Die Formel für die quadratische Mittelgeschwindigkeit idealer Gasmoleküle. Aufgabenbeispiel

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 05:21

Molekularkinetische Theorie ermöglicht es, durch Analyse des mikroskopischen Verh altens des Systems und Anwendung der Methoden der statistischen Mechanik, wichtige makroskopische Eigenschaften des thermodynamischen Systems zu erh alten. Eine der mikroskopischen Eigenschaften, die mit der Temperatur des Systems zusammenhängt, ist die mittlere Quadratgeschwindigkeit von Gasmolekülen. Wir geben die Formel dafür und berücksichtigen sie im Artikel.

Ideales Gas

Wir bemerken gleich, dass die Formel für die quadratische mittlere Geschwindigkeit von Gasmolekülen speziell für ein ideales Gas angegeben wird. Darunter wird in der Physik ein solches Vielteilchensystem betrachtet, in dem Teilchen (Atome, Moleküle) nicht miteinander wechselwirken (ihre kinetische Energie übersteigt die potentielle Energie der Wechselwirkung um mehrere Größenordnungen) und keine Dimensionen haben, Das heißt, sie sind Punkte mit einer endlichen Masse (der Abstand zwischen Partikeln, der mehrere Größenordnungen größer ist als ihre Größe.linear).

Jedes Gas, das aus chemisch neutralen Molekülen oder Atomen besteht, unter niedrigem Druck steht und eine hohe Temperatur hat, kann als ideal angesehen werden. Zum Beispiel ist Luft ein ideales Gas, aber Wasserdampf ist es nicht mehr (starke Wasserstoffbrückenbindungen wirken zwischen Wassermolekülen).

Molekularkinetische Theorie (MKT)

Bei der Untersuchung eines idealen Gases im Rahmen der MKT sollten Sie auf zwei wichtige Prozesse achten:

1. Gas erzeugt Druck, indem es auf die Wände des Gefäßes, das es enthält, den Impuls überträgt, wenn Moleküle und Atome mit ihnen kollidieren. Solche Kollisionen sind vollkommen elastisch.
2. Moleküle und Atome von Gas bewegen sich zufällig in alle Richtungen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten, deren Verteilung der Maxwell-Boltzmann-Statistik folgt. Die Kollisionswahrscheinlichkeit zwischen Partikeln ist aufgrund ihrer vernachlässigbaren Größe und der großen Abstände zwischen ihnen extrem gering.

Trotz der Tatsache, dass die einzelnen Geschwindigkeiten von Gasteilchen sehr unterschiedlich sind, bleibt der Mittelwert dieses Wertes über die Zeit konstant, wenn keine äußeren Einflüsse auf das System einwirken. Die Formel für die mittlere quadratische Geschwindigkeit von Gasmolekülen erhält man, indem man die Beziehung zwischen kinetischer Energie und Temperatur betrachtet. Wir werden uns im nächsten Absatz des Artikels mit diesem Problem befassen.

Herleitung der Formel für die quadratische mittlere Geschwindigkeit idealer Gasmoleküle

Jeder Student weiß aus dem allgemeinen Physikstudium, dass die kinetische Energie der translatorischen Bewegung eines Körpers der Masse m wie folgt berechnet wird:

E_k=mv²/2

Wobei v die lineare Geschwindigkeit ist. Andererseits kann die kinetische Energie eines Teilchens auch über die absolute Temperatur T bestimmt werden, indem man den Umrechnungsfaktor k_B (Boltzmann-Konstante) verwendet. Da unser Raum dreidimensional ist, wird E_k wie folgt berechnet:

E_k=3/2k_BT.

Äquivalent zu beiden Gleichungen und ausgedrückt durch v aus ihnen, erh alten wir die Formel für die mittlere Geschwindigkeit eines quadratischen idealen Gases:

mv²/2=3/2k_BT=>

v=√(3k_BT/m).

In dieser Formel ist m - die Masse des Gasteilchens. Sein Wert ist in praktischen Berechnungen unbequem zu verwenden, da er klein ist (≈ 10^-27kg). Um diese Unannehmlichkeiten zu vermeiden, erinnern wir uns an die universelle Gaskonstante R und die Molmasse M. Die Konstante R mit k_B ist durch die Gleichheit verbunden:

k_B=R/N_A.

Der Wert von M ist wie folgt definiert:

M=mN_A.

Unter Berücksichtigung beider Gleichungen erh alten wir folgenden Ausdruck für die quadratische Mittelgeschwindigkeit von Molekülen:

v=√(3RT/M).

Daher ist die mittlere quadratische Geschwindigkeit von Gasteilchen direkt proportional zur Quadratwurzel der absoluten Temperatur und umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Molmasse.

Beispiel zur Problemlösung

Jeder weiß, dass die Luft, die wir atmen, zu 99 % aus Stickstoff und Sauerstoff besteht. Es ist notwendig, die Unterschiede in den mittleren Geschwindigkeiten der Moleküle N₂ und O₂ bei einer Temperatur von 15 ^{o zu bestimmen} C.

Dieses Problem wird nacheinander gelöst. Zuerst übersetzen wir die Temperatur in absolute Einheiten, wir haben:

T=273, 15 + 15=288, 15 K.

Schreiben Sie nun die Molmassen für jedes betrachtete Molekül aus:

M_N2=0,028 kg/mol;

M_O2=0,032 kg/mol.

Da sich die Werte der Molmassen leicht unterscheiden, sollten auch ihre Durchschnittsgeschwindigkeiten bei gleicher Temperatur nahe beieinander liegen. Unter Verwendung der Formel für v erh alten wir die folgenden Werte für Stickstoff- und Sauerstoffmoleküle:

v (N₂)=√(38, 314288, 15/0, 028)=506,6 m/s;

v (O₂)=√(38, 314288, 15/0, 032)=473,9 m/s.

Da Stickstoffmoleküle etwas leichter sind als Sauerstoffmoleküle, bewegen sie sich schneller. Die durchschnittliche Geschwindigkeitsdifferenz beträgt:

v (N₂) - v (O₂)=506,6 - 473,9=32,7 m/ s.

Der resultierende Wert beträgt nur 6,5 % der Durchschnittsgeschwindigkeit von Stickstoffmolekülen. Wir machen auf die hohen Geschwindigkeiten von Molekülen in Gasen auch bei niedrigen Temperaturen aufmerksam.