Schon in der Schule beschäftigte sich jeder von uns mit Gleichungen und natürlich mit Gleichungssystemen. Aber nicht viele Menschen wissen, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, sie zu lösen. Heute werden wir alle Methoden zur Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen, die aus mehr als zwei Gleichungen bestehen, im Detail analysieren.
Verlauf
Heute weiß man, dass die Kunst, Gleichungen und ihre Systeme zu lösen, ihren Ursprung im alten Babylon und Ägypten hat. Gleichheiten in ihrer üblichen Form erschienen jedoch nach dem Erscheinen des Gleichheitszeichens "=", das 1556 vom englischen Mathematiker Record eingeführt wurde. Übrigens wurde dieses Zeichen aus einem bestimmten Grund gewählt: Es bedeutet zwei parallele gleiche Segmente. Tatsächlich gibt es kein besseres Beispiel für Gleichberechtigung.
Begründer der modernen Buchstabenbezeichnungen von Unbekannten und Gradzeichen ist der französische Mathematiker Francois Viet. Seine Bezeichnungen unterschieden sich jedoch deutlich von den heutigen. Beispielsweise bezeichnete er das Quadrat einer unbekannten Zahl mit dem Buchstaben Q (lat. „quadratus“) und den Würfel mit dem Buchstaben C (lat. „cubus“). Diese Bezeichnungen erscheinen jetzt unbequem, aber dannes war die verständlichste Art, Systeme linearer algebraischer Gleichungen zu schreiben.
Der Nachteil der damaligen Lösungsmethoden war jedoch, dass die Mathematiker nur positive Wurzeln betrachteten. Vielleicht liegt das daran, dass negative Werte keinen praktischen Nutzen hatten. Auf die eine oder andere Weise waren es die italienischen Mathematiker Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano und Rafael Bombelli, die im 16. Jahrhundert als erste negative Wurzeln betrachteten. Und das moderne Aussehen, die Hauptmethode zum Lösen quadratischer Gleichungen (durch die Diskriminante), wurde erst im 17. Jahrhundert dank der Arbeit von Descartes und Newton geschaffen.
Mitte des 18. Jahrhunderts fand der Schweizer Mathematiker Gabriel Cramer einen neuen Weg, um das Lösen von linearen Gleichungssystemen zu erleichtern. Diese Methode wurde später nach ihm benannt und wir verwenden sie bis heute. Aber wir werden etwas später über die Cramer-Methode sprechen, aber jetzt werden wir lineare Gleichungen und Methoden zu ihrer Lösung getrennt vom System diskutieren.
Lineare Gleichungen
Lineare Gleichungen sind die einfachsten Gleichungen mit Variablen. Sie werden als algebraisch klassifiziert. Lineare Gleichungen werden allgemein wie folgt geschrieben: 2+…a x =b. Ihre Darstellung in dieser Form werden wir beim weiteren Kompilieren von Systemen und Matrizen benötigen.
Systeme linearer algebraischer Gleichungen
Die Definition dieses Begriffs lautet: Es handelt sich um eine Reihe von Gleichungen, die gemeinsame Unbekannte und eine gemeinsame Lösung haben. In der Schule wurde in der Regel alles von Systemen entschiedenmit zwei oder sogar drei Gleichungen. Aber es gibt Systeme mit vier oder mehr Komponenten. Lassen Sie uns zuerst herausfinden, wie man sie aufschreibt, damit sie später bequem gelöst werden können. Erstens sehen lineare algebraische Gleichungssysteme besser aus, wenn alle Variablen als x mit dem entsprechenden Index geschrieben werden: 1, 2, 3 und so weiter. Zweitens sollten alle Gleichungen auf die kanonische Form reduziert werden: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Nach all diesen Schritten können wir darüber sprechen, wie man eine Lösung für lineare Gleichungssysteme findet. Matrizen sind dafür sehr nützlich.
Matrizen
Eine Matrix ist eine Tabelle, die aus Zeilen und Sp alten besteht und deren Elemente sich an deren Schnittpunkt befinden. Dies können entweder bestimmte Werte oder Variablen sein. Meistens werden zur Kennzeichnung von Elementen tiefgestellte Zeichen darunter gesetzt (z. B. a11 oder a23). Der erste Index bedeutet die Zeilennummer und der zweite die Sp altennummer. An Matrizen sowie an jedem anderen mathematischen Element können Sie verschiedene Operationen ausführen. Sie können also:
1) Subtrahiere und addiere Tabellen gleicher Größe.
2) Multipliziere eine Matrix mit einer Zahl oder einem Vektor.
3) Transponieren: Matrixzeilen in Sp alten und Sp alten in Zeilen umwandeln.
4) Multipliziere Matrizen, wenn die Zeilenzahl der einen gleich der Sp altenzahl der anderen ist.
Wir werden all diese Techniken ausführlicher besprechen, da sie uns in Zukunft nützlich sein werden. Das Subtrahieren und Addieren von Matrizen ist sehr einfach. SoDa wir Matrizen gleicher Größe nehmen, entspricht jedes Element einer Tabelle jedem Element einer anderen. Daher addieren (subtrahieren) wir diese beiden Elemente (es ist wichtig, dass sie sich in ihren Matrizen an denselben Stellen befinden). Wenn Sie eine Matrix mit einer Zahl oder einem Vektor multiplizieren, müssen Sie einfach jedes Element der Matrix mit dieser Zahl (oder diesem Vektor) multiplizieren. Die Umsetzung ist ein sehr interessanter Prozess. Es ist manchmal sehr interessant, es im wirklichen Leben zu sehen, zum Beispiel wenn die Ausrichtung eines Tablets oder Telefons geändert wird. Die Symbole auf dem Desktop sind eine Matrix, und wenn Sie die Position ändern, wird sie transponiert und breiter, nimmt aber an Höhe ab.
Werfen wir einen weiteren Blick auf einen Vorgang wie die Matrixmultiplikation. Obwohl es für uns nicht nützlich sein wird, wird es dennoch nützlich sein, es zu wissen. Sie können zwei Matrizen nur multiplizieren, wenn die Anzahl der Sp alten in einer Tabelle gleich der Anzahl der Zeilen in der anderen ist. Nehmen wir nun die Elemente einer Reihe einer Matrix und die Elemente der entsprechenden Sp alte einer anderen. Wir multiplizieren sie miteinander und addieren sie dann (also zum Beispiel das Produkt der Elemente a11 und a12 mit b 12und b22 sind gleich: a11b12 + a 12 b22). So erhält man ein Element der Tabelle und wird auf ähnliche Weise weiter gefüllt.
Nun können wir uns ansehen, wie das lineare Gleichungssystem gelöst wird.
Gauß-Methode
Dieses Thema beginnt schon in der Schule zu vergehen. Wir kennen das Konzept des "Systems aus zwei linearen Gleichungen" gut und wissen, wie man es löst. Was aber, wenn die Anzahl der Gleichungen mehr als zwei beträgt? Dabei hilft uns die Gauss-Methode.
Natürlich ist diese Methode praktisch, wenn Sie aus dem System eine Matrix erstellen. Aber man kann es nicht transformieren und in seiner reinsten Form lösen.
Also, wie löst diese Methode das System der linearen Gaußschen Gleichungen? Übrigens, obwohl diese Methode nach ihm benannt ist, wurde sie in der Antike entdeckt. Gauß schlägt folgendes vor: Operationen mit Gleichungen durchzuführen, um schließlich die gesamte Menge auf eine Stufenform zu reduzieren. Das heißt, es ist notwendig, dass von oben nach unten (bei richtiger Platzierung) von der ersten bis zur letzten Gleichung eine Unbekannte abnimmt. Mit anderen Worten, wir müssen sicherstellen, dass wir beispielsweise drei Gleichungen erh alten: in der ersten - drei Unbekannte, in der zweiten - zwei, in der dritten - eine. Dann finden wir aus der letzten Gleichung die erste Unbekannte, setzen ihren Wert in die zweite oder erste Gleichung ein und finden dann die verbleibenden zwei Variablen.
Cramer-Methode
Um diese Methode zu beherrschen, ist es wichtig, die Fähigkeiten der Addition und Subtraktion von Matrizen zu beherrschen, und Sie müssen auch in der Lage sein, Determinanten zu finden. Wenn Sie also all dies schlecht machen oder überhaupt nicht wissen, wie, müssen Sie lernen und üben.
Was ist die Essenz dieser Methode und wie macht man sie so, dass man ein System linearer Cramer-Gleichungen erhält? Alles ist sehr einfach. Wir müssen eine Matrix aus numerischen (fast immer) Koeffizienten eines linearen algebraischen Gleichungssystems konstruieren. Nimm dazu einfach die Zahlen vor den Unbekannten und ordne sie einTabelle in der Reihenfolge, in der sie im System erfasst werden. Wenn der Zahl ein „-“-Zeichen vorangestellt ist, schreiben wir einen negativen Koeffizienten auf. Wir haben also die erste Matrix aus den Koeffizienten der Unbekannten zusammengestellt, ohne die Zahlen nach den Gleichheitszeichen (natürlich sollte die Gleichung auf die kanonische Form reduziert werden, wenn rechts nur die Zahl steht und alle Unbekannten mit Koeffizienten links). Dann müssen Sie mehrere weitere Matrizen erstellen - eine für jede Variable. Dazu ersetzen wir wiederum jede Sp alte mit Koeffizienten in der ersten Matrix durch eine Zahlensp alte nach dem Gleichheitszeichen. So erh alten wir mehrere Matrizen und finden dann ihre Determinanten.
Nachdem wir die Determinanten gefunden haben, ist die Sache klein. Wir haben eine Anfangsmatrix und es gibt mehrere resultierende Matrizen, die verschiedenen Variablen entsprechen. Um die Lösungen des Systems zu erh alten, dividieren wir die Determinante der resultierenden Tabelle durch die Determinante der Anfangstabelle. Die resultierende Zahl ist der Wert einer der Variablen. Ebenso finden wir alle Unbekannten.
Andere Methoden
Es gibt mehrere weitere Methoden, um die Lösung von linearen Gleichungssystemen zu erh alten. Beispielsweise das sogenannte Gauß-Jordan-Verfahren, das zur Lösungsfindung eines Systems quadratischer Gleichungen dient und auch mit der Verwendung von Matrizen verbunden ist. Es gibt auch ein Jacobi-Verfahren zum Lösen eines Systems linearer algebraischer Gleichungen. Es ist am einfachsten an einen Computer anzupassen und wird in der Informatik verwendet.
Schwierige Fälle
Komplexität tritt normalerweise auf, wenn die Anzahl der Gleichungen kleiner ist als die Anzahl der Variablen. Dann können wir mit Sicherheit sagen, dass entweder das System inkonsistent ist (d. h. es hat keine Wurzeln) oder die Anzahl seiner Lösungen gegen unendlich geht. Wenn wir den zweiten Fall haben, müssen wir die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems aufschreiben. Es enthält mindestens eine Variable.
Schlussfolgerung
Hier kommen wir zum Ende. Zusammenfassend: Wir haben analysiert, was ein System und eine Matrix sind, wir haben gelernt, wie man eine allgemeine Lösung für ein System linearer Gleichungen findet. Darüber hinaus wurden weitere Optionen geprüft. Wir haben herausgefunden, wie das lineare Gleichungssystem gelöst wird: die Gauß-Methode und die Cramer-Methode. Wir sprachen über schwierige Fälle und andere Lösungsansätze.
Tatsächlich ist dieses Thema viel umfangreicher, und wenn Sie es besser verstehen wollen, empfehlen wir Ihnen, spezialisiertere Literatur zu lesen.
