Brüche begegnen uns im Leben viel früher, als sie in der Schule zu lernen beginnen. Wenn Sie einen ganzen Apfel halbieren, erh alten wir einen Teil der Frucht - ½. Schneiden Sie es erneut - es wird ¼ sein. Das sind Brüche. Und alles, so scheint es, ist einfach. Für einen Erwachsenen. Für ein Kind (und es fängt am Ende der Grundschule an, sich mit diesem Thema zu beschäftigen) sind abstrakte mathematische Konzepte noch erschreckend unverständlich, und der Lehrer muss auf verständliche Weise erklären, was ein echter Bruch und ein unechter, gewöhnlicher und dezimaler Bruch sind, was Operationen sind mit ihnen durchgeführt werden kann und vor allem, warum das alles nötig ist.
Was sind Brüche
Die Einführung in ein neues Thema in der Schule beginnt mit gewöhnlichen Brüchen. Sie sind leicht an der horizontalen Linie zu erkennen, die die beiden Zahlen - oben und unten - trennt. Das obere heißt Zähler, das untere Nenner. Es gibt auch eine Kleinbuchstabenversion zum Schreiben von unechten und regulären gewöhnlichen Brüchen - durch einen Schrägstrich, zum Beispiel: ½, 4/9, 384/183. Diese Option wird verwendet, wenn die Zeilenhöhe begrenzt ist und es nicht möglich ist, die "zweistöckige" Form des Eintrags anzuwenden. Wieso den? Ja, weil es bequemer ist. Wenig später wirwir werden dafür sorgen.
Neben gewöhnlichen Brüchen gibt es auch Dezimalbrüche. Es ist sehr einfach, zwischen ihnen zu unterscheiden: Wenn in einem Fall ein horizontaler oder Schrägstrich verwendet wird, dann in dem anderen - ein Komma, das Zahlenfolgen trennt. Sehen wir uns ein Beispiel an: 2, 9; 163, 34; 1, 953. Wir haben absichtlich ein Semikolon als Trennzeichen verwendet, um die Zahlen zu trennen. Der erste von ihnen wird so lauten: „zwei ganze, neun Zehntel.“
Neue Konzepte
Kehren wir zu gewöhnlichen Brüchen zurück. Es gibt sie in zwei Varianten.
Die Definition eines echten Bruchs ist wie folgt: Es ist ein Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist. Warum ist es wichtig? Wir werden jetzt sehen!
Du hast ein paar Äpfel halbiert. Insgesamt - 5 Teile. Wie sagt man: Sie haben „zweieinhalb“oder „fünf Sekunden“Äpfel? Natürlich klingt die erste Option natürlicher, und wenn wir uns mit Freunden unterh alten, werden wir sie verwenden. Aber wenn Sie berechnen müssen, wie viele Früchte jeder bekommt, wenn es fünf Personen in der Firma gibt, schreiben wir die Zahl 5/2 auf und teilen sie durch 5 - aus mathematischer Sicht wird dies klarer.
Also gilt für die Benennung von echten und unechten Brüchen folgende Regel: Wenn ein Bruch einen ganzzahligen Teil haben kann (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), dann auch ist falsch. Wenn dies nicht möglich ist, wie im Fall von ½, 13/16, 9/10, ist es richtig.
Grundeigenschaft eines Bruchs
Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs gleichzeitig multipliziert werden odergeteilt durch dieselbe Zahl, ändert sich sein Wert nicht. Stellen Sie sich vor: Der Kuchen wurde in 4 gleiche Teile geschnitten und Sie haben einen bekommen. Derselbe Kuchen wurde in acht Stücke geschnitten und dir zwei gegeben. Ist das nicht alles dasselbe? Schließlich sind ¼ und 2/8 dasselbe!
Abkürzung
Autoren von Aufgaben und Beispielen in Mathematiklehrbüchern versuchen oft, Schüler zu verwirren, indem sie umständliche Brüche anbieten, die tatsächlich gekürzt werden können. Hier ist ein Beispiel für einen echten Bruch: 167/334, was, wie es scheint, sehr "beängstigend" aussieht. Aber tatsächlich können wir es als ½ schreiben. Die Zahl 334 ist ohne Rest durch 167 teilbar - nach dieser Operation erh alten wir 2.
Gemischte Zahlen
Ein unechter Bruch kann als gemischte Zahl dargestellt werden. Dies ist, wenn der gesamte Teil nach vorne gebracht und auf der Höhe der horizontalen Linie geschrieben wird. Tatsächlich hat der Ausdruck die Form einer Summe: 11/2=5 + ½; 13/6=2 + 1/6 und so weiter.
Um den ganzen Teil herauszunehmen, musst du den Zähler durch den Nenner dividieren. Schreibe den Rest der Division über die Linie und den ganzen Teil vor den Ausdruck. Somit erh alten wir zwei Strukturteile: ganze Einheiten + echter Bruch.
Sie können auch die umgekehrte Operation durchführen - dazu müssen Sie den ganzzahligen Teil mit dem Nenner multiplizieren und den resultierenden Wert zum Zähler addieren. Nichts kompliziertes.
Multiplikation und Division
Seltsamerweise ist das Multiplizieren von Brüchen einfacher als das Addieren. Dazu muss lediglich die horizontale Linie verlängert werden: (2/3)(3/5)=23 / 35=2/5.
Division ist auch allesganz einfach: du musst die Brüche kreuzweise multiplizieren: (7/8) / (14/15)=715 / 814=15/16.
Brüche addieren
Was tun, wenn Sie Brüche addieren oder subtrahieren müssen und diese unterschiedliche Zahlen im Nenner haben? Es wird nicht so funktionieren wie bei der Multiplikation - hier sollte man die Definition eines echten Bruchs und sein Wesen verstehen. Es ist notwendig, die Terme auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, das heißt, die unteren beiden Brüche sollten die gleichen Zahlen haben.
Dazu solltest du die Grundeigenschaft eines Bruchs nutzen: beide Teile mit derselben Zahl multiplizieren. Beispiel: 2/5 + 1/10=(22)/(52) + 1/10=5/10=½.
Wie wähle ich aus, auf welchen Nenner die Terme gebracht werden sollen? Dies muss das kleinste Vielfache beider Nenner sein: für 1/3 und 1/9 ist es 9; für ½ und 1/7 - 14, weil es keinen kleineren Wert gibt, der ohne Rest durch 2 und 7 teilbar ist.
Verwenden
Wofür sind unechte Brüche? Schließlich ist es viel bequemer, sofort das ganze Teil auszuwählen, eine gemischte Nummer zu erh alten - und das war's! Es stellt sich heraus, dass es rentabler ist, die falschen zu verwenden, wenn Sie zwei Brüche multiplizieren oder dividieren müssen.
Nehmen Sie folgendes Beispiel: (2 + 3/17) / (37 / 68).
Es scheint, dass es überhaupt nichts zu schneiden gibt. Was aber, wenn wir das Ergebnis der Addition in die erste Klammer als unechten Bruch schreiben? Siehe: (37/17) / (37/68)
Jetzt passt alles!Schreiben wir das Beispiel so, dass alles klar wird: (3768) / (1737).
Lassen Sie uns die 37 im Zähler und Nenner kürzen und zum Schluss Ober- und Unterteil durch 17 teilen. Erinnern Sie sich an die Grundregel für echte und unechte Brüche? Wir können mit jeder Zahl multiplizieren und dividieren, solange wir dies für Zähler und Nenner gleichzeitig tun.
Also, wir bekommen die Antwort: 4. Das Beispiel sah kompliziert aus und die Antwort enthält nur eine Ziffer. Das passiert oft in der Mathematik. Das Wichtigste ist, keine Angst zu haben und einfache Regeln zu befolgen.
Häufige Fehler
Bei Aktionen mit Brüchen kann ein Schüler leicht einen der beliebtesten Fehler machen. Meistens entstehen sie durch Unaufmerksamkeit und manchmal auch dadurch, dass sich das untersuchte Material noch nicht richtig im Kopf abgelagert hat.
Oft löst die Summe der Zahlen im Zähler den Wunsch aus, seine einzelnen Bestandteile zu reduzieren. Angenommen, im Beispiel: (13 + 2) / 13, geschrieben ohne Klammern (mit einem horizontalen Strich), streichen viele Schüler aus Unerfahrenheit 13 von oben und unten durch. Das sollte man aber auf keinen Fall machen, denn das ist ein grober Fehler! Wenn anstelle der Addition ein Multiplikationszeichen stünde, erh alten wir als Antwort die Zahl 2. Aber bei der Addition sind keine Operationen mit einem der Terme erlaubt, sondern nur mit der gesamten Summe.
Außerdem machen Jungs oft Fehler beim Dividieren von Brüchen. Nehmen wir zwei reguläre irreduzible Brüche und teilen sie durcheinander: (5/6) / (25/33). Der Schüler kann den resultierenden Ausdruck verwirren und als (525) / (633) schreiben. Aber es würdees stellte sich bei der Multiplikation heraus, aber in unserem Fall wird alles etwas anders sein: (533) / (625). Wir reduzieren, was möglich ist, und in der Antwort sehen wir 11/10. Wir schreiben den resultierenden unechten Bruch als Dezimalzahl - 1, 1.
Klammern
Denken Sie daran, dass in jedem mathematischen Ausdruck die Reihenfolge der Operationen durch den Vorrang der Operationszeichen und das Vorhandensein von Klammern bestimmt wird. Bei ansonsten gleichen Bedingungen wird die Reihenfolge der Aktionen von links nach rechts gezählt. Dies gilt auch für Brüche – der Ausdruck im Zähler oder Nenner wird streng nach dieser Regel berechnet.
Was ist schließlich ein echter Bruch? Es ist das Ergebnis der Division einer Zahl durch eine andere. Wenn sie nicht gleichmäßig geteilt werden, ist es ein Bruch, und das war's.
Wie man einen Bruch auf einem Computer schreibt
Da es Standardwerkzeuge nicht immer erlauben, einen Bruch zu erstellen, der aus zwei "Ebenen" besteht, greifen Schüler manchmal zu verschiedenen Tricks. Sie kopieren beispielsweise Zähler und Nenner in den Paint-Editor und kleben sie zusammen, indem sie eine horizontale Linie zwischen ihnen ziehen. Natürlich gibt es auch eine einfachere Möglichkeit, die übrigens auch viele zusätzliche Funktionen bietet, die Ihnen in Zukunft nützlich sein werden.
Öffnen Sie Microsoft Word. Eines der Bedienfelder oben auf dem Bildschirm heißt "Einfügen" - klicken Sie darauf. Rechts neben den Symbolen zum Schließen und Minimieren des Fensters befindet sich ein Formel-Button. Genau das brauchen wir!
Wenn Sie diese Funktion verwenden, erscheint auf dem Bildschirm ein rechteckiger Bereich, in dem Sie beliebige mathematische Formeln verwenden könnenZeichen, die nicht auf der Tastatur stehen, sowie Brüche in der klassischen Form schreiben. Das heißt, Zähler und Nenner werden durch einen horizontalen Strich getrennt. Sie werden vielleicht sogar überrascht sein, dass solch ein echter Bruch so einfach zu schreiben ist.
Mathe lernen
Wenn du in die 5.-6. Klasse gehst, dann werden bald in vielen Schulfächern mathematische Kenntnisse (inklusive der Fähigkeit, mit Brüchen zu arbeiten!) gefordert. Bei fast allen Aufgaben in der Physik, bei der Massenmessung von Stoffen in der Chemie, in der Geometrie und Trigonometrie kann auf Brüche nicht verzichtet werden. Bald werden Sie lernen, alles in Ihrem Kopf zu berechnen, ohne auch nur Ausdrücke auf Papier zu schreiben, aber es werden immer komplexere Beispiele auftauchen. Lernen Sie daher, was ein echter Bruch ist und wie man damit arbeitet, h alten Sie sich an den Lehrplan, machen Sie Ihre Hausaufgaben pünktlich, und dann werden Sie Erfolg haben.
