Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Spezialgebiet der Mathematik, das nur von Studenten der Hochschulen studiert wird. Du liebst Berechnungen und Formeln? Haben Sie keine Angst vor der Bekanntschaft mit der Normalverteilung, der Entropie des Ensembles, der mathematischen Erwartung und der Varianz einer diskreten Zufallsvariablen? Dann ist dieses Thema für Sie von großem Interesse. Machen wir uns mit einigen der wichtigsten Grundkonzepte dieses Teils der Wissenschaft vertraut.
Erinnere dich an die Grundlagen
Auch wenn Sie sich an die einfachsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie erinnern, vernachlässigen Sie nicht die ersten Absätze des Artikels. Tatsache ist, dass Sie ohne ein klares Verständnis der Grundlagen nicht in der Lage sein werden, mit den unten besprochenen Formeln zu arbeiten.
Also, es gibt ein zufälliges Ereignis, ein Experiment. Als Ergebnis der durchgeführten Aktionen können wir mehrere Ergebnisse erzielen - einige davon sind häufiger, andere weniger häufig. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der Anzahl der tatsächlich erh altenen Ergebnisse eines Typs zur Gesamtzahl der möglichen. Nur wenn Sie die klassische Definition dieses Konzepts kennen, können Sie damit beginnen, den mathematischen Erwartungswert und die Varianz von stetig zu untersuchenZufallsvariablen.
Arithmetisches Mittel
Schon in der Schule, im Mathematikunterricht, hast du angefangen, mit dem arithmetischen Mittel zu arbeiten. Dieses Konzept ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie weit verbreitet und kann daher nicht ignoriert werden. Das Wichtigste für uns ist im Moment, dass wir ihm in den Formeln für den mathematischen Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariablen begegnen werden.
Wir haben eine Zahlenfolge und wollen das arithmetische Mittel finden. Alles, was von uns verlangt wird, ist, alles Verfügbare zu summieren und durch die Anzahl der Elemente in der Folge zu dividieren. Angenommen, wir haben Zahlen von 1 bis 9. Die Summe der Elemente ist 45, und wir teilen diesen Wert durch 9. Antwort: - 5.
Streuung
Wissenschaftlich gesehen ist die Varianz das mittlere Quadrat der Abweichungen der erh altenen Merkmalswerte vom arithmetischen Mittel. Einer wird mit einem großen lateinischen Buchstaben D bezeichnet. Was wird benötigt, um ihn zu berechnen? Für jedes Element der Folge berechnen wir die Differenz zwischen der verfügbaren Zahl und dem arithmetischen Mittel und quadrieren sie. Es wird genau so viele Werte geben, wie es Ergebnisse für das Ereignis geben kann, das wir in Betracht ziehen. Als nächstes fassen wir alles Empfangene zusammen und dividieren durch die Anzahl der Elemente in der Sequenz. Wenn wir fünf mögliche Ergebnisse haben, teilen Sie durch fünf.
Dispersion hat auch Eigenschaften, die Sie sich merken müssen, um sie beim Lösen von Problemen anzuwenden. Wenn beispielsweise die Zufallsvariable um das X-fache erhöht wird, erhöht sich die Varianz um das X-fache des Quadrats (d. h. XX). Es ist nie kleiner als Null und hängt nicht von abVerschieben von Werten um einen gleichen Wert nach oben oder unten. Außerdem ist bei unabhängigen Versuchen die Varianz der Summe gleich der Summe der Varianzen.
Jetzt müssen wir unbedingt Beispiele für die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen und den mathematischen Erwartungswert betrachten.
Angenommen, wir haben 21 Experimente durchgeführt und 7 verschiedene Ergebnisse erh alten. Wir haben sie jeweils 1-, 2-, 2-, 3-, 4-, 4- und 5-mal beobachtet. Wie hoch wird die Varianz sein?
Lassen Sie uns zuerst das arithmetische Mittel berechnen: Die Summe der Elemente ist natürlich 21. Teilen Sie es durch 7, erh alten Sie 3. Subtrahieren Sie nun 3 von jeder Zahl in der ursprünglichen Folge, quadrieren Sie jeden Wert und addieren Sie die Ergebnisse zusammen. Es stellt sich heraus 12. Jetzt müssen wir die Zahl durch die Anzahl der Elemente teilen, und das scheint alles zu sein. Aber es gibt einen Haken! Lass uns darüber diskutieren.
Abhängigkeit von der Versuchsanzahl
Es stellt sich heraus, dass bei der Berechnung der Varianz der Nenner eine von zwei Zahlen sein kann: entweder N oder N-1. Hier ist N die Anzahl der durchgeführten Experimente oder die Anzahl der Elemente in der Sequenz (die tatsächlich gleich ist). Wovon hängt es ab?
Wenn die Anzahl der Tests in Hunderten gemessen wird, müssen wir N in den Nenner setzen, wenn in Einheiten, dann N-1. Die Wissenschaftler haben sich entschieden, die Grenze ganz symbolisch zu ziehen: Heute verläuft sie entlang der Zahl 30. Wenn wir weniger als 30 Experimente durchgeführt haben, dann teilen wir die Menge durch N-1, und wenn mehr, dann durch N.
Aufgabe
Kehren wir zu unserem Beispiel zur Lösung des Varianz- und Erwartungsproblems zurück. Wirerhielt eine Zwischenzahl von 12, die durch N oder N-1 geteilt werden musste. Da wir 21 Experimente durchgeführt haben, also weniger als 30, wählen wir die zweite Option. Die Antwort lautet also: Die Varianz ist 12 / 2=2.
Erwartung
Kommen wir zum zweiten Konzept, das wir in diesem Artikel berücksichtigen müssen. Die mathematische Erwartung ist das Ergebnis der Addition aller möglichen Ergebnisse multipliziert mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Es ist wichtig zu verstehen, dass der resultierende Wert sowie das Ergebnis der Varianzberechnung nur einmal für die gesamte Aufgabe erh alten wird, unabhängig davon, wie viele Ergebnisse berücksichtigt werden.
Die Erwartungsformel ist ganz einfach: Wir nehmen ein Ergebnis, multiplizieren es mit seiner Wahrscheinlichkeit, addieren dasselbe für das zweite, dritte Ergebnis usw. Alles, was mit diesem Konzept zu tun hat, ist einfach zu berechnen. Beispielsweise ist die Summe der mathematischen Erwartungen gleich der mathematischen Erwartung der Summe. Gleiches gilt für die Arbeit. Nicht jede Größe in der Wahrscheinlichkeitstheorie erlaubt es, solch einfache Operationen durchzuführen. Nehmen wir eine Aufgabe und berechnen den Wert von zwei Konzepten, die wir untersucht haben, gleichzeitig. Außerdem waren wir von der Theorie abgelenkt – es ist Zeit zu üben.
Noch ein Beispiel
Wir haben 50 Versuche durchgeführt und 10 Arten von Ergebnissen erh alten – Zahlen von 0 bis 9 – die in unterschiedlichen Prozentsätzen auftraten. Diese sind jeweils: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Denken Sie daran, dass Sie die Prozentwerte durch 100 teilen müssen, um die Wahrscheinlichkeiten zu erh alten. Wir erh alten also 0,02; 0, 1 usw. Lassen Sie uns die Varianz eines Zufalls darstellenWert und mathematisches Erwartungsbeispiel zur Lösung des Problems.
Berechnen Sie das arithmetische Mittel mit der Formel, die wir aus der Grundschule kennen: 50/10=5.
Lassen Sie uns nun die Wahrscheinlichkeiten in die Anzahl der Ergebnisse "in Stücken" übersetzen, um das Zählen zu erleichtern. Wir erh alten 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 und 9. Subtrahieren Sie das arithmetische Mittel von jedem erh altenen Wert, danach quadrieren wir jedes der erh altenen Ergebnisse. Sehen Sie, wie Sie dies am Beispiel des ersten Elements tun: 1 - 5=(-4). Weiter: (-4)(-4)=16. Für andere Werte führen Sie diese Operationen selbst durch. Wenn Sie alles richtig gemacht haben, erh alten Sie nach Addition aller Zwischenergebnisse 90.
Berechnen Sie weiterhin die Varianz und den Mittelwert, indem Sie 90 durch N dividieren. Warum wählen wir N und nicht N-1? Das ist richtig, denn die Anzahl der durchgeführten Experimente übersteigt 30. Also: 90/10=9. Wir haben die Streuung. Wenn Sie eine andere Nummer erh alten, verzweifeln Sie nicht. Höchstwahrscheinlich ist Ihnen bei den Berechnungen ein banaler Fehler unterlaufen. Überprüfen Sie noch einmal, was Sie geschrieben haben, und alles wird sich sicher ergeben.
Erinnern wir uns zum Schluss an die Erwartungsformel. Wir geben nicht alle Berechnungen an, wir schreiben nur die Antwort, mit der Sie nach Abschluss aller erforderlichen Verfahren überprüfen können. Die Erwartung wird gleich 5, 48 sein. Wir erinnern uns nur, wie man Operationen durchführt, am Beispiel der ersten Elemente: 00, 02 + 10, 1… und so weiter. Wie Sie sehen, multiplizieren wir einfach den Wert des Ergebnisses mit seiner Wahrscheinlichkeit.
Abweichung
Ein weiteres Konzept, das eng mit der Varianz und dem erwarteten Wert zusammenhängt, istStandardabweichung. Es wird entweder mit den lateinischen Buchstaben sd oder mit dem griechischen Kleinbuchstaben „sigma“bezeichnet. Dieses Konzept zeigt, wie die Werte im Durchschnitt vom zentralen Merkmal abweichen. Um seinen Wert zu finden, müssen Sie die Quadratwurzel der Varianz berechnen.
Wenn Sie einen Graphen einer Normalverteilung erstellen und den Wert der Standardabweichung direkt darauf sehen möchten, kann dies in mehreren Schritten erfolgen. Nehmen Sie die Hälfte des Bildes links oder rechts vom Modus (Mittelwert) und zeichnen Sie eine Senkrechte zur horizontalen Achse, sodass die Flächen der resultierenden Figuren gleich sind. Der Wert des Segments zwischen der Mitte der Verteilung und der resultierenden Projektion auf die horizontale Achse ist die Standardabweichung.
Software
Wie Sie den Beschreibungen der Formeln und den vorgestellten Beispielen entnehmen können, ist die Berechnung der Varianz und des mathematischen Erwartungswertes aus rechnerischer Sicht nicht das einfachste Verfahren. Um keine Zeit zu verschwenden, ist es sinnvoll, das in der Hochschulbildung verwendete Programm zu verwenden - es heißt "R". Es verfügt über Funktionen, mit denen Sie Werte für viele Konzepte aus Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie berechnen können.
Zum Beispiel definieren Sie einen Vektor von Werten. Dies geschieht wie folgt: Vektor <-c(1, 5, 2…). Wenn Sie nun einige Werte für diesen Vektor berechnen müssen, schreiben Sie eine Funktion und geben sie als Argument an. Um die Varianz zu finden, müssen Sie die var verwenden. Ein Beispiel von ihrVerwendung: var(Vektor). Dann drücken Sie einfach "Enter" und erh alten das Ergebnis.
Zum Schluss
Varianz und mathematischer Erwartungswert sind die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie, ohne die es schwierig ist, etwas in der Zukunft zu berechnen. Im Hauptstudium an Universitäten werden sie bereits in den ersten Monaten des Fachstudiums berücksichtigt. Gerade wegen des mangelnden Verständnisses dieser einfachen Konzepte und der Unfähigkeit, sie zu berechnen, geraten viele Studenten sofort in das Programm zurück und erh alten später am Ende der Sitzung schlechte Noten, wodurch sie Stipendien verlieren.
Übe mindestens eine Woche lang eine halbe Stunde am Tag, um Probleme zu lösen, die denen in diesem Artikel ähnlich sind. Dann kommen Sie bei jedem wahrscheinlichkeitstheoretischen Test mit Beispielen ohne überflüssige Tipps und Spickzettel zurecht.
