In der Mathematik gibt es den Begriff "Menge" sowie Beispiele für den Vergleich dieser gleichen Mengen miteinander. Die Namen der Arten des Vergleichs von Mengen sind die folgenden Wörter: Bijektion, Injektion, Surjektion. Jeder von ihnen wird unten detaillierter beschrieben.
Eine Bijektion ist… was ist das?
Eine Gruppe von Elementen des ersten Satzes wird mit der zweiten Gruppe von Elementen des zweiten Satzes in dieser Form abgeglichen: Jedes Element der ersten Gruppe wird direkt mit einem anderen Element der zweiten Gruppe abgeglichen, und dort ist keine Situation mit einem Mangel oder einer Aufzählung von Elementen irgendeiner oder aus zwei Mengengruppen.
Formulierung der Haupteigenschaften:
- Eins zu eins.
- Beim Abgleich gibt es keine zusätzlichen Elemente und die erste Eigenschaft bleibt erh alten.
- Es ist möglich, die Zuordnung umzukehren, während die allgemeine Ansicht beibeh alten wird.
- Eine Bijektion ist eine Funktion, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Bijektion aus wissenschaftlicher Sicht
Bijektive Funktionen sind genau Isomorphismen in der Kategorie "Menge und Menge von Funktionen". Bijektionen sind jedoch nicht immer Isomorphismen für komplexere Kategorien. Beispielsweise müssen in einer bestimmten Kategorie von Gruppen Morphismen Homomorphismen sein, da sie die Struktur der Gruppe bewahren müssen. Daher sind Isomorphismen Gruppenisomorphismen, die bijektive Homomorphismen sind.
Das Konzept der "Eins-zu-Eins-Korrespondenz" wird auf partielle Funktionen verallgemeinert, wo sie partielle Bijektionen genannt werden, obwohl eine partielle Bijektion eigentlich eine Injektion sein sollte. Der Grund für diese Lockerung liegt darin, dass die partielle (Eigen-)Funktion für einen Teil ihres Wirkungsbereichs nicht mehr definiert ist. Es gibt also keinen guten Grund, ihre Umkehrfunktion auf eine vollständige, d. h. überall in ihrem Bereich definierte, zu beschränken. Die Menge aller partiellen Bijektionen zu einer gegebenen Basismenge heißt symmetrische inverse Halbgruppe.
Eine andere Art, dasselbe Konzept zu definieren: Es lohnt sich zu sagen, dass eine partielle Bijektion von Mengen von A nach B eine beliebige Relation R (partielle Funktion) mit der Eigenschaft ist, dass R ein Bijektionsgraph f:A'→B ist ' wobei A' eine Teilmenge von A und B' eine Teilmenge von B ist.
Wenn sich eine partielle Bijektion in derselben Menge befindet, spricht man manchmal von einer Eins-zu-Eins-Parti altransformation. Ein Beispiel ist die Möbius-Transformation, die gerade auf der komplexen Ebene definiert wurde, nicht ihre Vervollständigung in der erweiterten komplexen Ebene.
Injektion
Eine Gruppe von Elementen des ersten Satzes wird mit der zweiten Gruppe von Elementen des zweiten Satzes in dieser Form abgeglichen: Jedes Element der ersten Gruppe wird mit einem anderen Element der zweiten abgeglichen, aber nicht alle sie werden in Paare umgewandelt. Die Anzahl der ungepaarten Elemente hängt von der unterschiedlichen Anzahl dieser Elemente in jeder der Mengen ab: Wenn eine Menge aus einunddreißig Elementen besteht und die andere sieben mehr, dann ist die Anzahl der ungepaarten Elemente sieben. Direkte Injektion in das Set. Bijektion und Injektion sind ähnlich, aber nicht mehr als ähnlich.
Surjektion
Eine Gruppe von Elementen der ersten Menge wird auf diese Weise mit der zweiten Gruppe von Elementen der zweiten Menge abgeglichen: Jedes Element einer beliebigen Gruppe bildet ein Paar, auch wenn es einen Unterschied in der Anzahl der Elemente gibt. Daraus folgt, dass sich ein Element einer Gruppe mit mehreren Elementen einer anderen Gruppe paaren kann.
Weder bijektive noch injektive noch surjektive Funktion
Dies ist eine Funktion der bijektiven und surjektiven Form, aber mit einem Rest (ungepaart)=> Injektion. Bei einer solchen Funktion besteht eindeutig ein Zusammenhang zwischen Bijektion und Surjektion, da sie diese beiden Arten von Mengenvergleichen direkt beinh altet. Die Gesamtheit aller Arten dieser Funktionen ist also nicht isoliert eine davon.
Erklärung aller möglichen Funktionen
Zum Beispiel ist der Betrachter von folgendem fasziniert. Es gibt Wettbewerbe im Bogenschießen. Jeder vonTeilnehmer will das Ziel treffen (um die Aufgabe zu erleichtern: Wo genau der Pfeil auftrifft, wird nicht berücksichtigt). Nur drei Teilnehmer und drei Ziele – das ist die erste Seite (Site) für das Turnier. In den folgenden Abschnitten bleibt die Anzahl der Bogenschützen erh alten, aber die Anzahl der Ziele wird geändert: beim zweiten - vier Ziele, beim nächsten - ebenfalls vier und beim vierten - fünf. Jeder Teilnehmer schießt auf jede Scheibe.
- Der erste Austragungsort des Turniers. Der erste Bogenschütze trifft nur ein Ziel. Der zweite trifft nur ein Ziel. Der dritte wiederholt sich nach den anderen, und alle Bogenschützen treffen unterschiedliche Ziele: diejenigen, die ihnen gegenüberstehen. Als Ergebnis traf 1 (der erste Bogenschütze) das Ziel (a), 2 - in (b), 3 - in (c). Folgende Abhängigkeit wird beobachtet: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Die Schlussfolgerung wird das Urteil sein, dass ein solcher Mengenvergleich eine Bijektion ist.
- Die zweite Plattform für das Turnier. Der erste Bogenschütze trifft nur ein Ziel. Auch der zweite trifft nur ein Ziel. Der dritte versucht es nicht wirklich und wiederholt alles nach den anderen, aber die Bedingung ist die gleiche - alle Bogenschützen treffen unterschiedliche Ziele. Aber wie bereits erwähnt, gibt es bereits vier Ziele auf der zweiten Plattform. Abhängigkeit: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - ungepaartes Element der Menge. In diesem Fall wird die Schlussfolgerung das Urteil sein, dass ein solcher Set-Vergleich eine Injektion ist.
- Der dritte Austragungsort des Turniers. Der erste Bogenschütze trifft nur ein Ziel. Der zweite trifft wieder nur ein Ziel. Der Dritte beschließt, sich zusammenzureißen und trifft die dritte und vierte Scheibe. Als Ergebnis die Abhängigkeit: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Hier wird die Schlussfolgerung das Urteil sein, dass ein solcher Mengenvergleich eine Surjektion ist.
- Die vierte Plattform für das Turnier. Mit dem ersten ist schon alles klar, er trifft nur ein Ziel, in dem für ohnehin schon langweilige Treffer bald kein Platz mehr ist. Nun übernimmt der Zweite die Rolle des noch jungen Dritten und trifft wieder nur ein Ziel, wiederholt sich nach dem Ersten. Der dritte kontrolliert sich weiterhin und hört nicht auf, seinen Pfeil auf das dritte und vierte Ziel zu richten. Der fünfte war jedoch immer noch außerhalb seiner Kontrolle. Also, Abhängigkeit: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - ungepaartes Element des Satzes von Zielen. Fazit: Ein solcher Mengenvergleich ist keine Surjektion, keine Injektion und keine Bijektion.
Jetzt ist es kein Problem, eine Bijektion, Injektion oder Surjektion zu konstruieren und Unterschiede zwischen ihnen zu finden.
