Das Studium der Funktionen und ihrer Graphen ist ein Thema, dem im Rahmen des Lehrplans der Oberstufe besondere Aufmerksamkeit geschenkt wird. Einige Grundlagen der mathematischen Analyse – das Differenzieren – sind in der Profilstufe der Prüfung in Mathematik enth alten. Manche Schüler haben mit diesem Thema Probleme, da sie die Graphen der Funktion und der Ableitung verwechseln und auch die Algorithmen vergessen. Dieser Artikel behandelt die wichtigsten Arten von Aufgaben und deren Lösung.
Was ist der Funktionswert?
Eine mathematische Funktion ist eine spezielle Gleichung. Es stellt eine Beziehung zwischen Zahlen her. Die Funktion hängt vom Wert des Arguments ab.
Der Wert der Funktion wird nach der angegebenen Formel berechnet. Ersetzen Sie dazu jedes Argument, das dem Bereich gültiger Werte in dieser Formel entspricht, anstelle von x und führen Sie die erforderlichen mathematischen Operationen durch. Was?
Wie findet man den kleinsten Wert einer Funktion,eine Grafikfunktion verwenden?
Die grafische Darstellung der Abhängigkeit einer Funktion von einem Argument nennt man Funktionsgraph. Es ist auf einer Ebene mit einem bestimmten Einheitssegment aufgebaut, wobei der Wert einer Variablen oder eines Arguments entlang der horizontalen Abszissenachse und der entsprechende Funktionswert entlang der vertikalen Ordinatenachse aufgetragen ist.
Je größer der Wert des Arguments ist, desto weiter rechts liegt es in der Grafik. Und je größer der Wert der Funktion selbst ist, desto höher ist der Punkt.
Was bedeutet das? Der kleinste Wert der Funktion ist der Punkt, der am niedrigsten in der Grafik liegt. Um es in einem Diagrammsegment zu finden, benötigen Sie:
1) Finde und markiere die Enden dieses Segments.
2) Bestimmen Sie visuell, welcher Punkt auf diesem Segment am niedrigsten liegt.
3) Schreiben Sie als Antwort dessen Zahlenwert auf, der durch Projektion eines Punktes auf die y-Achse ermittelt werden kann.
Extrempunkte auf dem Ableitungsdiagramm. Wo suchen?
Aber beim Lösen von Problemen wird manchmal ein Graph nicht von einer Funktion, sondern von ihrer Ableitung gegeben. Um zu vermeiden, versehentlich einen dummen Fehler zu machen, ist es besser, die Bedingungen sorgfältig zu lesen, da es davon abhängt, wo Sie nach Extrempunkten suchen müssen.
Also ist die Ableitung die momentane Anstiegsrate der Funktion. Nach geometrischer Definition entspricht die Ableitung der Steigung der Tangente, die direkt an den gegebenen Punkt gezogen wird.
Es ist bekannt, dass die Tangente an den Extrempunkten parallel zur Ox-Achse verläuft. Das bedeutet, dass seine Steigung 0 ist.
Daraus können wir schließen, dass an den Extrempunkten die Ableitung auf der x-Achse liegt oder verschwindet. Aber zusätzlich ändert die Funktion an diesen Stellen ihre Richtung. Das heißt, nach einer Periode des Anstiegs beginnt es zu sinken, und die Ableitung ändert sich dementsprechend von positiv zu negativ. Oder umgekehrt.
Wenn die Ableitung von positiv negativ wird, ist dies der maximale Punkt. Wenn von negativ positiv wird - der Minimalpunkt.
Wichtig: Wenn Sie einen minimalen oder maximalen Punkt in der Aufgabe angeben müssen, sollten Sie als Antwort den entsprechenden Wert entlang der Abszissenachse schreiben. Aber wenn Sie den Wert der Funktion finden müssen, dann müssen Sie zuerst den entsprechenden Wert des Arguments in die Funktion einsetzen und ihn berechnen.
Wie finde ich Extrempunkte mit der Ableitung?
Die betrachteten Beispiele beziehen sich hauptsächlich auf die Aufgabe Nummer 7 der Prüfung, bei der es darum geht, mit einem Graphen einer Ableitung oder einer Stammfunktion zu arbeiten. Aber Aufgabe 12 des USE – den kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment (manchmal den größten) zu finden – wird ohne Zeichnungen durchgeführt und erfordert Grundkenntnisse in mathematischer Analyse.
Um es auszuführen, müssen Sie in der Lage sein, Extrempunkte mit Hilfe der Ableitung zu finden. Der Algorithmus, um sie zu finden, lautet wie folgt:
- Finde die Ableitung einer Funktion.
- Auf Null setzen.
- Finde die Wurzeln der Gleichung.
- Überprüfen Sie, ob die erh altenen Punkte Extremum- oder Wendepunkte sind.
Zeichne dazu ein Diagramm und so weiterDie resultierenden Intervalle bestimmen die Vorzeichen der Ableitung, indem die zu den Segmenten gehörenden Zahlen in die Ableitung eingesetzt werden. Wenn Sie beim Lösen der Gleichung Wurzeln mit doppelter Multiplizität erh alten, sind dies Wendepunkte.
Bestimme unter Anwendung der Sätze, welche Punkte minimal und welche maximal sind
Unter Verwendung einer Ableitung den kleinsten Wert einer Funktion berechnen
Nachdem wir jedoch alle diese Aktionen ausgeführt haben, finden wir die Werte der minimalen und maximalen Punkte entlang der x-Achse. Aber wie findet man den kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment?
Was muss getan werden, um die Zahl zu finden, die der Funktion an einer bestimmten Stelle entspricht? Sie müssen den Wert des Arguments in diese Formel einsetzen.
Minimum- und Maximumpunkte entsprechen dem kleinsten und größten Wert der Funktion auf dem Segment. Um also den Wert der Funktion zu finden, müssen Sie die Funktion mit den erh altenen x-Werten berechnen.
Wichtig! Wenn Sie für die Aufgabe einen Minimal- oder Maximalpunkt angeben müssen, sollten Sie als Antwort den entsprechenden Wert entlang der x-Achse schreiben. Aber wenn Sie den Wert der Funktion finden müssen, dann müssen Sie zuerst den entsprechenden Wert des Arguments in die Funktion einsetzen und die notwendigen mathematischen Operationen durchführen.
Was soll ich tun, wenn es in diesem Segment keine Tiefs gibt?
Aber wie findet man den kleinsten Wert einer Funktion auf einer Strecke ohne Extrempunkte?
Dies bedeutet, dass die Funktion darauf monoton abnimmt oder zunimmt. Dann müssen Sie den Wert der Extrempunkte dieses Segments in die Funktion einsetzen. Es gibt zwei Möglichkeiten.
1) NachgerechnetAbleitung und die Intervalle, in denen sie positiv oder negativ ist, um zu schließen, ob die Funktion auf einem bestimmten Segment abnimmt oder zunimmt.
In Übereinstimmung mit ihnen einen größeren oder kleineren Wert des Arguments in die Funktion einsetzen.
2) Setzen Sie einfach beide Punkte in die Funktion ein und vergleichen Sie die resultierenden Funktionswerte.
Bei welchen Aufgaben ist das Finden der Ableitung optional
In der Regel müssen Sie in den USE-Zuweisungen noch die Ableitung finden. Es gibt nur wenige Ausnahmen.
1) Parabel.
Der Scheitelpunkt der Parabel wird durch die Formel gefunden.
Ist eine < 0, dann sind die Äste der Parabel nach unten gerichtet. Und sein Höhepunkt ist der maximale Punkt.
Ist eine > 0, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet, der Scheitelpunkt ist der Minimalpunkt.
Nachdem Sie den Scheitelpunkt der Parabel berechnet haben, sollten Sie ihren Wert in die Funktion einsetzen und den entsprechenden Wert der Funktion berechnen.
2) Funktion y=tg x. Oder y=ctg x.
Diese Funktionen sind monoton steigend. Je größer also der Wert des Arguments ist, desto größer ist der Wert der Funktion selbst. Als nächstes sehen wir uns anhand von Beispielen an, wie man den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment findet.
Hauptarten von Aufgaben
Task: der größte oder kleinste Wert der Funktion. Beispiel auf dem Chart.
Im Bild sehen Sie den Graphen der Ableitung der Funktion f (x) auf dem Intervall [-6; 6]. An welcher Stelle des Segments [-3; 3] f(x) nimmt den kleinsten Wert an?
Zunächst sollten Sie also das angegebene Segment auswählen. Darauf nimmt die Funktion einmal einen Nullwert an und ändert ihr Vorzeichen – das ist der Extremumpunkt. Da die Ableitung von negativ positiv wird, bedeutet dies, dass dies der Minimalpunkt der Funktion ist. Dieser Punkt entspricht dem Wert des Arguments 2.
Antwort: 2.
Sehen Sie sich weitere Beispiele an. Aufgabe: Finde den größten und kleinsten Wert der Funktion auf dem Segment.
Finde den kleinsten Wert der Funktion y=(x - 8) ex-7 auf dem Intervall [6; 8].
1. Bilde die Ableitung einer komplexen Funktion.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7)
2. Setze die resultierende Ableitung mit Null gleich und löse die Gleichung.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, oder ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, keine Wurzeln
3. Setzen Sie den Wert der Extrempunkte in die Funktion sowie die erh altenen Wurzeln der Gleichung ein.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Antwort: -1.
Also wurde in diesem Artikel die Haupttheorie betrachtet, wie man den kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment findet, was notwendig ist, um USE-Aufgaben in der Spezialmathematik erfolgreich zu lösen. Auch Elemente der mathematischenAnalyse werden verwendet, wenn Aufgaben aus Teil C der Prüfung gelöst werden, aber sie stellen offensichtlich eine andere Komplexitätsstufe dar, und die Algorithmen für ihre Lösungen lassen sich nur schwer in den Rahmen eines Materials einpassen.
