist.
Um zu zeigen, wie das passieren kann, können wir ein Beispiel geben: ein Ziel mit einem Einheitsradius. Vermutlich. Der Pfeil wird gleichmäßig über die angegebene Fläche verteilt. Für einige λ> 0. Somit steigen die Verteilungsfunktionen stetiger Zufallsvariablen stetig an. FX hat die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion.
Ein Mann wartet an der Bush altestelle, bis der Bus kommt. Nachdem er für sich selbst entschieden hat, dass er sich weigern wird, wenn die Wartezeit 20 Minuten erreicht. Hier ist es notwendig, die kumulative Verteilungsfunktion für T zu finden. Die Zeit, zu der eine Person noch am Busbahnhof ist oder nicht abfährt. Obwohl die kumulative Verteilungsfunktion für jede Zufallsvariable definiert ist. Allerdings werden auch andere Merkmale häufig verwendet: die Masse für eine diskrete Variable und die Verteilungsdichtefunktion für eine Zufallsvariable. Üblicherweise wird der Wert über einen dieser beiden Werte ausgegeben.
Massenfunktionen
Diese Werte werden durch folgende Eigenschaften berücksichtigt, die einen allgemeinen (Massen-)Charakter haben. Die erste basiert auf der Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeiten nicht negativ sind. Die zweite folgt aus der Beobachtung, dass die Menge für alle x=2S, der Zustandsraum für X, eine Partition der probabilistischen Freiheit von X bildet. Beispiel: Werfen einer voreingenommenen Münze, deren Ergebnisse unabhängig sind. Du kannst weitermachenbestimmte Aktionen, bis Sie Kopfrollen bekommen. Sei X eine Zufallsvariable, die die Anzahl der Schwänze vor dem ersten Kopf angibt. Und p bezeichnet die Wahrscheinlichkeit einer gegebenen Aktion.
Die Massenwahrscheinlichkeitsfunktion hat also die folgenden charakteristischen Merkmale. Da die Terme eine Zahlenfolge bilden, wird X als geometrische Zufallsvariable bezeichnet. Geometrisches Schema c, cr, cr2,.,,, crn hat eine Summe. Und daher hat sn einen Grenzwert wie n 1. In diesem Fall ist die unendliche Summe der Grenzwert.
Die obige Massenfunktion bildet eine geometrische Folge mit einem Verhältnis. Also natürliche Zahlen a und b. Die Differenz der Werte in der Verteilungsfunktion ist gleich dem Wert der Massenfunktion.
Die betrachteten Dichtewerte haben eine Definition: X ist eine Zufallsvariable, deren FX-Verteilung eine Ableitung hat. FX, das Z xFX (x)=fX (t) dt-1 erfüllt, wird als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bezeichnet. Und X heißt kontinuierliche Zufallsvariable. Im Fundamentalsatz der Analysis ist die Dichtefunktion die Ableitung der Verteilung. Sie können Wahrscheinlichkeiten berechnen, indem Sie bestimmte Integrale berechnen.
Da Daten aus mehreren Beobachtungen gesammelt werden, muss mehr als eine Zufallsvariable gleichzeitig berücksichtigt werden, um die experimentellen Verfahren zu modellieren. Daher bedeutet die Menge dieser Werte und ihre gemeinsame Verteilung für die beiden Variablen X1 und X2 das Anzeigen von Ereignissen. Für diskrete Zufallsvariablen werden gemeinsame probabilistische Massenfunktionen definiert. Für stetige werden fX1, X2 betrachtet, wobeidie gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte ist erfüllt.
Unabhängige Zufallsvariablen
Zwei Zufallsvariablen X1 und X2 sind unabhängig, wenn zwei beliebige Ereignisse, die ihnen zugeordnet sind, gleich sind. Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse {X1 2 B1} und {X2 2 B2} gleichzeitig auftreten, y, ist gleich dem Produkt der obigen Variablen, dass jede von ihnen einzeln auftritt. Für unabhängige diskrete Zufallsvariablen gibt es eine gemeinsame probabilistische Massenfunktion, die das Produkt des begrenzenden Ionenvolumens ist. Für kontinuierliche Zufallsvariablen, die unabhängig sind, ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion das Produkt der marginalen Dichtewerte. Schließlich betrachten wir n unabhängige Beobachtungen x1, x2,.,,, xn aus einer unbekannten Dichte- oder Massenfunktion f. Beispielsweise ein unbekannter Parameter in Funktionen für eine exponentielle Zufallsvariable, die die Wartezeit auf einen Bus beschreibt.
Imitation von Zufallsvariablen
Das Hauptziel dieses theoretischen Bereichs ist die Bereitstellung der Werkzeuge, die zur Entwicklung von Inferenzverfahren auf der Grundlage solider statistischer Wissenschaftsprinzipien erforderlich sind. Daher ist ein sehr wichtiger Anwendungsfall für Software die Fähigkeit, Pseudodaten zu generieren, um tatsächliche Informationen nachzuahmen. Dadurch ist es möglich, Analysemethoden zu testen und zu verbessern, bevor sie in realen Datenbanken eingesetzt werden müssen. Dies ist erforderlich, um die Eigenschaften der Daten zu untersuchenModellieren. Für viele häufig verwendete Familien von Zufallsvariablen stellt R Befehle zu deren Generierung bereit. Unter anderen Umständen werden Methoden zur Modellierung einer Folge unabhängiger Zufallsvariablen benötigt, die eine gemeinsame Verteilung haben.
Diskrete Zufallsvariablen und Befehlsmuster. Der Sample-Befehl wird verwendet, um einfache und geschichtete Zufallsstichproben zu erstellen. Wenn also eine Folge x eingegeben wird, wählt sample(x, 40) 40 Datensätze aus x aus, sodass alle Auswahlmöglichkeiten der Größe 40 die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Dies verwendet den Standard-R-Befehl zum Abrufen ohne Ersetzen. Kann auch verwendet werden, um diskrete Zufallsvariablen zu modellieren. Dazu müssen Sie einen Zustandsraum im Vektor x und die Massenfunktion f bereitstellen. Ein Aufruf zum Ersetzen=WAHR zeigt an, dass das Abtasten mit dem Ersetzen erfolgt. Um dann eine Stichprobe von n unabhängigen Zufallsvariablen zu erh alten, die eine gemeinsame Massenfunktion f haben, wird die Stichprobe (x, n, replace=TRUE, prob=f) verwendet.
Festgestellt, dass 1 der kleinste dargestellte Wert und 4 der größte von allen ist. Wenn der Befehl prob=f weggelassen wird, wird die Probe gleichmäßig von den Werten in Vektor x abgetastet. Sie können die Simulation mit der Massenfunktion vergleichen, die die Daten generiert hat, indem Sie auf das doppelte Gleichheitszeichen==schauen. Und Neuberechnung der Beobachtungen, die jeden möglichen Wert für x annehmen. Du kannst einen Tisch machen. Wiederholen Sie dies für 1000 und vergleichen Sie die Simulation mit der entsprechenden Massenfunktion.
Illustration der Wahrscheinlichkeitstransformation
Zuerstsimulieren homogene Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen u1, u2,.,,, un auf dem Intervall [0, 1]. Etwa 10 % der Zahlen sollten innerhalb von [0, 3, 0, 4] liegen. Dies entspricht 10 % der Simulationen auf dem Intervall [0, 28, 0, 38] für eine Zufallsvariable mit der gezeigten FX-Verteilungsfunktion. Ebenso sollten etwa 10 % der Zufallszahlen im Intervall [0, 7, 0, 8] liegen. Dies entspricht 10 % Simulationen auf dem Intervall [0, 96, 1, 51] der Zufallsvariablen mit der Verteilungsfunktion FX. Diese Werte auf der x-Achse erhält man, indem man den Kehrwert von FX nimmt. Wenn X eine stetige Zufallsvariable mit überall positiver Dichte fX in ihrem Definitionsbereich ist, dann ist die Verteilungsfunktion strikt steigend. In diesem Fall hat FX eine inverse FX-1-Funktion, die als Quantilfunktion bekannt ist. FX (x) u nur wenn x FX-1 (u). Die Wahrscheinlichkeitstransformation folgt aus der Analyse der Zufallsvariablen U=FX (X).
FX hat einen Wertebereich von 0 bis 1. Er kann nicht unter 0 oder über 1 liegen. Für Werte von u zwischen 0 und 1. Wenn U simuliert werden kann, dann muss es eine Zufallsvariable mit FX-Verteilung sein über eine Quantilfunktion simuliert. Nehmen Sie die Ableitung, um zu sehen, dass die Dichte u innerhalb von 1 variiert. Da die Zufallsvariable U über das Intervall ihrer möglichen Werte eine konstante Dichte hat, wird sie auf dem Intervall [0, 1] einheitlich genannt. Es wird in R mit dem Befehl runif modelliert. Die Identität wird als probabilistische Transformation bezeichnet. Wie das funktioniert, sehen Sie am Beispiel der Dartscheibe. X zwischen 0 und 1, FunktionVerteilung u=FX (x)=x2 und damit die Quantilfunktion x=FX-1 (u). Es ist möglich, unabhängige Beobachtungen des Abstands von der Mitte der Dartscheibe zu modellieren und so einheitliche Zufallsvariablen U1, U2, … zu erzeugen.,, Un. Die Verteilungsfunktion und die empirische Funktion basieren auf 100 Simulationen der Verteilung einer Dartscheibe. Für eine exponentielle Zufallsvariable ist vermutlich u=FX (x)=1 - exp (- x) und daher x=- 1 ln (1 - u). Manchmal besteht Logik aus äquivalenten Aussagen. In diesem Fall müssen Sie die beiden Teile des Arguments verketten. Die Schnittpunktidentität ist für alle 2 {S i i} S ähnlich, anstelle eines Wertes. Die Vereinigung Ci ist gleich dem Zustandsraum S und jedes Paar schließt sich gegenseitig aus. Da Bi - ist in drei Axiome unterteilt. Jede Prüfung basiert auf der entsprechenden Wahrscheinlichkeit P. Für jede Teilmenge. Verwenden einer Identität, um sicherzustellen, dass die Antwort nicht davon abhängt, ob die Intervallendpunkte enth alten sind.
Exponentialfunktion und ihre Variablen
Für jeden Ausgang in allen Ereignissen wird letztlich die zweite Eigenschaft der Kontinuität von Wahrscheinlichkeiten verwendet, die als axiomatisch angesehen wird. Das Verteilungsgesetz der Funktion einer Zufallsvariablen zeigt hier, dass jede ihre eigene Lösung und Antwort hat.
