Funktion und das Studium ihrer Eigenschaften ist eines der Schlüsselkapitel der modernen Mathematik. Die Hauptkomponente jeder Funktion sind Graphen, die nicht nur ihre Eigenschaften darstellen, sondern auch die Parameter der Ableitung dieser Funktion. Werfen wir einen Blick auf dieses heikle Thema. Was ist also der beste Weg, um die maximalen und minimalen Punkte einer Funktion zu finden?
Funktion: Definition
Jede Variable, die in irgendeiner Weise von den Werten eines anderen Werts abhängt, kann als Funktion bezeichnet werden. Beispielsweise ist die Funktion f(x2) quadratisch und bestimmt die Werte für die gesamte Menge x. Nehmen wir an, x=9, dann ist der Wert unserer Funktion gleich 92=81.
Funktionen gibt es in vielen verschiedenen Arten: logisch, vektoriell, logarithmisch, trigonometrisch, numerisch und andere. So herausragende Köpfe wie Lacroix, Lagrange, Leibniz und Bernoulli waren an ihren Studien beteiligt. Ihre Schriften dienen als Bollwerk in der modernen Art, Funktionen zu studieren. Bevor Sie die Minimalpunkte finden, ist es sehr wichtig, die eigentliche Bedeutung der Funktion und ihrer Ableitung zu verstehen.
Das Derivat und seine Rolle
Alle Funktionen sind aktiviertabhängig von ihren variablen Werten, was bedeutet, dass sie ihren Wert jederzeit ändern können. Auf dem Diagramm wird dies als eine Kurve dargestellt, die entlang der y-Achse entweder abfällt oder ansteigt (dies ist der gesamte Satz von „y“-Zahlen entlang der Vertikalen des Diagramms). Und so ist mit diesen "Oszillationen" gerade die Definition eines Funktionsmaximums und -minimums verbunden. Lassen Sie uns erklären, was diese Beziehung ist.
Die Ableitung einer beliebigen Funktion wird in einen Graphen gezeichnet, um ihre Haupteigenschaften zu untersuchen und zu berechnen, wie schnell sich die Funktion ändert (dh ihren Wert in Abhängigkeit von der Variablen "x" ändert). In dem Moment, in dem die Funktion ansteigt, wird auch der Graph ihrer Ableitung zunehmen, aber die Funktion kann jederzeit beginnen zu sinken, und dann wird der Graph der Ableitung kleiner. Die Punkte, an denen die Ableitung von Minus nach Plus geht, werden Minimalpunkte genannt. Um zu wissen, wie man die Mindestpunkte findet, sollte man das Konzept der Ableitung besser verstehen.
Wie berechne ich die Ableitung?
Das Definieren und Berechnen der Ableitung einer Funktion impliziert mehrere Konzepte aus der Differentialrechnung. Im Allgemeinen kann die eigentliche Definition der Ableitung wie folgt ausgedrückt werden: Dies ist der Wert, der die Änderungsrate der Funktion angibt.
Der mathematische Weg, es zu bestimmen, scheint für viele Schüler kompliziert, aber tatsächlich ist alles viel einfacher. Sie müssen nur folgenStandardplan zum Finden der Ableitung einer beliebigen Funktion. Im Folgenden wird beschrieben, wie Sie den Minimalpunkt einer Funktion finden können, ohne die Ableitungsregeln anzuwenden und ohne sich die Ableitungstabelle zu merken.
- Du kannst die Ableitung einer Funktion mithilfe eines Graphen berechnen. Dazu müssen Sie die Funktion selbst darstellen, dann einen Punkt darauf nehmen (Punkt A in Abb.) Zeichnen Sie eine Linie senkrecht nach unten zur Abszissenachse (Punkt x0) und Zeichnen Sie am Punkt A eine Tangente zur Funktionsgrafik. Die Abszissenachse und die Tangente schließen einen Winkel a ein. Um den Wert zu berechnen, wie schnell die Funktion ansteigt, müssen Sie den Tangens dieses Winkels a berechnen.
- Es stellt sich heraus, dass die Tangente des Winkels zwischen der Tangente und der Richtung der x-Achse die Ableitung der Funktion in einem kleinen Bereich mit Punkt A ist. Diese Methode wird als geometrische Methode zur Bestimmung der Ableitung angesehen.
Methoden zur Erforschung einer Funktion
Im Schullehrplan für Mathematik ist es möglich, den Minimalpunkt einer Funktion auf zwei Arten zu finden. Wir haben bereits die erste Methode anhand des Diagramms analysiert, aber wie bestimmt man den Zahlenwert der Ableitung? Dazu müssen Sie mehrere Formeln lernen, die die Eigenschaften der Ableitung beschreiben und dabei helfen, Variablen wie „x“in Zahlen umzuwandeln. Die folgende Methode ist universell und kann daher auf fast alle Arten von Funktionen (sowohl geometrisch als auch logarithmisch) angewendet werden.
- Es ist notwendig, die Funktion mit der Ableitungsfunktion gleichzusetzen und dann den Ausdruck mit den Regeln zu vereinfachenDifferenzierung.
- durch Null dividieren).
- Danach sollten Sie die ursprüngliche Form der Funktion in eine einfache Gleichung umwandeln und den gesamten Ausdruck mit Null gleichsetzen. Wenn die Funktion beispielsweise so aussah: f(x)=2x3+38x, dann ist ihre Ableitung nach den Ableitungsregeln gleich f'(x)=3x 2 +1. Dann transformieren wir diesen Ausdruck in eine Gleichung der folgenden Form: 3x2+1=0.
- Nachdem du die Gleichung gelöst und die Punkte "x" gefunden hast, solltest du sie auf die x-Achse zeichnen und bestimmen, ob die Ableitung in diesen Bereichen zwischen den markierten Punkten positiv oder negativ ist. Nach der Bezeichnung wird deutlich, ab wann die Funktion abzunehmen beginnt, dh das Vorzeichen von Minus ins Gegenteil wechselt. Auf diese Weise können Sie sowohl die minimalen als auch die maximalen Punkte finden.
Differenzierungsregeln
Der grundlegendste Teil beim Erlernen einer Funktion und ihrer Ableitung ist die Kenntnis der Ableitungsregeln. Nur mit ihrer Hilfe ist es möglich, umständliche Ausdrücke und große komplexe Funktionen umzuwandeln. Machen wir uns mit ihnen vertraut, es gibt ziemlich viele davon, aber sie sind alle sehr einfach aufgrund der regulären Eigenschaften von Potenz- und Logarithmusfunktionen.
- Die Ableitung jeder Konstanten ist Null (f(x)=0). Das heißt, die Ableitung f(x)=x5+ x - 160 nimmt die folgende Form an: f' (x)=5x4+1.
- Die Ableitung der Summe zweier Terme: (f+w)'=f'w + fw'.
- Ableitung einer logarithmischen Funktion: (logad)'=d/ln ad. Diese Formel gilt für alle Arten von Logarithmen.
- Gradableitung: (x)'=nxn-1. Beispiel: (9x2)'=92x=18x.
- Ableitung einer Sinusfunktion: (sin a)'=cos a. Wenn der Sinus des Winkels a 0,5 ist, dann ist seine Ableitung √3/2.
Extrempunkte
Wir haben bereits herausgefunden, wie man die minimalen Punkte findet, aber es gibt das Konzept der maximalen Punkte einer Funktion. Bezeichnet das Minimum jene Punkte, an denen die Funktion von Minus nach Plus geht, dann sind die Maximumpunkte jene Punkte auf der x-Achse, an denen die Ableitung der Funktion von Plus ins Gegenteil - Minus übergeht.
Sie können die Maximalpunkte mit der oben beschriebenen Methode finden, nur sollte berücksichtigt werden, dass sie diejenigen Bereiche bezeichnen, in denen die Funktion beginnt abzunehmen, dh die Ableitung wird kleiner als Null sein.
In der Mathematik ist es üblich, beide Konzepte zu verallgemeinern und sie durch den Ausdruck "Extrempunkte" zu ersetzen. Wenn die Aufgabe verlangt, diese Punkte zu bestimmen, bedeutet dies, dass es notwendig ist, die Ableitung dieser Funktion zu berechnen und die minimalen und maximalen Punkte zu finden.
