Bei der Untersuchung des Verh altens von Gasen in der Physik treten oft Probleme auf, die in ihnen gespeicherte Energie zu bestimmen, die theoretisch für einige nützliche Arbeiten verwendet werden kann. In diesem Artikel gehen wir der Frage nach, mit welchen Formeln man die innere Energie eines idealen Gases berechnen kann.
Das Konzept eines idealen Gases
Ein klares Verständnis des Konzepts eines idealen Gases ist wichtig, um Probleme mit Systemen in diesem Aggregatzustand zu lösen. Jedes Gas nimmt die Form und das Volumen des Gefäßes an, in das es gegeben wird, jedoch ist nicht jedes Gas ideal. Beispielsweise kann Luft als Mischung idealer Gase betrachtet werden, Wasserdampf dagegen nicht. Was ist der grundlegende Unterschied zwischen realen Gasen und ihrem idealen Modell?
Die Antwort auf die Frage wird die folgenden zwei Merkmale sein:
- das Verhältnis zwischen kinetischer und potentieller Energie der Moleküle und Atome, aus denen das Gas besteht;
- Verhältnis zwischen den linearen Größen von PartikelnGas und die durchschnittliche Entfernung zwischen ihnen.
Ein Gas gilt nur dann als ideal, wenn die durchschnittliche kinetische Energie seiner Teilchen ungleich größer ist als die Bindungsenergie zwischen ihnen. Der Unterschied zwischen diesen Energien ist so groß, dass wir davon ausgehen können, dass die Wechselwirkung zwischen Teilchen vollständig fehlt. Außerdem ist ein ideales Gas durch das Fehlen von Abmessungen seiner Teilchen gekennzeichnet, oder besser gesagt, diese Abmessungen können ignoriert werden, da sie viel kleiner sind als die durchschnittlichen Abstände zwischen den Teilchen.
Gute empirische Kriterien zur Bestimmung der Idealität eines Gassystems sind seine thermodynamischen Eigenschaften wie Temperatur und Druck. Wenn die erste größer als 300 K und die zweite kleiner als 1 Atmosphäre ist, kann jedes Gas als ideal angesehen werden.
Was ist die innere Energie eines Gases?
Bevor Sie die Formel für die innere Energie eines idealen Gases aufschreiben, müssen Sie diese Eigenschaft näher kennenlernen.
In der Thermodynamik wird die innere Energie üblicherweise mit dem lateinischen Buchstaben U bezeichnet. Im allgemeinen Fall wird sie durch folgende Formel bestimmt:
U=H - PV
Wobei H die Enthalpie des Systems ist, P und V Druck und Volumen sind.
In seiner physikalischen Bedeutung besteht innere Energie aus zwei Komponenten: kinetische und potentielle. Die erste ist mit verschiedenen Arten der Bewegung der Teilchen des Systems verbunden und die zweite mit der Kraftwechselwirkung zwischen ihnen. Wenn wir diese Definition auf das Konzept eines idealen Gases anwenden, das keine potentielle Energie hat, dann ist der Wert von U in jedem Zustand des Systems genau gleich seiner kinetischen Energie, das heißt:
U=Ek.
Herleitung der inneren Energieformel
Oben haben wir festgestellt, dass es zur Bestimmung für ein System mit einem idealen Gas notwendig ist, seine kinetische Energie zu berechnen. Aus dem Lehrgang der allgemeinen Physik ist bekannt, dass die Energie eines Teilchens der Masse m, das sich in einer bestimmten Richtung mit der Geschwindigkeit v fortbewegt, durch die Formel:bestimmt wird.
Ek1=mv2/2.
Es kann auch auf Gasteilchen (Atome und Moleküle) angewendet werden, jedoch müssen einige Bemerkungen gemacht werden.
Zunächst ist die Geschwindigkeit v als Durchschnittswert zu verstehen. Tatsache ist, dass sich Gasteilchen gemäß der Maxwell-Boltzmann-Verteilung mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen. Letzteres ermöglicht die Bestimmung der Durchschnittsgeschwindigkeit, die sich über die Zeit nicht ändert, wenn keine äußeren Einflüsse auf das System einwirken.
Zweitens nimmt die Formel für Ek1 Energie pro Freiheitsgrad an. Gasteilchen können sich in alle drei Richtungen bewegen und je nach Struktur auch rotieren. Um den Freiheitsgrad z zu berücksichtigen, sollte dieser mit Ek1 multipliziert werden, also:
Ek1z=z/2mv2.
Die kinetische Energie des gesamten Systems Ek ist N-mal größer als Ek1z, wobei N die Gesamtzahl der Gasteilchen ist. Dann erh alten wir für U:
U=z/2Nmv2.
Nach dieser Formel ist eine Änderung der inneren Energie eines Gases nur möglich, wenn die Teilchenzahl N geändert wirdSystem oder deren Durchschnittsgeschwindigkeit v.
Innere Energie und Temperatur
Wenn wir die Bestimmungen der molekularkinetischen Theorie eines idealen Gases anwenden, können wir die folgende Formel für den Zusammenhang zwischen der durchschnittlichen kinetischen Energie eines Teilchens und der absoluten Temperatur erh alten:
mv2/2=1/2kBT.
Hier ist kB die Boltzmann-Konstante. Setzen wir diese Gleichheit in die im obigen Absatz erh altene Formel für U ein, erh alten wir den folgenden Ausdruck:
U=z/2NkBT.
Dieser Ausdruck lässt sich durch die Stoffmenge n und die Gaskonstante R in folgende Form umschreiben:
U=z/2nR T.
Nach dieser Formel ist eine Änderung der inneren Energie eines Gases möglich, wenn seine Temperatur geändert wird. Die Werte U und T hängen linear voneinander ab, d.h. der Graph der Funktion U(T) ist eine Gerade.
Wie beeinflusst die Struktur eines Gasteilchens die innere Energie eines Systems?
Die Struktur eines Gasteilchens (Moleküls) bezieht sich auf die Anzahl der Atome, aus denen es besteht. Sie spielt eine entscheidende Rolle beim Einsetzen des entsprechenden Freiheitsgrades z in die Formel für U. Ist das Gas einatomig, lautet die Formel für die innere Energie des Gases:
U=3/2nRT.
Woher kommt der Wert z=3? Sein Erscheinen ist mit nur drei Freiheitsgraden verbunden, die ein Atom hat, da es sich nur in eine von drei Raumrichtungen bewegen kann.
Wenn eine zweiatomigeGasmolekül, dann sollte die innere Energie nach folgender Formel berechnet werden:
U=5/2nRT.
Wie Sie sehen, hat ein zweiatomiges Molekül bereits 5 Freiheitsgrade, von denen 3 translatorisch und 2 rotatorisch sind (entsprechend der Geometrie des Moleküls kann es sich um zwei zueinander senkrechte Achsen drehen).
Wenn das Gas drei- oder mehratomig ist, dann ist der folgende Ausdruck für U wahr:
U=3nRT.
Komplexe Moleküle haben 3 translatorische und 3 rotatorische Freiheitsgrade.
Beispielaufgabe
Unter dem Kolben befindet sich ein einatomiges Gas mit einem Druck von 1 Atmosphäre. Durch die Erwärmung expandierte das Gas, so dass sein Volumen von 2 auf 3 Liter zunahm. Wie hat sich die innere Energie des Gassystems verändert, wenn der Expansionsprozess isobar war.
Um dieses Problem zu lösen, reichen die im Artikel angegebenen Formeln nicht aus. Es ist notwendig, sich an die Zustandsgleichung für ein ideales Gas zu erinnern. Es sieht wie folgt aus.
Da der Kolben den Zylinder mit Gas verschließt, bleibt die Stoffmenge n während des Expansionsvorgangs konstant. Während eines isobaren Prozesses ändert sich die Temperatur direkt proportional zum Volumen des Systems (Charlessches Gesetz). Das bedeutet, dass die obige Formel lauten würde:
PΔV=nRΔT.
Dann nimmt der Ausdruck für die innere Energie eines einatomigen Gases die Form an:
ΔU=3/2PΔV.
Indem wir in diese Gleichung die Werte der Druck- und Volumenänderung in SI-Einheiten einsetzen, erh alten wir die Antwort: ΔU ≈ 152 J.
