Bei der Untersuchung von Naturphänomenen, chemischen und physikalischen Eigenschaften verschiedener Substanzen sowie der Lösung komplexer technischer Probleme hat man es oft mit Prozessen zu tun, deren charakteristisches Merkmal die Periodizität ist, dh die Tendenz, sich nach einer bestimmten Zeit zu wiederholen Zeitspanne. Um solche Zyklen in der Wissenschaft zu beschreiben und grafisch darzustellen, gibt es einen speziellen Funktionstyp - eine periodische Funktion.
Das einfachste und verständlichste Beispiel ist der Umlauf unseres Planeten um die Sonne, bei dem der sich ständig ändernde Abstand zwischen ihnen jährlichen Zyklen unterliegt. Auf die gleiche Weise kehrt die Turbinenschaufel nach einer vollen Umdrehung an ihren Platz zurück. Alle diese Prozesse können durch eine solche mathematische Größe wie eine periodische Funktion beschrieben werden. Im Großen und Ganzen ist unsere gesamte Welt zyklisch. Damit nimmt die periodische Funktion auch im menschlichen Koordinatensystem einen wichtigen Platz ein.
Der Bedarf der Mathematik an Zahlentheorie, Topologie, Differentialgleichungen und exakten geometrischen Berechnungen führte im 19. Jahrhundert zur Entstehung einer neuen Kategorie von Funktionen mit ungewöhnlichen Eigenschaften. Sie wurden zu periodischen Funktionen, die durch komplexe Transformationen an bestimmten Stellen identische Werte annehmen. Jetzt werden sie in vielen Zweigen der Mathematik und anderen Wissenschaften verwendet. Zum Beispiel beim Studium verschiedener Schwingungseffekte in der Wellenphysik.
Verschiedene mathematische Lehrbücher geben unterschiedliche Definitionen einer periodischen Funktion. Unabhängig von diesen unterschiedlichen Formulierungen sind sie jedoch alle gleichwertig, da sie dieselben Eigenschaften der Funktion beschreiben. Die einfachste und verständlichste dürfte die folgende Definition sein. Funktionen, deren numerische Indikatoren sich nicht ändern, wenn ihrem Argument eine bestimmte Zahl ungleich Null hinzugefügt wird, die sogenannte Periode der Funktion, die mit dem Buchstaben T bezeichnet wird, werden als periodisch bezeichnet. Was bedeutet das alles in der Praxis?
Zum Beispiel wird eine einfache Funktion der Form: y=f(x) periodisch, wenn X einen bestimmten Periodenwert (T) hat. Aus dieser Definition folgt, dass, wenn der Zahlenwert einer Funktion mit einer Periode (T) an einem der Punkte (x) bestimmt wird, ihr Wert auch an den Punkten x + T, x - T bekannt wird. Der wichtige Punkt Hier ist, dass, wenn T gleich Null ist, die Funktion zu einer Identität wird. Eine periodische Funktion kann unendlich viele verschiedene Perioden haben. BEIMIn den meisten Fällen gibt es unter den positiven Werten von T einen Zeitraum mit dem kleinsten numerischen Indikator. Sie wird Hauptperiode genannt. Und alle anderen Werte von T sind immer Vielfache davon. Dies ist eine weitere interessante und sehr wichtige Eigenschaft für verschiedene Wissenschaftsbereiche.
Der Graph einer periodischen Funktion hat auch mehrere Eigenschaften. Wenn beispielsweise T die Hauptperiode des Ausdrucks ist: y \u003d f (x), reicht es beim Zeichnen dieser Funktion aus, nur einen Zweig in einem der Intervalle der Periodenlänge zu zeichnen und ihn dann entlang zu verschieben die x-Achse auf die folgenden Werte: ±T, ±2T, ±3T und so weiter. Abschließend sei angemerkt, dass nicht jede periodische Funktion eine Hauptperiode hat. Ein klassisches Beispiel dafür ist die folgende Funktion des deutschen Mathematikers Dirichlet: y=d(x).
