Unlösbare Probleme sind die 7 interessantesten mathematischen Probleme. Jeder von ihnen wurde einmal von bekannten Wissenschaftlern in der Regel in Form von Hypothesen vorgeschlagen. Seit vielen Jahrzehnten zerbrechen sich Mathematiker auf der ganzen Welt den Kopf über ihre Lösung. Diejenigen, die erfolgreich sind, werden mit einer Million US-Dollar belohnt, die vom Clay Institute gestiftet werden.
Vorgeschichte
Im Jahr 1900 präsentierte der große deutsche Mathematiker David Hilbert eine Liste mit 23 Problemen.
Forschungen, die durchgeführt wurden, um sie zu lösen, hatten einen enormen Einfluss auf die Wissenschaft des 20. Jahrhunderts. Im Moment sind die meisten von ihnen keine Geheimnisse mehr. Unter den ungelösten oder teilweise gelösten waren:
- Problem der Konsistenz arithmetischer Axiome;
- allgemeines Reziprozitätsgesetz auf dem Raum beliebiger Zahlenkörper;
- mathematische Untersuchung physikalischer Axiome;
- Untersuchung quadratischer Formen für beliebige algebraische ZahlenQuoten;
- das Problem der strengen Rechtfertigung der Computergeometrie von Fjodor Schubert;
- etc.
Unerforscht sind: das Problem der Erweiterung des bekannten Kronecker-Theorems auf beliebige algebraische Rationalitätsbereiche und die Riemann-Hypothese.
The Clay Institute
Dies ist der Name einer privaten gemeinnützigen Organisation mit Hauptsitz in Cambridge, Massachusetts. Es wurde 1998 vom Harvard-Mathematiker A. Jeffey und dem Geschäftsmann L. Clay gegründet. Ziel des Instituts ist die Popularisierung und Entwicklung mathematischer Kenntnisse. Um dies zu erreichen, vergibt die Organisation Auszeichnungen an Wissenschaftler und Sponsoren für vielversprechende Forschung.
Zu Beginn des 21. Jahrhunderts vergab das Clay Institute of Mathematics einen Preis an diejenigen, die die sogenannten schwierigsten unlösbaren Probleme lösen, und nannte ihre Liste „Millennium Prize Problems“. Nur die Riemann-Hypothese wurde in die Hilbert-Liste aufgenommen.
Millennium-Herausforderungen
Die Liste des Clay Institute enthielt ursprünglich:
- Hodge-Zyklus-Hypothese;
- Gleichungen der Quanten-Yang-Mills-Theorie;
- Poincaré-Hypothese;
- das Problem der Gleichheit der Klassen P und NP;
- Riemann-Hypothese;
- Navier-Stokes-Gleichungen, über die Existenz und Glätte ihrer Lösungen;
- Birch-Swinnerton-Dyer-Problem.
Diese offenen mathematischen Probleme sind von großem Interesse, da sie viele praktische Implementierungen haben können.
Was hat Grigori Perelman bewiesen
Im Jahr 1900 schlug der berühmte Philosoph Henri Poincaré vor, dass jede einfach zusammenhängende kompakte 3er-Mannigf altigkeit ohne Begrenzung homöomorph zu einer dreidimensionalen Kugel ist. Sein Beweis im allgemeinen Fall wurde ein Jahrhundert lang nicht gefunden. Nur in den Jahren 2002-2003 veröffentlichte der St. Petersburger Mathematiker G. Perelman eine Reihe von Artikeln mit einer Lösung des Poincaré-Problems. Sie hatten die Wirkung einer explodierenden Bombe. 2010 wurde die Poincaré-Hypothese von der Liste der „ungelösten Probleme“des Clay Institute gestrichen, und Perelman selbst wurde angeboten, eine ihm zustehende beträchtliche Vergütung zu erh alten, was dieser ohne Angabe von Gründen für seine Entscheidung ablehnte.
Die verständlichste Erklärung für das, was der russische Mathematiker beweisen konnte, ist, sich vorzustellen, dass eine Gummischeibe auf einen Donut (Torus) gezogen wird und dann versucht wird, die Kanten seines Kreises in einen Punkt zu ziehen. Offensichtlich ist dies nicht möglich. Eine andere Sache, wenn Sie dieses Experiment mit einem Ball machen. In diesem Fall wäre eine scheinbar dreidimensionale Kugel, die sich aus einer Scheibe ergibt, deren Umfang durch eine hypothetische Schnur zu einem Punkt gezogen wird, nach dem Verständnis eines gewöhnlichen Menschen dreidimensional, mathematisch gesehen jedoch zweidimensional.
Poincare schlug vor, dass eine dreidimensionale Kugel das einzige dreidimensionale "Objekt" ist, dessen Oberfläche auf einen Punkt zusammengezogen werden kann, und Perelman gelang es, dies zu beweisen. Somit besteht die Liste der "unlösbaren Probleme" heute aus 6 Problemen.
Yang-Mills-Theorie
Dieses mathematische Problem wurde 1954 von seinen Autoren vorgeschlagen. Die wissenschaftliche Formulierung der Theorie lautet wie folgt:für jede einfache kompakte Eichgruppe existiert die von Yang und Mills geschaffene räumliche Quantentheorie und hat gleichzeitig einen Massendefekt von Null.
Um in einer Sprache zu sprechen, die für einen gewöhnlichen Menschen verständlich ist, werden die Wechselwirkungen zwischen natürlichen Objekten (Partikel, Körper, Wellen usw.) in 4 Arten unterteilt: elektromagnetisch, gravitativ, schwach und stark. Seit vielen Jahren versuchen Physiker, eine allgemeine Feldtheorie aufzustellen. Es sollte ein Werkzeug werden, um all diese Wechselwirkungen zu erklären. Die Yang-Mills-Theorie ist eine mathematische Sprache, mit der es möglich wurde, 3 der 4 Hauptkräfte der Natur zu beschreiben. Es gilt nicht für die Schwerkraft. Daher kann nicht davon ausgegangen werden, dass es Yang und Mills gelungen ist, eine Feldtheorie aufzustellen.
Außerdem macht die Nichtlinearität der vorgeschlagenen Gleichungen ihre Lösung extrem schwierig. Für kleine Kopplungskonstanten können sie näherungsweise in Form einer Reihe von Störungstheorien gelöst werden. Allerdings ist noch nicht klar, wie diese Gleichungen mit starker Kopplung gelöst werden können.
Navier-Stokes-Gleichungen
Diese Ausdrücke beschreiben Prozesse wie Luftströmungen, Flüssigkeitsströmungen und Turbulenzen. Für einige Spezialfälle wurden bereits analytische Lösungen der Navier-Stokes-Gleichung gefunden, für den allgemeinen ist dies bisher jedoch noch nicht gelungen. Gleichzeitig können numerische Simulationen für bestimmte Werte von Geschwindigkeit, Dichte, Druck, Zeit usw. hervorragende Ergebnisse erzielen. Es bleibt zu hoffen, dass jemand die Navier-Stokes-Gleichungen umgekehrt anwenden kannRichtung, d.h. daraus die Parameter berechnen, oder beweisen, dass es kein Lösungsverfahren gibt.
Birch-Swinnerton-Dyer-Problem
Zur Kategorie "ungelöste Probleme" gehört auch die Hypothese britischer Wissenschaftler der University of Cambridge. Bereits vor 2300 Jahren gab der antike griechische Wissenschaftler Euklid eine vollständige Beschreibung der Lösungen der Gleichung x2 + y2=z2.
Wenn wir für jede Primzahl die Anzahl der Punkte auf der Kurve modulo zählen, erh alten wir eine unendliche Menge ganzer Zahlen. Wenn Sie es gezielt in 1 Funktion einer komplexen Variablen „einkleben“, erh alten Sie die Hasse-Weil-Zeta-Funktion für eine Kurve dritter Ordnung, die mit dem Buchstaben L bezeichnet wird. Sie enthält Informationen über das Verh alten modulo aller Primzahlen auf einmal.
Brian Birch und Peter Swinnerton-Dyer stellten Vermutungen über elliptische Kurven an. Danach hängen Struktur und Anzahl der Menge ihrer rationalen Lösungen mit dem Verh alten der L-Funktion an der Identität zusammen. Die derzeit unbewiesene Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung hängt von der Beschreibung algebraischer Gleichungen dritten Grades ab und ist die einzige relativ einfache allgemeine Methode, um den Rang elliptischer Kurven zu berechnen.
Um die praktische Bedeutung dieser Aufgabe zu verstehen, genügt es zu sagen, dass in der modernen Kryptografie eine ganze Klasse von asymmetrischen Systemen auf elliptischen Kurven basiert und nationale digitale Signaturstandards auf ihrer Anwendung basieren.
Gleichheit der Klassen p und np
Wenn der Rest der Millennium-Herausforderungen rein mathematisch ist, dann ist dies der FallBeziehung zur eigentlichen Theorie der Algorithmen. Das Problem der Gleichheit der Klassen p und np, auch Cooke-Levin-Problem genannt, lässt sich in verständlicher Sprache wie folgt formulieren. Angenommen, eine positive Antwort auf eine bestimmte Frage kann schnell genug überprüft werden, d. h. in polynomieller Zeit (PT). Ist dann die Aussage richtig, dass die Antwort darauf recht schnell zu finden ist? Noch einfacher klingt dieses Problem so: Ist es wirklich nicht schwieriger, die Lösung des Problems zu überprüfen, als sie zu finden? Wird jemals die Gleichheit der Klassen p und np bewiesen, so sind alle Auswahlprobleme für PV lösbar. Derzeit bezweifeln viele Experten den Wahrheitsgeh alt dieser Aussage, obwohl sie das Gegenteil nicht beweisen können.
Riemann-Hypothese
Bis 1859 wurde kein Muster gefunden, das beschreiben würde, wie Primzahlen unter natürlichen Zahlen verteilt sind. Vielleicht lag das daran, dass sich die Wissenschaft mit anderen Themen beschäftigte. Mitte des 19. Jahrhunderts hatte sich die Situation jedoch geändert, und sie wurden zu einem der wichtigsten Themen, mit denen sich die Mathematik zu beschäftigen begann.
Die Riemann-Hypothese, die in dieser Zeit auftauchte, ist die Annahme, dass es ein bestimmtes Muster in der Verteilung von Primzahlen gibt.
Heute glauben viele moderne Wissenschaftler, dass es notwendig sein wird, viele der Grundprinzipien der modernen Kryptografie, die die Grundlage eines wesentlichen Teils der Mechanismen des elektronischen Handels bilden, zu überarbeiten, wenn es bewiesen ist.
Nach der Riemann-Hypothese das Zeichendie Verteilung der Primzahlen kann sich erheblich von dem unterscheiden, was derzeit angenommen wird. Tatsache ist, dass bisher kein System in der Verteilung von Primzahlen entdeckt wurde. Zum Beispiel gibt es das Problem der "Zwillinge", deren Differenz 2 ist. Diese Zahlen sind 11 und 13, 29. Andere Primzahlen bilden Cluster. Das sind 101, 103, 107 usw. Wissenschaftler haben lange vermutet, dass solche Cluster unter sehr großen Primzahlen existieren. Wenn sie gefunden werden, wird die Stärke moderner Kryptoschlüssel in Frage gestellt.
Hodge-Zyklus-Hypothese
Dieses noch immer ungelöste Problem wurde 1941 formuliert. Hodges Hypothese legt die Möglichkeit nahe, die Form eines beliebigen Objekts anzunähern, indem einfache Körper höherer Dimensionen "zusammengeklebt" werden. Diese Methode ist seit langem bekannt und wird erfolgreich eingesetzt. Es ist jedoch nicht bekannt, inwieweit Vereinfachungen vorgenommen werden können.
Nun weißt du, welche unlösbaren Probleme es derzeit gibt. Sie sind Gegenstand der Forschung von Tausenden von Wissenschaftlern auf der ganzen Welt. Es bleibt zu hoffen, dass sie in naher Zukunft gelöst werden und ihre praktische Anwendung der Menschheit helfen wird, in eine neue Runde der technologischen Entwicklung einzutreten.
