Eine der Figuren, die beim Lösen geometrischer Probleme im Raum entstehen, ist ein Kegel. Es gehört im Gegensatz zu Polyedern zur Klasse der Rotationsfiguren. Lassen Sie uns im Artikel betrachten, was damit in der Geometrie gemeint ist, und die Eigenschaften verschiedener Abschnitte des Kegels untersuchen.
Kegel in Geometrie
Angenommen, es gibt eine Kurve in der Ebene. Es kann eine Parabel, ein Kreis, eine Ellipse usw. sein. Nehmen Sie einen Punkt, der nicht zur angegebenen Ebene gehört, und verbinden Sie alle Punkte der Kurve damit. Die resultierende Fläche wird Kegel oder einfach Kegel genannt.
Wenn die ursprüngliche Kurve geschlossen ist, dann kann die Kegelfläche mit Materie gefüllt werden. Die so erh altene Figur ist ein dreidimensionaler Körper. Er wird auch Kegel genannt. Unten sind mehrere Papierkegel abgebildet.
Die Kegelfläche findet man im Alltag. Zum Beispiel hat eine Eiswaffel oder ein gestreifter Verkehrskegel diese Form, die die Aufmerksamkeit von Autofahrern auf sich ziehen sollFußgänger.
Zapfenarten
Wie Sie sich vorstellen können, unterscheiden sich die betrachteten Figuren durch die Art der Kurve, auf der sie gebildet werden. Beispielsweise gibt es einen runden Kegel oder einen elliptischen. Diese Kurve wird als Basis der Figur bezeichnet. Die Form der Basis ist jedoch nicht das einzige Merkmal, das die Klassifizierung von Zapfen ermöglicht.
Das zweite wichtige Merkmal ist die Lage der Höhe relativ zur Basis. Die Höhe eines Kegels ist ein gerades Liniensegment, das von der Oberseite der Figur auf die Ebene der Basis abgesenkt ist und senkrecht zu dieser Ebene steht. Wenn die Höhe die Basis im geometrischen Zentrum schneidet (z. B. in der Mitte des Kreises), ist der Kegel gerade. Wenn das senkrechte Segment auf einen anderen Punkt der Basis oder darüber hinaus fällt, ist die Figur gerade schräg.
Im weiteren Verlauf des Artikels betrachten wir nur noch einen runden geraden Kegel als hellen Vertreter der betrachteten Figurenklasse.
Geometrische Namen von Kegelelementen
Oben wurde gesagt, dass der Kegel eine Basis hat. Es wird von einem Kreis begrenzt, der als Kegelführung bezeichnet wird. Die Segmente, die die Führung mit einem Punkt verbinden, der nicht in der Ebene der Basis liegt, werden Generatoren genannt. Die Menge aller Punkte der Generatoren wird als Kegel- oder Mantelfläche der Figur bezeichnet. Bei einem runden rechten Kegel haben alle Generatoren die gleiche Länge.
Der Punkt, an dem sich die Generatoren schneiden, wird als oberer Teil der Abbildung bezeichnet. Im Gegensatz zu Polyedern hat ein Kegel einen einzigen Scheitelpunkt und keineKante.
Eine gerade Linie, die durch die Oberseite der Figur und den Mittelpunkt des Kreises verläuft, wird als Achse bezeichnet. Die Achse enthält die Höhe eines geraden Kegels, bildet also mit der Grundfläche einen rechten Winkel. Diese Information ist wichtig für die Berechnung der Fläche des Axialschnitts des Kegels.
Runder gerader Kegel - Rotationsfigur
Der betrachtete Kegel ist eine ziemlich symmetrische Figur, die man durch Drehung des Dreiecks erhält. Angenommen, wir haben ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Um einen Kegel zu erh alten, reicht es aus, dieses Dreieck um eines der Beine zu drehen, wie in der Abbildung unten gezeigt.
Man sieht, dass die Rotationsachse die Achse des Kegels ist. Eines der Beine entspricht der Höhe der Figur, und das zweite Bein wird zum Radius der Basis. Die Hypotenuse eines Dreiecks als Ergebnis der Drehung beschreibt eine Kegelfläche. Es wird die Erzeugende des Kegels sein.
Diese Methode zum Erh alten eines runden geraden Kegels ist praktisch, um die mathematische Beziehung zwischen den linearen Parametern der Figur zu untersuchen: der Höhe h, dem Radius der runden Basis r und der Führung g. Die entsprechende Formel folgt aus den Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks. Es ist unten aufgeführt:
g2=h2+ r2.
Da wir eine Gleichung und drei Variablen haben, bedeutet dies, dass Sie zwei beliebige Größen kennen müssen, um die Parameter eines runden Kegels eindeutig festzulegen.
Schnitte eines Kegels durch eine Ebene, die die Spitze der Figur nicht enthält
Die Frage der Konstruktion von Abschnitten einer Figur ist es nichttrivial. Tatsache ist, dass die Form des Kegelschnitts durch die Oberfläche von der relativen Position der Figur und der Sekante abhängt.
Angenommen, wir schneiden den Kegel mit einer Ebene. Was wird das Ergebnis dieser geometrischen Operation sein? Schnittformoptionen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.
Der rosa Bereich ist ein Kreis. Es entsteht durch den Schnittpunkt der Figur mit einer Ebene, die parallel zur Kegelbasis verläuft. Dies sind Schnitte senkrecht zur Figurenachse. Die über der Schnittebene gebildete Figur ist ein Kegel ähnlich dem Original, aber mit einem kleineren Kreis an der Basis.
Der grüne Abschnitt ist eine Ellipse. Sie wird erh alten, wenn die Schnittebene nicht parallel zur Grundfläche verläuft, sondern nur die Mantelfläche des Kegels schneidet. Eine oberhalb der Ebene abgeschnittene Figur wird als elliptischer schiefer Kegel bezeichnet.
Die blauen und orangefarbenen Abschnitte sind parabolisch bzw. hyperbolisch. Wie Sie der Abbildung entnehmen können, erhält man sie, wenn die Schnittebene gleichzeitig die Seitenfläche und die Grundfläche der Abbildung schneidet.
Um die Flächen der betrachteten Kegelschnitte zu bestimmen, müssen die Formeln für die entsprechende Figur in der Ebene verwendet werden. Für einen Kreis ist dies beispielsweise die Zahl Pi multipliziert mit dem Quadrat des Radius, und für eine Ellipse ist dies das Produkt von Pi und der Länge der kleinen und großen Halbachse:
Kreis: S=pir2;
Ellipse: S=piab.
Abschnitte, die die Spitze des Kegels enth alten
Betrachten Sie nun die Optionen für Schnitte, die entstehen, wenn die Schnittebene istdurch die Spitze des Kegels gehen. Drei Fälle sind möglich:
- Der Abschnitt ist ein einzelner Punkt. Zum Beispiel ergibt eine Ebene, die durch den Scheitel und parallel zur Basis verläuft, genau einen solchen Schnitt.
- Der Abschnitt ist eine gerade Linie. Diese Situation tritt auf, wenn die Ebene eine Kegelfläche berührt. Die Schnittgerade ist in diesem Fall die Erzeugende des Kegels.
- Axialschnitt. Es wird gebildet, wenn die Ebene nicht nur die Oberseite der Figur, sondern auch ihre gesamte Achse enthält. In diesem Fall steht die Ebene senkrecht zur runden Basis und teilt den Kegel in zwei gleiche Teile.
Offensichtlich sind die Flächen der ersten beiden Abschnittsarten gleich Null. Was die Querschnittsfläche des Kegels für den 3. Typ betrifft, wird dieses Problem im nächsten Absatz ausführlicher erörtert.
Axialschnitt
Oben wurde angemerkt, dass der Axialschnitt eines Kegels die Figur ist, die entsteht, wenn der Kegel von einer Ebene geschnitten wird, die durch seine Achse verläuft. Es ist leicht zu erraten, dass dieser Abschnitt die in der Abbildung unten gezeigte Figur darstellen wird.
Das ist ein gleichschenkliges Dreieck. Die Spitze des axialen Abschnitts des Kegels ist die Spitze dieses Dreiecks, das durch den Schnittpunkt identischer Seiten gebildet wird. Letztere sind gleich der Länge der Mantellinie des Kegels. Die Basis des Dreiecks ist der Durchmesser der Basis des Kegels.
Die Berechnung der Fläche des Axialschnitts eines Kegels reduziert sich auf die Ermittlung der Fläche des resultierenden Dreiecks. Sind Basisradius r und Höhe h des Kegels zunächst bekannt, so ist die Fläche S des betrachteten Schnitts:
S=hr.
DiesDer Ausdruck ist eine Folge der Anwendung der Standardformel für die Fläche eines Dreiecks (das halbe Produkt der Höhe mal der Basis).
Beachte, dass wenn die Mantellinie eines Kegels gleich dem Durchmesser seiner runden Grundfläche ist, der axiale Schnitt des Kegels ein gleichseitiges Dreieck ist.
Ein dreieckiger Querschnitt entsteht, wenn die Schnittebene senkrecht zur Basis des Kegels steht und durch dessen Achse verläuft. Jede andere Ebene, die parallel zur benannten Ebene liegt, ergibt im Schnitt eine Hyperbel. Wenn die Ebene jedoch die Spitze des Kegels enthält und seine Basis nicht durch den Durchmesser schneidet, dann ist der resultierende Schnitt ebenfalls ein gleichschenkliges Dreieck.
Das Problem der Bestimmung der linearen Parameter des Kegels
Lassen Sie uns zeigen, wie man die für die Fläche des Axialschnitts geschriebene Formel verwendet, um ein geometrisches Problem zu lösen.
Es ist bekannt, dass die Fläche des Axialschnitts des Kegels 100 cm beträgt2. Das resultierende Dreieck ist gleichseitig. Wie groß ist die Höhe des Kegels und der Radius seiner Grundfläche?
Da das Dreieck gleichseitig ist, verhält sich seine Höhe h wie folgt zur Seitenlänge a:
h=√3/2a.
Angenommen, die Seite des Dreiecks ist doppelt so groß wie der Radius der Kegelbasis, und setzen wir diesen Ausdruck in die Formel für die Querschnittsfläche ein, erh alten wir:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Dann ist die Höhe des Kegels:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Es bleibt, den Wert der Fläche durch die Bedingung des Problems zu ersetzenund erh alte die Antwort:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
In welchen Bereichen ist es wichtig, die Parameter der betrachteten Abschnitte zu kennen?
Das Studium verschiedener Arten von Kegelschnitten ist nicht nur von theoretischem Interesse, sondern hat auch praktische Anwendungen.
Zunächst ist der Bereich der Aerodynamik zu nennen, wo es mit Hilfe von Kegelschnitten möglich ist, ideale glatte Formen von Festkörpern zu erzeugen.
Zweitens sind Kegelschnitte Trajektorien, auf denen sich Weltraumobjekte in Gravitationsfeldern bewegen. Welche spezifische Art von Abschnitt die Bewegungsbahn der kosmischen Körper des Systems darstellt, wird durch das Verhältnis ihrer Massen, absoluten Geschwindigkeiten und Abstände zwischen ihnen bestimmt.
