Macht ist eines der wichtigsten Konzepte in der Physik. Es bewirkt eine Zustandsänderung beliebiger Objekte. In diesem Artikel werden wir uns überlegen, was dieser Wert ist, welche Kräfte es gibt, und auch zeigen, wie man die Projektion der Kraft auf die Achse und auf die Ebene findet.
Macht und ihre physikalische Bedeutung
In der Physik ist Kraft eine vektorielle Größe, die die Änderung des Impulses eines Körpers pro Zeiteinheit angibt. Diese Definition betrachtet Kraft als eine dynamische Eigenschaft. Aus Sicht der Statik ist Kraft in der Physik ein Maß für die elastische oder plastische Verformung von Körpern.
Das internationale SI-System drückt die Kraft in Newton (N) aus. Was 1 Newton ist, lässt sich am einfachsten am Beispiel des zweiten Hauptsatzes der klassischen Mechanik verstehen. Seine mathematische Schreibweise lautet wie folgt:
F¯=ma¯
Hier ist F¯ eine äußere Kraft, die auf einen Körper der Masse m wirkt und zu einer Beschleunigung a¯ führt. Die quantitative Definition eines Newtons folgt aus der Formel: 1 N ist eine solche Kraft, die zu einer Geschwindigkeitsänderung eines Körpers mit einer Masse von 1 kg um 1 m/s pro Sekunde führt.
Beispiele für dynamischeKrafterscheinungen sind die Beschleunigung eines Autos oder eines frei fallenden Körpers im Gravitationsfeld der Erde.
Die statische Kraftäußerung ist, wie erwähnt, mit Verformungsphänomenen verbunden. Hier sollten folgende Formeln angegeben werden:
F=PS
F=-kx
Der erste Ausdruck bezieht die Kraft F auf den Druck P, den sie auf eine Fläche S ausübt. Durch diese Formel kann 1 N als ein Druck von 1 Pascal definiert werden, der auf eine Fläche von 1 m ausgeübt wird 2. Beispielsweise drückt eine atmosphärische Luftsäule auf Meereshöhe auf eine Fläche von 1 m2 mit einer Kraft von 105N!
Der zweite Ausdruck ist die klassische Form des Hookeschen Gesetzes. Beispielsweise führt das Dehnen oder Stauchen einer Feder um einen linearen Wert x zum Auftreten einer Gegenkraft F (im Ausdruck ist k der Proportionalitätsfaktor).
Welche Kräfte gibt es
Es wurde bereits oben gezeigt, dass Kräfte statisch und dynamisch sein können. Hier sagen wir, dass sie zusätzlich zu diesem Merkmal Kontakt- oder Fernkampfkräfte sein können. Beispielsweise Reibungskraft, Auflagerreaktionen sind Kontaktkräfte. Der Grund für ihr Erscheinen ist die Gültigkeit des Pauli-Prinzips. Letztere besagt, dass zwei Elektronen nicht denselben Zustand einnehmen können. Deshalb führt die Berührung zweier Atome zu ihrer Abstoßung.
Fernkräfte entstehen als Ergebnis der Wechselwirkung von Körpern durch ein bestimmtes Trägerfeld. Dies sind beispielsweise die Schwerkraft oder die elektromagnetische Wechselwirkung. Beide Kräfte haben eine unendliche Reichweite,ihre Intensität nimmt jedoch mit dem Quadrat der Entfernung ab (Coulombsche Gesetze und Gravitation).
Macht ist eine Vektorgröße
Nachdem wir uns mit der Bedeutung der betrachteten physikalischen Größe befasst haben, können wir mit der Untersuchung des Problems der Kraftprojektion auf die Achse fortfahren. Zunächst stellen wir fest, dass diese Größe ein Vektor ist, dh sie ist durch einen Modul und eine Richtung gekennzeichnet. Wir zeigen, wie man den Kraftmodul und seine Richtung berechnet.
Es ist bekannt, dass jeder Vektor in einem bestimmten Koordinatensystem eindeutig definiert werden kann, wenn die Werte der Koordinaten seines Anfangs und Endes bekannt sind. Nehmen Sie an, dass es ein gerichtetes Segment MN¯ gibt. Dann können Richtung und Modul mit folgenden Ausdrücken bestimmt werden:
MN¯=(x2-x1; y2-y 1; z2-z1);
|MN¯|=√((x2-x1)2+ (y2 -y1)2+ (z2-z1 )2).
Hier entsprechen Koordinaten mit dem Index 2 dem Punkt N, die mit dem Index 1 dem Punkt M. Der Vektor MN¯ ist von M nach N gerichtet.
Der Allgemeinheit halber haben wir gezeigt, wie man den Betrag und die Koordinaten (Richtung) eines Vektors im dreidimensionalen Raum findet. Ähnliche Formeln ohne die dritte Koordinate gelten für den Fall in der Ebene.
Der Kraftmodul ist also sein absoluter Wert, ausgedrückt in Newton. Aus geometrischer Sicht ist der Modul die Länge des gerichteten Segments.
Worauf wird die Kraft projiziert?Achse?
Von Projektionen gerichteter Strecken auf Koordinatenachsen und -ebenen spricht man am bequemsten, wenn man den entsprechenden Vektor zunächst in den Ursprung, also in den Punkt (0; 0; 0) setzt. Angenommen, wir haben einen Kraftvektor F¯. Setzen wir seinen Anfang auf den Punkt (0; 0; 0), dann können die Koordinaten des Vektors wie folgt geschrieben werden:
F¯=((x1- 0); (y1- 0); (z1 - 0))=(x1; y1; z1).
Vektor F¯ zeigt die Richtung der Kraft im Raum im gegebenen Koordinatensystem. Lassen Sie uns nun senkrechte Segmente vom Ende von F¯ zu jeder der Achsen zeichnen. Der Abstand vom Schnittpunkt der Senkrechten mit der entsprechenden Achse zum Ursprung wird als Projektion der Kraft auf die Achse bezeichnet. Es ist nicht schwer zu erraten, dass im Fall der Kraft F¯ ihre Projektionen auf die x-, y- und z-Achse x1, y1sindund z 1. Beachten Sie, dass diese Koordinaten die Module der Kraftprojektionen (die Länge der Segmente) darstellen.
Winkel zwischen der Kraft und ihren Projektionen auf die Koordinatenachsen
Die Berechnung dieser Winkel ist nicht schwierig. Zur Lösung sind lediglich Kenntnisse über die Eigenschaften trigonometrischer Funktionen und die Fähigkeit zur Anwendung des Satzes des Pythagoras erforderlich.
Lasst uns zum Beispiel den Winkel zwischen der Kraftrichtung und ihrer Projektion auf die x-Achse definieren. Das entsprechende rechtwinklige Dreieck wird durch die Hypotenuse (Vektor F¯) und das Bein (Segment x1) gebildet. Der zweite Schenkel ist der Abstand vom Ende des Vektors F¯ zur x-Achse. Der Winkel α zwischen F¯ und der x-Achse errechnet sich nach der Formel:
α=arccos(|x1|/|F¯|)=arccos(x1/√(x 12+y12+z1 2)).
Wie Sie sehen können, ist es zur Bestimmung des Winkels zwischen der Achse und dem Vektor notwendig und ausreichend, die Koordinaten des Endes der gerichteten Strecke zu kennen.
Für Winkel mit anderen Achsen (y und z) können Sie ähnliche Ausdrücke schreiben:
β=arccos(|y1|/|F¯|)=arccos(y1/√(x 12+y12+z 12));
γ=arccos(|z1|/|F¯|)=arccos(z1/√(x 12+y12+z 12)).
Beachten Sie, dass es in allen Formeln Module in den Zählern gibt, wodurch das Auftreten von stumpfen Ecken eliminiert wird. Zwischen der Kraft und ihren axialen Projektionen sind die Winkel immer kleiner oder gleich 90o.
Kraft und ihre Projektionen auf die Koordinatenebene
Die Definition der Kraftprojektion auf die Ebene ist die gleiche wie bei der Achse, nur sollte in diesem Fall das Lot nicht auf die Achse, sondern auf die Ebene abgesenkt werden.
Bei einem räumlichen rechtwinkligen Koordinatensystem haben wir drei senkrecht zueinander stehende Ebenen xy (horizontal), yz (frontal vertikal), xz (seitlich vertikal). Die Schnittpunkte der Senkrechten, die vom Ende des Vektors auf die benannten Ebenen fallen, sind:
(x1; y1; 0) für xy;
(x1; 0; z1) für xz;
(0; y1; z1) für zy.
Wenn jeder der markierten Punkte mit dem Ursprung verbunden ist, dann erh alten wir die Projektion der Kraft F¯ auf die entsprechende Ebene. Was ist der Kraftmodul, wissen wir. Um den Modul jeder Projektion zu finden, müssen Sie den Satz des Pythagoras anwenden. Lassen Sie uns die Projektionen auf die Ebene als Fxy, Fxz und Fzy bezeichnen. Dann gelten die Gleichheiten für ihre Module:
Fxy=√(x12+y1 2);
Fxz=√(x12+ z1 2);
Fzy=√(y12+ z1 2).
Winkel zwischen Projektionen auf die Ebene und Kraftvektor
Im obigen Absatz wurden Formeln für die Projektionsmodule auf die Ebene des betrachteten Vektors F¯ angegeben. Diese Projektionen bilden zusammen mit der Strecke F¯ und dem Abstand von ihrem Ende zur Ebene rechtwinklige Dreiecke. Daher können Sie, wie bei Projektionen auf die Achse, die Definition trigonometrischer Funktionen verwenden, um die betreffenden Winkel zu berechnen. Sie können die folgenden Gleichheiten schreiben:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(√(x12 +y12) /√(x12 +y12+z12));
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(√(x12 +z12)/√(x12 +y12+z12));
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(√(y12+z12)/√(x12+y12 +z12)).
Es ist wichtig zu verstehen, dass der Winkel zwischen der Richtung der Kraft F¯ und ihrer entsprechenden Projektion auf die Ebene gleich dem Winkel zwischen F¯ und dieser Ebene ist. Betrachtet man dieses Problem aus geometrischer Sicht, so kann man sagen, dass die gerichtete Strecke F¯ gegenüber den Ebenen xy, xz und zy geneigt ist.
Wo werden Kraftprojektionen verwendet?
Die obigen Formeln für Kraftprojektionen auf die Koordinatenachsen und auf die Ebene sind nicht nur von theoretischem Interesse. Sie werden oft zur Lösung körperlicher Probleme eingesetzt. Der eigentliche Prozess des Findens von Projektionen wird als Zerlegung der Kraft in ihre Komponenten bezeichnet. Letztere sind Vektoren, deren Summe den ursprünglichen Kraftvektor ergeben soll. Im allgemeinen ist es möglich, die Kraft in beliebige Komponenten zu zerlegen, zur Lösung von Problemen ist es jedoch zweckmäßig, Projektionen auf senkrechte Achsen und Ebenen zu verwenden.
Probleme, bei denen das Konzept der Kraftprojektionen angewendet wird, können sehr unterschiedlich sein. Beispielsweise geht das zweite Newtonsche Gesetz davon aus, dass die auf den Körper wirkende äußere Kraft F¯ genauso gerichtet sein muss wie der Geschwindigkeitsvektor v¯. Unterscheiden sich ihre Richtungen um einen Winkel, dann sollte man, damit die Gleichheit gültig bleibt, nicht die Kraft F¯ selbst, sondern ihre Projektion auf die Richtung v¯ einsetzen.
Als nächstes geben wir ein paar Beispiele, in denen wir zeigen, wie man die Aufnahme verwendetFormeln.
Die Aufgabe, Kraftprojektionen in der Ebene und auf den Koordinatenachsen zu bestimmen
Angenommen, es gibt eine Kraft F¯, die durch einen Vektor mit den folgenden End- und Startkoordinaten dargestellt wird:
(2; 0; 1);
(-1; 4; -1).
Es ist notwendig, den Kraftmodul sowie alle seine Projektionen auf die Koordinatenachsen und -ebenen und die Winkel zwischen F¯ und jeder seiner Projektionen zu bestimmen.
Beginnen wir mit der Lösung des Problems, indem wir die Koordinaten des Vektors F¯ berechnen. Wir haben:
F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).
Dann ist der Kraftmodul:
|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.
Projektionen auf die Koordinatenachsen sind gleich den entsprechenden Koordinaten des Vektors F¯. Lassen Sie uns die Winkel zwischen ihnen und der F¯-Richtung berechnen. Wir haben:
α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14o;
β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03o;
γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20o.
Da die Koordinaten des Vektors F¯ bekannt sind, ist es möglich, die Moduln der Kraftprojektionen auf die Koordinatenebene zu berechnen. Unter Verwendung der obigen Formeln erh alten wir:
Fxy=√(9 +16)=5 N;
Fxz=√(9 + 4)=3, 606 N;
Fzy=√(16 + 4)=4, 472 N.
Schließlich müssen noch die Winkel zwischen den gefundenen Projektionen auf die Ebene und dem Kraftvektor berechnet werden. Wir haben:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8o;
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0o;
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9o.
Der Vektor F¯ liegt also der xy-Koordinatenebene am nächsten.
Problem mit einem Gleitbalken auf einer schiefen Ebene
Nun wollen wir ein physikalisches Problem lösen, bei dem es notwendig sein wird, das Konzept der Kraftprojektion anzuwenden. Gegeben sei eine hölzerne schiefe Ebene. Der Neigungswinkel zum Horizont beträgt 45o. Im Flugzeug befindet sich ein Holzklotz mit einer Masse von 3 kg. Es muss bestimmt werden, mit welcher Beschleunigung sich dieser Stab in der Ebene nach unten bewegt, wenn bekannt ist, dass der Gleitreibungskoeffizient 0,7 beträgt.
Lassen Sie uns zuerst die Bewegungsgleichung des Körpers aufstellen. Da nur zwei Kräfte darauf wirken (die Projektion der Schwerkraft auf eine Ebene und die Reibungskraft), nimmt die Gleichung die Form an:
Fg- Ff=ma=>
a=(Fg- Ff)/m.
Hier ist Fg, Ff die Projektion von Gravitation bzw. Reibung. Das heißt, die Aufgabe reduziert sich auf die Berechnung ihrer Werte.
Da der Neigungswinkel der Ebene zum Horizont 45o beträgt, lässt sich leicht zeigen, dass die Projektion der Schwerkraft Fg istentlang der Oberfläche der Ebene ist gleich:
Fg=mgsin(45o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.
Diese Kraftprojektion will verunsichernHolzklotz und gib ihm Beschleunigung.
Gleitreibungskraft ist per Definition:
Ff=ΜN
Wobei Μ=0, 7 (siehe Problembedingung). Die Reaktionskraft der Stütze N ist gleich der Projektion der Schwerkraft auf die senkrecht zur schiefen Ebene stehende Achse, also:
N=mgcos(45o)
Dann ist die Reibungskraft:
Ff=Μmgcos(45o)=0, 739, 81/√2 ≈ 14, 57 N.
Setze die gefundenen Kräfte in die Bewegungsgleichung ein, wir erh alten:
a=(Fg- Ff)/m=(20,81 - 14,57)/3=2,08 m/ c2.
Daher bewegt sich der Block die schiefe Ebene hinunter und erhöht seine Geschwindigkeit jede Sekunde um 2,08 m/s.
