Um es einfach und kurz auszudrücken, der Geltungsbereich sind die Werte, die jede Funktion annehmen kann. Um dieses Thema vollständig zu untersuchen, müssen Sie die folgenden Punkte und Konzepte schrittweise zerlegen. Lassen Sie uns zunächst die Definition der Funktion und die Geschichte ihres Auftretens verstehen.
Was ist eine Funktion
Alle exakten Wissenschaften liefern uns viele Beispiele, wo die fraglichen Variablen in irgendeiner Weise voneinander abhängen. Beispielsweise wird die Dichte eines Stoffes vollständig durch seine Masse und sein Volumen bestimmt. Der Druck eines idealen Gases bei konstantem Volumen ändert sich mit der Temperatur. Diese Beispiele eint die Tatsache, dass alle Formeln Abhängigkeiten zwischen Variablen haben, die als funktional bezeichnet werden.
Eine Funktion ist ein Konzept, das die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen ausdrückt. Es hat die Form y=f(x), wobei y der Wert der Funktion ist, die von x abhängt - dem Argument. Wir können also sagen, dass y eine vom Wert von x abhängige Variable ist. Die Werte, die x zusammen annehmen kann, sinddie Domäne der gegebenen Funktion (D(y) oder D(f)), und dementsprechend bilden die Werte von y die Menge der Funktionswerte (E(f) oder E(y)). Es gibt Fälle, in denen eine Funktion durch eine Formel gegeben ist. Der Definitionsbereich besteht in diesem Fall aus dem Wert solcher Variablen, bei denen die Notation mit der Formel sinnvoll ist.
Es gibt übereinstimmende oder gleiche Merkmale. Dies sind zwei Funktionen, die gleiche Bereiche gültiger Werte haben, und die Werte der Funktion selbst sind für alle gleichen Argumente gleich.
Viele Gesetze der exakten Wissenschaften werden ähnlich benannt wie Situationen im wirklichen Leben. Es gibt auch eine so interessante Tatsache über die mathematische Funktion. Es gibt einen Satz über den Grenzwert einer Funktion, die zwischen zwei anderen mit demselben Grenzwert "eingeklemmt" ist - über zwei Polizisten. Sie erklären es so: Da zwei Polizisten einen Gefangenen zu einer Zelle zwischen ihnen führen, muss der Verbrecher dorthin gehen und hat einfach keine Wahl.
Referenz zu historischen Merkmalen
Der Funktionsbegriff wurde nicht sofort endgültig und präzise, er hat einen langen Weg des Werdens hinter sich. Erstens heißt es in Fermats Introduction and Study of Plane and Solid Places, veröffentlicht im späten 17. Jahrhundert, Folgendes:
Immer wenn es zwei Unbekannte in der Endgleichung gibt, ist Platz.
Im Allgemeinen spricht diese Arbeit von funktionaler Abhängigkeit und ihrem Materialbild (Ort=Linie).
Auch ungefähr zur gleichen Zeit untersuchte Rene Descartes die Linien anhand ihrer Gleichungen in seinem Werk "Geometry" (1637), wo wiederum die TatsacheAbhängigkeit zweier Größen voneinander.
Der Begriff „Funktion“tauchte erst Ende des 17. Jahrhunderts bei Leibniz auf, nicht aber in seiner modernen Interpretation. In seiner wissenschaftlichen Arbeit betrachtete er eine Funktion als verschiedene Segmente, die einer gekrümmten Linie zugeordnet sind.
Aber schon im 18. Jahrhundert begann man, die Funktion richtiger zu definieren. Bernoulli hat folgendes geschrieben:
Eine Funktion ist ein Wert, der sich aus einer Variablen und einer Konstanten zusammensetzt.
Eulers Gedanken waren auch nah dran:
Eine variable Größenfunktion ist ein analytischer Ausdruck, der auf irgendeine Weise aus dieser variablen Größe und Zahlen oder konstanten Größen besteht.
Wenn einige Größen so von anderen abhängen, dass sie sich selbst ändern, wenn sich die letzteren ändern, dann heißen die ersteren Funktionen der letzteren.
Funktionsgraph
Der Graph der Funktion besteht aus allen Punkten, die zu den Achsen der Koordinatenebene gehören, deren Abszissen die Werte des Arguments annehmen, und die Werte der Funktion an diesen Punkten sind Ordinaten.
Der Umfang einer Funktion steht in direktem Zusammenhang mit ihrem Graphen, denn wenn Abszissen durch den Bereich gültiger Werte ausgeschlossen sind, müssen Sie leere Punkte auf dem Graphen zeichnen oder den Graphen innerhalb bestimmter Grenzen zeichnen. Wenn zum Beispiel ein Graph der Form y=tgx genommen wird, dann wird der Wert x=pi / 2 + pin, n∉R aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen, im Falle eines Tangentengraphen müssen Sie zeichnenvertikale Linien parallel zur y-Achse (sie werden Asymptoten genannt), die durch die Punkte ±pi/2 gehen.
Jedes gründliche und sorgfältige Studium von Funktionen bildet einen großen Zweig der Mathematik, der Analysis genannt wird. In der Elementarmathematik werden auch elementare Fragen zu Funktionen berührt, beispielsweise das Erstellen eines einfachen Graphen und das Festlegen einiger grundlegender Eigenschaften einer Funktion.
Auf welche Funktion kann eingestellt werden
Funktion kann:
- eine Formel sein, zum Beispiel: y=cos x;
- gesetzt durch eine beliebige Tabelle von Paaren der Form (x; y);
- sofort eine grafische Ansicht haben, dazu müssen die Paare aus dem vorherigen Element des Formulars (x; y) auf den Koordinatenachsen angezeigt werden.
Seien Sie vorsichtig, wenn Sie einige Probleme auf hoher Ebene lösen. Fast jeder Ausdruck kann als Funktion in Bezug auf ein Argument für den Wert der Funktion y (x) betrachtet werden. Das Auffinden des Definitionsbereichs bei solchen Aufgaben kann der Schlüssel zur Lösung sein.
Wozu dient der Bereich?
Das erste, was Sie über eine Funktion wissen müssen, um sie zu studieren oder zu erstellen, ist ihr Geltungsbereich. Der Graph sollte nur die Punkte enth alten, an denen die Funktion existieren kann. Der Definitionsbereich (x) kann auch als Bereich akzeptabler Werte (abgekürzt ODZ) bezeichnet werden.
Um einen Funktionsgraphen richtig und schnell zu erstellen, müssen Sie den Definitionsbereich dieser Funktion kennen, da das Aussehen des Graphen und die Wiedergabetreue davon abhängenKonstruktion. Um beispielsweise eine Funktion y=√x zu konstruieren, müssen Sie wissen, dass x nur positive Werte annehmen kann. Daher wird es nur im ersten Koordinatenquadranten gebaut.
Definitionsumfang am Beispiel elementarer Funktionen
In ihrem Arsenal hat die Mathematik eine kleine Anzahl einfacher, definierter Funktionen. Sie haben einen begrenzten Geltungsbereich. Die Lösung dieses Problems wird keine Schwierigkeiten bereiten, selbst wenn Sie eine sogenannte komplexe Funktion vor sich haben. Es ist nur eine Kombination aus mehreren einfachen.
- Also kann die Funktion gebrochen sein, zum Beispiel: f(x)=1/x. Somit steht die Variable (unser Argument) im Nenner, und jeder weiß, dass der Nenner eines Bruchs nicht gleich 0 sein kann, daher kann das Argument jeden Wert außer 0 annehmen. Die Notation sieht folgendermaßen aus: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Wenn es einen Ausdruck mit einer Variablen im Nenner gibt, müssen Sie die Gleichung nach x lösen und die Werte ausschließen, die den Nenner auf 0 setzen. Für eine schematische Darstellung reichen 5 gut ausgewählte Punkte aus. Der Graph dieser Funktion ist eine Hyperbel mit einer vertikalen Asymptote, die durch den Punkt (0; 0) und in Kombination durch die Achsen Ox und Oy verläuft. Wenn sich das grafische Bild mit den Asymptoten schneidet, wird ein solcher Fehler als der gröbste angesehen.
- Aber was ist die Domäne der Wurzel? Der Definitionsbereich einer Funktion mit einem Wurzelausdruck (f(x)=√(2x + 5)), der eine Variable enthält, hat auch seine eigenen Nuancen (gilt nur für die Wurzel eines geraden Grades). Alsdie arithmetische Wurzel ein positiver Ausdruck oder gleich 0 ist, dann muss der Wurzelausdruck größer oder gleich 0 sein, wir lösen folgende Ungleichung: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, also der Definitionsbereich dieser Funktion: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Der Graph ist einer der um 90 Grad gedrehten Äste einer Parabel, die sich im ersten Koordinatenquadranten befindet.
- Wenn wir es mit einer logarithmischen Funktion zu tun haben, dann sollten Sie bedenken, dass es eine Einschränkung bezüglich der Basis des Logarithmus und des Ausdrucks unter dem Vorzeichen des Logarithmus gibt, in diesem Fall finden Sie den Definitionsbereich als folgt. Wir haben eine Funktion: y=loga(x + 7), wir lösen die Ungleichung: x + 7 > 0, x > -7. Dann ist der Definitionsbereich dieser Funktion D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Achte auch auf trigonometrische Funktionen der Form y=tgx und y=ctgx, da y=tgx=sinx/cos/x und y=ctgx=cosx/sinx sind, musst du also Werte ausschließen wobei der Nenner gleich Null sein kann. Wenn Sie mit den Graphen trigonometrischer Funktionen vertraut sind, ist es eine einfache Aufgabe, ihren Definitionsbereich zu verstehen.
Wie unterscheidet sich das Arbeiten mit komplexen Funktionen
Erinnere dich an ein paar Grundregeln. Wenn wir mit einer komplexen Funktion arbeiten, müssen wir nichts lösen, vereinfachen, Brüche addieren, auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren und Wurzeln ziehen. Wir müssen diese Funktion untersuchen, da verschiedene (sogar identische) Operationen den Umfang der Funktion ändern können, was zu einer falschen Antwort führt.
Zum Beispiel haben wir eine komplexe Funktion: y=(x2 - 4)/(x - 2). Wir können Zähler und Nenner des Bruchs nicht kürzen, da dies nur möglich ist, wenn x ≠ 2, und dies die Aufgabe ist, den Definitionsbereich der Funktion zu finden, also faktorisieren wir den Zähler nicht und lösen keine Ungleichungen, weil die Wert, bei dem die Funktion nicht existiert, mit bloßem Auge sichtbar. In diesem Fall kann x nicht den Wert 2 annehmen, da der Nenner nicht auf 0 gehen kann, sieht die Notation so aus: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Reziproke Funktionen
Für den Anfang ist es erwähnenswert, dass eine Funktion nur in einem Intervall von Zunahme oder Abnahme umkehrbar werden kann. Um die Umkehrfunktion zu finden, musst du x und y in der Schreibweise vertauschen und die Gleichung nach x auflösen. Definitions- und Wertdomänen werden einfach vertauscht.
Die Hauptbedingung für die Umkehrbarkeit ist ein monotones Intervall einer Funktion, wenn eine Funktion Anstiegs- und Abfallsintervalle hat, dann ist es möglich, die Umkehrfunktion eines beliebigen Intervalls (steigend oder fallend) zu bilden.
Beispielsweise ist für die Exponentialfunktion y=ex der Kehrwert die natürliche Logarithmusfunktion y=logea=lna. Für die Trigonometrie sind dies Funktionen mit dem Präfix arc-: y=sinx und y=arcsinx und so weiter. Graphen werden symmetrisch in Bezug auf einige Achsen oder Asymptoten platziert.
Schlussfolgerungen
Die Suche nach dem Bereich akzeptabler Werte läuft darauf hinaus, den Funktionsgraphen zu untersuchen (falls vorhanden). Aufnahme und Lösung des notwendigen spezifischen Systems von Ungleichungen.
Dieser Artikel hat Ihnen also geholfen zu verstehen, wozu der Geltungsbereich einer Funktion dient und wie Sie ihn finden. Wir hoffen, dass es Ihnen hilft, den Grundschulkurs gut zu verstehen.
