Ungleichungen und Systeme von Ungleichungen ist eines der Themen, die in der High School Algebra gelehrt werden. In Bezug auf die Schwierigkeit ist es nicht das schwierigste, weil es einfache Regeln hat (darüber etwas später). Die Lösung von Ungleichungssystemen lernen Schulkinder in der Regel recht leicht. Das liegt auch daran, dass Lehrer ihre Schüler zu diesem Thema einfach „trainieren“. Und das können sie auch nicht lassen, denn es wird künftig mit anderen mathematischen Größen studiert und auch für die OGE und das Einheitliche Staatsexamen geprüft. In Schulbüchern wird das Thema Ungleichheiten und Ungleichheitssysteme sehr ausführlich behandelt. Wenn Sie sich also damit befassen, greifen Sie am besten darauf zurück. Dieser Artikel ist nur eine Paraphrase von viel Material und kann einige Auslassungen enth alten.
Das Konzept eines Systems von Ungleichheiten
Wenn wir uns der wissenschaftlichen Sprache zuwenden, können wir den Begriff "System" definierenUngleichungen". Dies ist ein solches mathematisches Modell, das mehrere Ungleichungen darstellt. Natürlich erfordert dieses Modell eine Lösung, und es wird die allgemeine Antwort für alle Ungleichungen des in der Aufgabe vorgeschlagenen Systems sein (normalerweise wird es so geschrieben, z Beispiel: "Löse das Ungleichungssystem 4 x + 1 > 2 und 30 - x > 6… ").
Ungleichungs- und Gleichungssysteme
Beim Erlernen eines neuen Themas kommt es oft zu Missverständnissen. Einerseits ist alles klar und ich würde lieber anfangen, Aufgaben zu lösen, aber andererseits bleiben einige Momente im "Schatten", sie werden nicht gut verstanden. Außerdem können einige Elemente des bereits erworbenen Wissens mit neuen verknüpft werden. Aufgrund dieser Überschneidung kommt es häufig zu Fehlern.
Daher sollten wir uns, bevor wir mit der Analyse unseres Themas fortfahren, die Unterschiede zwischen Gleichungen und Ungleichungen und ihren Systemen ins Gedächtnis rufen. Dazu ist es notwendig, noch einmal zu klären, was diese mathematischen Konzepte sind. Eine Gleichung ist immer eine Gleichheit, und sie ist immer gleich etwas (in der Mathematik wird dieses Wort mit dem Zeichen „=“bezeichnet). Ungleichheit ist ein Modell, in dem ein Wert entweder größer oder kleiner als ein anderer ist oder die Behauptung enthält, dass sie nicht gleich sind. Somit ist es im ersten Fall angebracht, von Gleichberechtigung zu sprechen, und im zweiten, egal wie offensichtlich es auch klingen magder Name selbst, über die Ungleichheit der Ausgangsdaten. Die Gleichungssysteme und Ungleichungen unterscheiden sich praktisch nicht voneinander und die Methoden zu ihrer Lösung sind die gleichen. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Ersteres Gleichheiten verwendet, während Letzteres Ungleichheiten verwendet.
Arten von Ungleichheiten
Es gibt zwei Arten von Ungleichungen: numerisch und mit einer unbekannten Variablen. Der erste Typ sind Werte (Zahlen), die nicht gleich sind, zum Beispiel 8 > 10. Der zweite Typ sind Ungleichungen, die eine unbekannte Variable enth alten (angezeigt durch einen Buchstaben des lateinischen Alphabets, meistens X). Diese Variable muss gefunden werden. Je nachdem, wie viele es sind, unterscheidet das mathematische Modell zwischen Ungleichungen mit einer (sie bilden ein System von Ungleichungen mit einer Variablen) oder mehreren Variablen (sie bilden ein System von Ungleichungen mit mehreren Variablen).
Die letzten beiden Typen werden je nach Konstruktionsgrad und Komplexitätsgrad der Lösung in einfache und komplexe unterteilt. Einfache werden auch als lineare Ungleichungen bezeichnet. Sie werden wiederum in strenge und nicht strenge unterteilt. Streng ausdrücklich "sagen", dass ein Wert entweder kleiner oder größer sein muss, also ist dies reine Ungleichheit. Es gibt mehrere Beispiele: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 usw. Nicht strenge enth alten auch Gleichheit. Das heißt, ein Wert kann größer oder gleich einem anderen Wert sein (Zeichen „≧“) oder kleiner oder gleich einem anderen Wert (Zeichen „≦“). Immer noch an der ReiheBei Ungleichungen steht die Variable nicht an der Wurzel, quadratisch, ist durch nichts teilbar, weshalb sie "einfach" genannt werden. Komplexe umfassen unbekannte Variablen, deren Auffinden mehr mathematische Operationen erfordert. Sie befinden sich oft in einem Quadrat, Würfel oder unter der Wurzel, sie können modular, logarithmisch, gebrochen usw. sein. Da unsere Aufgabe jedoch darin besteht, die Lösung von Ungleichungssystemen zu verstehen, sprechen wir von einem System linearer Ungleichungen. Zuvor sollten jedoch einige Worte zu ihren Eigenschaften gesagt werden.
Eigenschaften von Ungleichungen
Die Eigenschaften von Ungleichungen umfassen die folgenden Bestimmungen:
- Das Ungleichheitszeichen wird umgekehrt, wenn die Operation zum Ändern der Seitenfolge angewendet wird (z. B. wenn t1 ≦ t2, dann t 2 ≧ t1).
- Mit beiden Teilen der Ungleichung können Sie dieselbe Zahl zu sich selbst addieren (z. B. wenn t1 ≦ t2, dann t 1 + Zahl ≦ t2 + Zahl).
- Bei zwei oder mehr Ungleichungen mit gleichem Vorzeichen können Sie ihren linken und rechten Teil addieren (z. B. wenn t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, dann t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Beide Teile der Ungleichung lassen sich mit derselben positiven Zahl multiplizieren oder dividieren (z. B. wenn t1 ≦ t2und Zahl ≦ 0, dann Zahl t1 ≧ Zahl t2).
- Zwei oder mehr Ungleichungen, die positive Terme und ein Vorzeichen der gleichen Richtung zulassenmultiplizieren (zum Beispiel, wenn t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 dann t1 t3 ≦ t2 t4).
- Beide Teile der Ungleichung lassen sich mit derselben negativen Zahl multiplizieren oder dividieren, jedoch ändert sich das Ungleichheitszeichen (z. B. wenn t1 ≦ t2 und Zahl ≦ 0, dann Zahl t1 ≧ Zahl t2).
- Alle Ungleichungen sind transitiv (zum Beispiel, wenn t1 ≦ t2 und t2≦ t3, dann t1 ≦ t3).
Nun, nachdem wir die wichtigsten Bestimmungen der Theorie bezüglich Ungleichungen studiert haben, können wir direkt mit der Betrachtung der Regeln zur Lösung ihrer Systeme fortfahren.
Lösung von Ungleichungssystemen. Allgemeine Information. Lösungen
Wie oben erwähnt, besteht die Lösung aus den Werten der Variablen, die zu allen Ungleichungen des gegebenen Systems passen. Die Lösung von Ungleichungssystemen ist die Durchführung mathematischer Operationen, die letztendlich zur Lösung des Gesamtsystems führen oder beweisen, dass es keine Lösungen gibt. In diesem Fall soll sich die Variable auf die leere Zahlenmenge beziehen (wie folgt geschrieben: der Buchstabe, der die Variable bezeichnet ∈ (das Zeichen "gehört") ø (das Zeichen "leere Menge"), zum Beispiel x ∈ ø (es wird so gelesen: "Die Variable "x" gehört zur leeren Menge"). Es gibt mehrere Möglichkeiten, Ungleichungssysteme zu lösen:grafische, algebraische, Substitutionsverfahren. Es ist erwähnenswert, dass sie sich auf mathematische Modelle beziehen, die mehrere unbekannte Variablen haben. Falls es nur einen gibt, reicht die Abstandsmethode.
Grafische Methode
Ermöglicht es Ihnen, ein Ungleichungssystem mit mehreren Unbekannten (von zwei oder mehr) zu lösen. Dank dieser Methode wird das System der linearen Ungleichungen ziemlich einfach und schnell gelöst, daher ist es die gebräuchlichste Methode. Dies liegt daran, dass das Plotten die Menge des Schreibens mathematischer Operationen reduziert. Besonders angenehm wird es, eine kleine Pause vom Stift einzulegen, einen Bleistift mit Lineal in die Hand zu nehmen und mit ihrer Hilfe weitere Aktionen durchzuführen, wenn viel Arbeit geleistet wurde und man sich ein wenig Abwechslung wünscht. Einige mögen diese Methode jedoch nicht, da Sie sich von der Aufgabe lösen und Ihre geistige Aktivität auf das Zeichnen umstellen müssen. Es ist jedoch ein sehr effektiver Weg.
Um ein Ungleichungssystem graphisch zu lösen, müssen alle Glieder jeder Ungleichung auf ihre linke Seite übertragen werden. Die Vorzeichen werden vertauscht, Null sollte rechts geschrieben werden, dann sollte jede Ungleichheit separat geschrieben werden. Als Ergebnis erhält man Funktionen aus Ungleichungen. Danach können Sie einen Bleistift und ein Lineal bekommen: Jetzt müssen Sie ein Diagramm jeder erh altenen Funktion zeichnen. Die gesamte Menge von Zahlen, die sich im Intervall ihrer Schnittmenge befindet, ist die Lösung des Ungleichungssystems.
Algebraischer Weg
Ermöglicht es Ihnen, ein Ungleichungssystem mit zwei unbekannten Variablen zu lösen. Auch Ungleichungen müssen dasselbe Ungleichheitszeichen haben (d. h. sie müssen entweder nur das „Größer-als“-Zeichen oder nur das „Kleiner-als“-Zeichen usw. enth alten). Trotz ihrer Einschränkungen ist diese Methode auch komplizierter. Die Anwendung erfolgt in zwei Schritten.
Die erste besteht darin, eine der unbekannten Variablen loszuwerden. Zuerst müssen Sie es auswählen und dann prüfen, ob Zahlen vor dieser Variablen vorhanden sind. Wenn es keine gibt (dann sieht die Variable wie ein einzelner Buchstabe aus), ändern wir nichts. Wenn dies der Fall ist (der Typ der Variablen ist beispielsweise 5y oder 12y), muss sichergestellt werden dass bei jeder Ungleichung die Zahl vor der ausgewählten Variablen gleich ist. Dazu müssen Sie jedes Element der Ungleichungen mit einem gemeinsamen Faktor multiplizieren. Wenn beispielsweise 3y in die erste Ungleichung und 5y in die zweite geschrieben wird, müssen Sie alle Elemente der ersten Ungleichung mit 5 multiplizieren, und die zweite um 3. Sie erh alten 15y bzw. 15y.
Die zweite Stufe der Entscheidung. Es ist notwendig, die linke Seite jeder Ungleichung auf die rechte Seite zu übertragen, wobei sich das Vorzeichen jedes Terms in das Gegenteil ändert. Schreiben Sie rechts eine Null. Dann kommt der spaßige Teil: die gewählte Variable (auch bekannt als "Reduktion") loszuwerden, während die Ungleichungen addiert werden. Sie erh alten eine Ungleichung mit einer Variablen, die gelöst werden muss. Danach sollten Sie dasselbe tun, nur mit einer anderen unbekannten Variablen. Die erh altenen Ergebnisse sind die Lösung des Systems.
Substitutionsmethode
Ermöglicht es Ihnen, ein System von Ungleichungen zu lösen, wenn Sie die Möglichkeit haben, eine neue Variable einzuführen. Normalerweise wird diese Methode verwendet, wenn die unbekannte Variable in einem Term der Ungleichung in die vierte Potenz erhoben und im anderen Term quadriert wird. Somit zielt diese Methode darauf ab, den Grad der Ungleichheiten im System zu verringern. Die Beispielungleichung x4 - x2 - 1 ≦ 0 wird auf diese Weise wie folgt gelöst. Eine neue Variable wird eingeführt, zum Beispiel t. Sie schreiben: „Sei t=x2“, dann wird das Modell in einer neuen Form umgeschrieben. In unserem Fall erh alten wir t2 - t - 1 ≦0. Diese Ungleichung muss mit der Intervallmethode gelöst werden (dazu etwas später), dann zurück zur Variablen X, dann dasselbe mit einer anderen Ungleichung. Die erh altenen Antworten werden vom System entschieden.
Intervallmethode
Dies ist der einfachste Weg, um Systeme von Ungleichungen zu lösen, und gleichzeitig ist er universell und weit verbreitet. Es wird in der High School und sogar in der High School verwendet. Sein Wesen liegt in der Tatsache, dass der Schüler auf der Zahlenlinie, die in ein Notizbuch gezeichnet ist, nach Ungleichheitsintervallen sucht (dies ist kein Diagramm, sondern nur eine gewöhnliche gerade Linie mit Zahlen). Wo sich die Intervalle von Ungleichungen schneiden, wird die Lösung des Systems gefunden. Gehen Sie folgendermaßen vor, um die Abstandsmethode zu verwenden:
- Alle Glieder jeder Ungleichung werden mit Vorzeichenwechsel auf die linke Seite übertragen (Null wird rechts geschrieben).
- Ungleichungen werden einzeln ausgeschrieben, die Lösung jeder von ihnen wird bestimmt.
- Die Schnittpunkte der Ungleichungen auf der numerischengerade. Alle Zahlen an diesen Kreuzungen sind die Lösung.
Wie verwenden?
Offensichtlich diejenige, die am einfachsten und bequemsten erscheint, aber es gibt Zeiten, in denen Aufgaben eine bestimmte Methode erfordern. Meistens sagen sie, dass Sie entweder mit einem Diagramm oder mit der Intervallmethode lösen müssen. Die algebraische Methode und die Substitution werden äußerst selten oder gar nicht verwendet, da sie ziemlich komplex und verwirrend sind und außerdem eher zum Lösen von Gleichungssystemen als zum Lösen von Ungleichungen verwendet werden, sodass Sie auf das Zeichnen von Graphen und Intervallen zurückgreifen sollten. Sie bringen Sichtbarkeit, die zur effizienten und schnellen Durchführung mathematischer Operationen beitragen kann.
Wenn etwas nicht funktioniert
Während des Studiums eines bestimmten Themas der Algebra kann es natürlich zu Verständnisproblemen kommen. Und das ist normal, denn unser Gehirn ist so konstruiert, dass es komplexe Materie nicht auf einmal verstehen kann. Oft müssen Sie einen Absatz noch einmal lesen, die Hilfe eines Lehrers in Anspruch nehmen oder das Lösen typischer Probleme üben. In unserem Fall sehen sie beispielsweise so aus: "Löse das Ungleichungssystem 3 x + 1 ≧ 0 und 2 x - 1 > 3". Also persönliches Streben, Hilfe von außen und Übungshilfe zum Verständnis jedes komplexen Themas.
Reshebnik?
Und das Lösungsbuch ist auch sehr gut, aber nicht zum Schummeln bei den Hausaufgaben, sondern zur Selbsthilfe. Darin finden Sie Ungleichungssysteme mit einer Lösung, sieheVersuchen Sie genau zu verstehen, wie der Autor der Lösung die Aufgabe bewältigt hat, und versuchen Sie es dann selbst.
Schlussfolgerungen
Algebra ist eines der schwierigsten Fächer in der Schule. Nun, was kannst du tun? Mathematik war schon immer so: Manchen fällt es leicht, anderen fällt es schwer. Aber in jedem Fall ist zu bedenken, dass das allgemeinbildende Studium so konzipiert ist, dass jeder Schüler damit zurechtkommt. Darüber hinaus müssen Sie eine große Anzahl von Assistenten berücksichtigen. Einige davon wurden oben erwähnt.
