Untersuchung der Gesetze der Translationsbewegung auf der Atwood-Maschine: Formeln und Erklärungen

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-02 17:44

Die Verwendung einfacher Mechanismen in der Physik ermöglicht es Ihnen, verschiedene natürliche Prozesse und Gesetzmäßigkeiten zu studieren. Einer dieser Mechanismen ist die Atwood-Maschine. Betrachten wir im Artikel, was es ist, wofür es verwendet wird und welche Formeln das Funktionsprinzip beschreiben.

Was ist Atwoods Maschine?

Die genannte Maschine ist ein einfacher Mechanismus, der aus zwei Gewichten besteht, die durch einen Faden (Seil) verbunden sind, der über einen festen Block geworfen wird. Bei dieser Definition sind mehrere Punkte zu beachten. Erstens sind die Massen der Lasten im Allgemeinen unterschiedlich, was dafür sorgt, dass sie unter der Einwirkung der Schwerkraft eine Beschleunigung aufweisen. Zweitens gilt der die Lasten verbindende Faden als schwerelos und nicht dehnbar. Diese Annahmen erleichtern die nachfolgenden Berechnungen der Bewegungsgleichungen erheblich. Schließlich, drittens, gilt auch der unbewegliche Block, durch den der Faden geworfen wird, als schwerelos. Außerdem wird während seiner Drehung die Reibungskraft vernachlässigt. Das folgende schematische Diagramm zeigt diese Maschine.

Atwoods Maschine wurde erfundenDer englische Physiker George Atwood Ende des 18. Jahrhunderts. Es dient dazu, die Gesetze der Translationsbewegung zu studieren, die Beschleunigung des freien Falls genau zu bestimmen und das zweite Newtonsche Gesetz experimentell zu verifizieren.

Dynamische Gleichungen

Jeder Schüler weiß, dass Körper nur beschleunigen, wenn äußere Kräfte auf sie einwirken. Diese Tatsache wurde im 17. Jahrhundert von Isaac Newton festgestellt. Der Wissenschaftler hat es in folgende mathematische Form gebracht:

F=ma.

Wo m die träge Masse des Körpers ist, ist a die Beschleunigung.

Das Studium der Gesetze der Translationsbewegung auf der Atwood-Maschine erfordert die Kenntnis der entsprechenden dynamischen Gleichungen dafür. Angenommen, die Massen zweier Gewichte seien m₁ und m₂, wobei m₁>m2_{. In diesem Fall bewegt sich das erste Gewicht unter der Schwerkraft nach unten und das zweite Gewicht unter der Spannung des Fadens nach oben.}

Überlegen wir, welche Kräfte auf die erste Ladung wirken. Es gibt zwei davon: die Schwerkraft F_{1 und die Fadenspannungskraft T. Die Kräfte sind in verschiedene Richtungen gerichtet. Unter Berücksichtigung des Vorzeichens der Beschleunigung a, mit der sich die Last bewegt, erh alten wir für sie folgende Bewegungsgleichung:}

F₁– T=m_1a.

Was die zweite Ladung betrifft, so wird sie von Kräften der gleichen Natur wie die erste beeinflusst. Da sich die zweite Last mit einer Aufwärtsbeschleunigung a bewegt, hat die dynamische Gleichung dafür die Form:

T – F₂=m_2a.

Wir haben also zwei Gleichungen geschrieben, die zwei unbekannte Größen (a und T) enth alten. Dies bedeutet, dass das System eine einzigartige Lösung hat, die später in diesem Artikel erh alten wird.

Berechnung dynamischer Gleichungen für gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Wie wir aus den obigen Gleichungen gesehen haben, bleibt die resultierende Kraft, die auf jede Last wirkt, während der gesamten Bewegung unverändert. Auch die Masse jeder Ladung ändert sich nicht. Dies bedeutet, dass die Beschleunigung a konstant sein wird. Eine solche Bewegung nennt man gleichmäßig beschleunigt.

Die Untersuchung der gleichförmig beschleunigten Bewegung auf der Atwood-Maschine soll diese Beschleunigung bestimmen. Schreiben wir das System dynamischer Gleichungen noch einmal auf:

F₁– T=m_1a;

T – F₂=m_2a.

Um den Wert der Beschleunigung a auszudrücken, addieren wir beide Gleichungen, wir erh alten:

F₁– F₂=a(m₁+ m _2)=>

a=(F₁ – F₂)/(m₁ + m 2_).

Indem wir den expliziten Wert der Schwerkraft für jede Last einsetzen, erh alten wir die endgültige Formel zur Bestimmung der Beschleunigung:

a=g(m₁– m₂)/(m₁ + m_2).

Das Verhältnis der Massendifferenz zu ihrer Summe wird als Atwood-Zahl bezeichnet. Bezeichnen Sie es mit n_{a, dann erh alten wir:}

a=n_ag.

Prüfung der Lösung dynamischer Gleichungen

Oben haben wir die Formel für die Beschleunigung des Autos definiertAtwood. Es ist nur gültig, wenn das Newtonsche Gesetz selbst gültig ist. Sie können diese Tatsache in der Praxis überprüfen, wenn Sie Laborarbeiten durchführen, um einige Größen zu messen.

Laborarbeit mit Atwoods Maschine ist ganz einfach. Das Wesentliche ist wie folgt: Sobald die Lasten, die sich auf gleicher Höhe von der Oberfläche befinden, freigegeben werden, ist es notwendig, die Bewegungszeit der Waren mit einer Stoppuhr zu erfassen und dann den Abstand zu messen, den eine der Lasten hat gerührt. Nehmen Sie an, dass die entsprechende Zeit und Entfernung t und h sind. Dann kannst du die kinematische Gleichung der gleichförmig beschleunigten Bewegung aufschreiben:

h=at2/2.

Wo Beschleunigung eindeutig bestimmt ist:

a=2h/t2.

Beachten Sie, dass zur Erhöhung der Genauigkeit der Bestimmung des Wertes von a mehrere Experimente durchgeführt werden sollten, um h_i und t_{i zu messen, wobei i die Nummer der Messung ist. Nachdem Sie die Werte a}i _{berechnet haben, sollten Sie den Mittelwert a}cp _{aus dem Ausdruck: berechnen}

a_cp=∑_i=1^ma_{i /m.}

Wobei m die Anzahl der Messungen ist.

Äquivalent zu dieser und der zuvor erh altenen Gleichheit erh alten wir folgenden Ausdruck:

a_cp=n_ag.

Wenn sich dieser Ausdruck als wahr herausstellt, gilt auch Newtons zweites Gesetz.

Schwerkraftberechnung

Oben haben wir angenommen, dass uns der Wert der Freifallbeschleunigung g bekannt ist. Allerdings mit der Atwood-Maschine, die Bestimmung der KraftSchwerkraft ist ebenfalls möglich. Dazu sollte statt der Beschleunigung a aus den Gleichungen der Dynamik der Wert g ausgedrückt werden, wir haben:

g=a/n_a.

Um g zu finden, solltest du die Translationsbeschleunigung kennen. Im obigen Absatz haben wir bereits gezeigt, wie man es experimentell aus der Kinematikgleichung findet. Setzen wir die Formel für a in die Gleichung für g ein, erh alten wir:

g=2h/(t²n_a).

Berechnung des Wertes von g, es ist einfach, die Schwerkraft zu bestimmen. Beim ersten Laden lautet der Wert beispielsweise:

F₁=2hm₁/(t²n _a).

Fadenspannung ermitteln

Die Kraft T der Fadenspannung ist einer der unbekannten Parameter des dynamischen Gleichungssystems. Schreiben wir diese Gleichungen noch einmal:

F₁– T=m_1a;

T – F₂=m_2a.

Wenn wir a in jeder Gleichheit ausdrücken und beide Ausdrücke gleichsetzen, dann erh alten wir:

(F₁– T)/m₁ =(T – F₂)/ m_2=>

T=(m₂F₁+ m₁F ₂)/(m₁ + m_2).

Durch Einsetzen der expliziten Werte der Gewichtskräfte der Lasten erh alten wir die endgültige Formel für die Fadenzugkraft T:

T=2m₁m₂g/(m₁ + m_2).

Atwoods Maschine hat mehr als nur theoretische Nützlichkeit. Der Aufzug (Aufzug) verwendet also bei seiner Arbeit ein Gegengewicht, um zu funktionierenAnheben auf die Höhe der Nutzlast. Diese Konstruktion erleichtert den Betrieb des Motors erheblich.