Quadrische Gleichungen kommen oft in einer Reihe von Aufgaben in Mathematik und Physik vor, daher sollte jeder Schüler in der Lage sein, sie zu lösen. Dieser Artikel beschreibt die wichtigsten Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen und bietet auch Beispiele für ihre Verwendung.
Welche Gleichung heißt quadratisch
Zunächst beantworten wir die Frage dieses Absatzes, um besser zu verstehen, worum es in dem Artikel gehen wird. Die quadratische Gleichung hat also die folgende allgemeine Form: c + bx+ax2=0, wobei a, b, c einige Zahlen sind, die Koeffizienten genannt werden. Dabei ist a≠0 eine zwingende Bedingung, ansonsten entartet die angegebene Gleichung in eine lineare. Die restlichen Koeffizienten (b, c) können absolut beliebige Werte einschließlich Null annehmen. Ausdrücke wie ax2=0, wobei b=0 und c=0, oder c+ax2=0, wobei b=0, oder bx+ax2=0, wobei c=0 ebenfalls quadratische Gleichungen sind, die man unvollständig nennt, da entweder der lineare Koeffizient b in ihnen Null oder Null istist ein freier Begriff c, oder beide verschwinden.
Eine Gleichung, in der a=1 heißt reduziert, hat also die Form: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Die Lösung einer quadratischen Gleichung besteht darin, solche x-Werte zu finden, die ihre Gleichheit erfüllen. Diese Werte werden Wurzeln genannt. Da die betrachtete Gleichung ein Ausdruck zweiten Grades ist, bedeutet dies, dass die maximale Anzahl ihrer Wurzeln zwei nicht überschreiten kann.
Welche Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen gibt es
Im Allgemeinen gibt es 4 Lösungsmethoden. Ihre Namen sind unten aufgeführt:
- Faktorisierung.
- Zusatz zum Quadrat.
- Unter Verwendung einer bekannten Formel (über die Diskriminante).
- Die Lösungsmethode ist geometrisch.
Wie Sie der obigen Liste entnehmen können, sind die ersten drei Methoden algebraischer Art und werden daher häufiger verwendet als die letzte, bei der es um das Zeichnen einer Funktion geht.
Es gibt einen anderen Weg, quadratische Gleichungen mit dem Vieta-Theorem zu lösen. Es könnte als 5. in die obige Liste aufgenommen werden, dies wird jedoch nicht getan, da der Satz von Vieta eine einfache Konsequenz der 3. Methode ist.
Später in diesem Artikel werden wir die genannten Lösungsmethoden genauer betrachten und auch Beispiele für ihre Verwendung geben, um die Wurzeln bestimmter Gleichungen zu finden.
Methode 1. Factoring
Für diese Methode in der Mathematik der quadratischen Gleichungen gibt es eine schöneName: Faktorisierung. Das Wesentliche dieser Methode ist wie folgt: Es ist notwendig, die quadratische Gleichung als Produkt zweier Terme (Ausdrücke) darzustellen, die gleich Null sein müssen. Nach einer solchen Darstellung können Sie die Produkteigenschaft verwenden, die nur dann gleich Null ist, wenn ein oder mehrere (alle) ihrer Mitglieder Null sind.
Betrachten Sie nun die Abfolge spezifischer Aktionen, die ausgeführt werden müssen, um die Wurzeln der Gleichung zu finden:
- Alle Elemente in einen Teil des Ausdrucks verschieben (z. B. nach links), sodass im anderen Teil (rechts) nur 0 verbleibt.
- Die Summe der Terme in einem Teil der Gleichung als Produkt zweier linearer Gleichungen darstellen.
- Setze jeden der linearen Ausdrücke auf Null und löse sie.
Wie Sie sehen können, ist der Faktorisierungsalgorithmus recht einfach, jedoch haben die meisten Schüler Schwierigkeiten bei der Umsetzung des 2. Punktes, weshalb wir ihn näher erläutern.
Um zu erraten, welche 2 linearen Ausdrücke miteinander multipliziert die gewünschte quadratische Gleichung ergeben, müssen Sie sich an zwei einfache Regeln erinnern:
- Lineare Koeffizienten zweier linearer Ausdrücke sollten miteinander multipliziert den ersten Koeffizienten der quadratischen Gleichung ergeben, also die Zahl a.
- Die freien Terme linearer Ausdrücke sollten multipliziert die Zahl c der gewünschten Gleichung ergeben.
Nachdem alle Faktoren ausgewählt wurden, sollten sie multipliziert werden, und wenn sie die gewünschte Gleichung ergeben, gehen Sie zu Schritt 3 inden obigen Algorithmus, ansonsten sollten Sie die Multiplikatoren ändern, aber Sie müssen dies tun, damit die obigen Regeln immer eingeh alten werden.
Beispiel einer Lösung durch Faktorisierungsmethode
Lassen Sie uns deutlich zeigen, wie der Algorithmus zum Lösen einer quadratischen Gleichung darin besteht, unbekannte Wurzeln zu bilden und zu finden. Gegeben sei ein beliebiger Ausdruck, zum Beispiel 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Kommen wir zu seiner Lösung, indem wir die Abfolge der Punkte von 1 bis 3 beachten, die im vorherigen Absatz des Artikels dargelegt sind.
Item 1. Verschiebe alle Terme auf die linke Seite und ordne sie in der klassischen Reihenfolge einer quadratischen Gleichung an. Wir haben die folgende Gleichung: 2x+(-8)+x2=0.
Item 2. Wir zerlegen es in ein Produkt linearer Gleichungen. Da a=1 und c=-8, wählen wir beispielsweise ein solches Produkt (x-2)(x+4). Es erfüllt die im obigen Absatz dargelegten Regeln zum Auffinden der erwarteten Faktoren. Öffnen wir die Klammern, erh alten wir: -8+2x+x2, also genau den gleichen Ausdruck wie auf der linken Seite der Gleichung. Das bedeutet, dass wir die Multiplikatoren richtig erraten haben und mit dem 3. Schritt des Algorithmus fortfahren können.
Punkt 3. Setzen Sie jeden Faktor mit Null gleich, wir erh alten: x=-4 und x=2.
Wenn Zweifel am Ergebnis bestehen, empfiehlt es sich, die gefundenen Wurzeln durch Einsetzen der gefundenen Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung zu überprüfen. In diesem Fall haben wir: 22+22-8=0 und 2(-4)+(-4)2 -8=0. Wurzeln korrekt gefunden.
So haben wir mit der Faktorisierungsmethode herausgefunden, dass die gegebene Gleichung zwei unterschiedliche Wurzeln hathat: 2 und -4.
Methode 2. Komplement zum vollen Quadrat
In der Algebra der quadratischen Gleichungen kann die Multiplikatormethode nicht immer verwendet werden, da bei gebrochenen Werten der Koeffizienten der quadratischen Gleichung Schwierigkeiten bei der Implementierung von Absatz 2 des Algorithmus auftreten.
Die Methode der vollen Quadrate wiederum ist universell und kann auf quadratische Gleichungen jeder Art angewendet werden. Seine Essenz besteht darin, die folgenden Operationen auszuführen:
- Die Terme der Gleichung mit den Koeffizienten a und b müssen in einen Teil der Gleichung übertragen werden, der freie Term c in den anderen.
- Als nächstes sollen die Teile der Gleichheit (rechts und links) durch den Koeffizienten a dividiert werden, also die Gleichung in der reduzierten Form (a=1) darstellen.
- Summiere die Terme mit den Koeffizienten a und b, um sie als Quadrat einer linearen Gleichung darzustellen. Da a \u003d 1, dann ist der lineare Koeffizient gleich 1, wie für den freien Term der linearen Gleichung, dann sollte er gleich der Hälfte des linearen Koeffizienten der reduzierten quadratischen Gleichung sein. Nachdem das Quadrat des linearen Ausdrucks gebildet wurde, muss die entsprechende Zahl auf der rechten Seite der Gleichheit hinzugefügt werden, wo sich der freie Term befindet, der durch Erweitern des Quadrats erh alten wird.
- Ziehe die Quadratwurzel mit "+" und "-" Zeichen und löse die bereits erh altene lineare Gleichung.
Der beschriebene Algorithmus mag auf den ersten Blick als recht kompliziert empfunden werden, ist aber in der Praxis einfacher umzusetzen als die Faktorisierungsmethode.
Ein Beispiel für eine Lösung unter Verwendung des vollen quadratischen Komplements
Lassen Sie uns ein Beispiel einer quadratischen Gleichung geben, um ihre Lösung mit der im vorherigen Absatz beschriebenen Methode zu trainieren. Gegeben sei die quadratische Gleichung -10 - 6x+5x2=0. Wir beginnen sie nach dem oben beschriebenen Algorithmus zu lösen.
Punkt 1. Wir verwenden die Transfermethode beim Lösen von quadratischen Gleichungen, wir erh alten: - 6x+5x2=10.
Punkt 2. Die reduzierte Form dieser Gleichung erhält man durch Division durch die Zahl 5 jedes ihrer Mitglieder (wenn beide Teile dividiert oder mit derselben Zahl multipliziert werden, bleibt die Gleichheit erh alten). Als Ergebnis der Transformationen erh alten wir: x2 - 6/5x=2.
Punkt 3. Die Hälfte des Koeffizienten - 6/5 ist -6/10=-3/5, verwenden Sie diese Zahl, um das Quadrat zu vervollständigen, wir erh alten: (-3/5+x) 2 . Wir erweitern es und der resultierende freie Term sollte von der linken Seite der Gleichheit subtrahiert werden, um die ursprüngliche Form der quadratischen Gleichung zu erfüllen, was einer Addition auf der rechten Seite entspricht. Als Ergebnis erh alten wir: (-3/5+x)2=59/25.
Item 4. Berechnen Sie die Quadratwurzel mit positiven und negativen Vorzeichen und finden Sie die Wurzeln: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Die beiden gefundenen Wurzeln haben die folgenden Werte: x1=(√59+3)/5 und x1=(3-√59)/5.
Da sich die durchgeführten Berechnungen auf Wurzeln beziehen, besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zu machen. Es wird daher empfohlen, die Richtigkeit der Wurzeln x2 und x1 zu überprüfen. Wir erh alten für x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Jetzt ersetzenx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Damit haben wir gezeigt, dass die gefundenen Nullstellen der Gleichung wahr sind.
Methode 3. Anwendung der bekannten Formel
Diese Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen ist vielleicht die einfachste, da sie darin besteht, die Koeffizienten in eine bekannte Formel einzusetzen. Um es zu verwenden, müssen Sie nicht über das Kompilieren von Lösungsalgorithmen nachdenken, es reicht aus, sich nur eine Formel zu merken. Es ist im Bild oben zu sehen.
In dieser Formel wird der Wurzelausdruck (b2-4ac) als Diskriminante (D) bezeichnet. Von seinem Wert hängt es ab, welche Wurzeln erh alten werden. Es gibt 3 Fälle:
- D>0, dann hat die Wurzel-Zwei-Gleichung reelle und verschiedene.
- D=0, dann erhält man die Wurzel, die sich aus dem Ausdruck x=-b/(a2) berechnen lässt.
- D<0, dann erhält man zwei verschiedene imaginäre Wurzeln, die als komplexe Zahlen dargestellt werden. Beispielsweise ist die Zahl 3-5i komplex, während die imaginäre Einheit i die Eigenschaft erfüllt: i2=-1.
Beispiel einer Lösung durch Berechnung der Diskriminante
Lassen Sie uns ein Beispiel einer quadratischen Gleichung geben, um die Verwendung der obigen Formel zu üben. Finden Sie die Wurzeln für -3x2-6+3x+4x=0. Berechnen Sie zuerst den Wert der Diskriminante, wir erh alten: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Da D<0 erh alten wird, bedeutet dies, dass die Wurzeln der betrachteten Gleichung komplexe Zahlen sind. Lassen Sie uns sie finden, indem wir den gefundenen Wert D in die im vorherigen Absatz angegebene Formel einsetzen (dies ist auch auf dem Foto oben gezeigt). Wir erh alten: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Methode 4. Verwendung des Funktionsgraphen
Es wird auch als grafische Methode zum Lösen von quadratischen Gleichungen bezeichnet. Es sollte gesagt werden, dass es in der Regel nicht zur quantitativen, sondern zur qualitativen Analyse der betrachteten Gleichung verwendet wird.
Die Essenz der Methode besteht darin, eine quadratische Funktion y=f(x) zu zeichnen, die eine Parabel ist. Dann ist es notwendig zu bestimmen, an welchen Punkten die Parabel die x-Achse (X) schneidet, sie werden die Wurzeln der entsprechenden Gleichung sein.
Um zu sagen, ob eine Parabel die X-Achse schneidet, reicht es aus, die Position ihres Minimums (Maximums) und die Richtung ihrer Äste zu kennen (sie können entweder steigen oder fallen). Es gibt zwei Eigenschaften dieser Kurve, die man sich merken sollte:
- Wenn a>0 - sind die Parabeln des Astes nach oben gerichtet, im Gegenteil, wenn a<0, dann gehen sie nach unten.
- Die minimale (maximale) Koordinate einer Parabel ist immer x=-b/(2a).
Zum Beispiel müssen Sie feststellen, ob die Gleichung -4x+5x2+10=0 Wurzeln hat. Die entsprechende Parabel wird nach oben gerichtet sein, da a=5>0. Sein Extremum hat Koordinaten: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Seit das Minimum der Kurve über der x-Achse liegt (y=9,2), dann schneidet sie diese nichtx-Werte. Das heißt, die gegebene Gleichung hat keine echten Nullstellen.
Satz von Vieta
Wie oben erwähnt, ist dieser Satz eine Folge der Methode Nr. 3, die auf der Anwendung einer Formel mit einer Diskriminante basiert. Die Essenz des Vieta-Theorems besteht darin, dass Sie die Koeffizienten der Gleichung und ihre Wurzeln zu Gleichheit verbinden können. Lassen Sie uns die entsprechenden Gleichungen ermitteln.
Nutzen wir die Formel zur Berechnung der Wurzeln durch die Diskriminante. Addieren Sie zwei Wurzeln, erh alten wir: x1+x2=-b/a. Nun multiplizieren wir die Wurzeln miteinander: x1x2, nach einer Reihe von Vereinfachungen erh alten wir die Zahl c/a.
Um also die quadratischen Gleichungen mit dem Vieta-Theorem zu lösen, können Sie die erh altenen zwei Gleichungen verwenden. Wenn alle drei Koeffizienten einer Gleichung bekannt sind, dann können die Wurzeln gefunden werden, indem das entsprechende System dieser beiden Gleichungen gelöst wird.
Ein Beispiel für die Anwendung des Satzes von Vieta
Du musst eine quadratische Gleichung schreiben, wenn du weißt, dass sie die Form x2+c=-bx hat und ihre Wurzeln 3 und -4. sind
Da in der betrachteten Gleichung a=1 ist, sehen die Vieta-Formeln so aus: x2+x1=-b und x2x1=p. Wenn wir die bekannten Werte der Wurzeln ersetzen, erh alten wir: b=1 und c=-12. Als Ergebnis sieht die wiederhergestellte quadratisch reduzierte Gleichung wie folgt aus: x2-12=-1x. Sie können den Wert der Wurzeln darin einsetzen und sicherstellen, dass die Gleichheit gilt.
Umgekehrte Anwendung des Vieta-Theorems, also die Berechnung der Nullstellen durchbekannte Form der Gleichung, ermöglicht für kleine ganze Zahlen a, b und c, schnell (intuitiv) Lösungen zu finden.
