Goldbachs Problem ist eines der ältesten und am meisten gehypten Probleme in der Geschichte der Mathematik.
Diese Vermutung hat sich für alle ganzen Zahlen kleiner als 4 × 1018 als wahr erwiesen, bleibt aber trotz beträchtlicher Anstrengungen von Mathematikern unbewiesen.
Nummer
Die Goldbach-Zahl ist eine positive gerade ganze Zahl, die die Summe zweier ungerader Primzahlen ist. Eine andere Form der Goldbach-Vermutung ist, dass alle geraden ganzen Zahlen größer als vier Goldbach-Zahlen sind.
Die Trennung solcher Zahlen nennt man Goldbachsche Partition (oder Partition). Unten sind Beispiele ähnlicher Abschnitte für einige gerade Zahlen:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Entdeckung der Hypothese
Goldbach hatte einen Kollegen namens Euler, der gern zählte, komplizierte Formeln schrieb und unlösbare Theorien aufstellte. Darin ähnelten sie Goldbach. Ein ähnliches mathematisches Rätsel machte Euler schon vor Goldbach, mit dem er zusammenarbeiteteständige Korrespondenz. Dann schlug er am Rand seines Manuskripts einen zweiten Vorschlag vor, wonach eine ganze Zahl größer als 2 als Summe von drei Primzahlen geschrieben werden könnte. Er hielt 1 für eine Primzahl.
Die beiden Hypothesen sind inzwischen als ähnlich bekannt, aber das schien damals kein Problem zu sein. Die moderne Version von Goldbachs Problem besagt, dass jede ganze Zahl größer als 5 als Summe von drei Primzahlen geschrieben werden kann. Euler antwortete in einem Brief vom 30. Juni 1742 und erinnerte Goldbach an ein früheres Gespräch, das sie hatten ("… also sprechen wir über die ursprüngliche (und nicht marginale) Hypothese, die sich aus der folgenden Aussage ergibt").
Euler-Goldbach-Problem
2 und seine geraden Zahlen können als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden, was auch Goldbachs Vermutung ist. In einem Brief vom 30. Juni 1742 erklärte Euler, dass jede gerade ganze Zahl das Ergebnis der Addition zweier Primzahlen sei, was er für einen wohldefinierten Satz hält, obwohl er ihn nicht beweisen kann.
Dritte Version
Die dritte Version von Goldbachs Problem (äquivalent zu den beiden anderen Versionen) ist die Form, in der die Vermutung heute üblicherweise gegeben wird. Sie ist auch als „starke“, „gerade“oder „binäre“Goldbach-Vermutung bekannt, um sie von der schwächeren Hypothese zu unterscheiden, die heute als „schwache“, „ungerade“oder „ternäre“Goldbach-Vermutung bekannt ist. Die schwache Vermutung besagt, dass alle ungeraden Zahlen größer als 7 die Summe von drei ungeraden Primzahlen sind. Die schwache Vermutung wurde 2013 bewiesen. Die schwache Hypothese istFolge einer starken Hypothese. Die umgekehrte Folgerung und die starke Goldbach-Vermutung sind bis heute unbewiesen.
Prüfen
Für kleine Werte von n kann das Goldbach-Problem (und damit die Goldbach-Vermutung) verifiziert werden. Zum Beispiel testete Nils Pipping 1938 sorgfältig die Hypothese bis n ≦ 105. Mit dem Aufkommen der ersten Computer wurden viel mehr Werte von n berechnet.
Oliveira Silva führte eine verteilte Computersuche durch, die die Hypothese für n ≦ 4 × 1018 bestätigte (und bis zu 4 × 1017 doppelt überprüfte) ab 2013. Ein Eintrag aus dieser Suche ist, dass 3.325.581.707.333.960.528 die kleinste Zahl ist, die keinen Goldbach-Split mit einer Primzahl unter 9781 hat.
Heuristik
Die Version für die starke Form von Goldbachs Vermutung lautet wie folgt: Da die Menge mit zunehmendem n gegen unendlich geht, erwarten wir, dass jede große gerade ganze Zahl mehr als eine Darstellung als Summe zweier Primzahlen hat. Aber tatsächlich gibt es viele solcher Darstellungen. Wer hat das Goldbach-Problem gelöst? Leider immer noch niemand.
Dieses heuristische Argument ist eigentlich etwas ungenau, da es davon ausgeht, dass m statistisch unabhängig von n ist. Wenn zum Beispiel m ungerade ist, dann ist auch n - m ungerade, und wenn m gerade ist, dann ist n - m gerade, und das ist eine nicht-triviale (komplexe) Beziehung, weil abgesehen von der Zahl 2 nur ungerade Zahlen können Primzahlen sein. Wenn n durch 3 teilbar ist und m bereits eine andere Primzahl als 3 war, dann ist n - m ebenfalls wechselseitigPrimzahl mit 3, also eher eine Primzahl als eine Gesamtzahl. Hardy und Littlewood führten diese Art von Analyse sorgfältiger durch und führten 1923 als Teil ihrer berühmten einfachen Hardy-Littlewood-Tupel-Vermutung die obige Verfeinerung der gesamten Theorie durch. Aber es hat bisher nicht geholfen, das Problem zu lösen.
Starke Hypothese
Die starke Goldbach-Vermutung ist viel komplizierter als die schwache Goldbach-Vermutung. Shnirelman bewies später, dass jede natürliche Zahl größer als 1 als Summe von höchstens C Primzahlen geschrieben werden kann, wobei C eine effektiv berechenbare Konstante ist. Viele Mathematiker haben versucht, es zu lösen, Zahlen zu zählen und zu multiplizieren, komplexe Formeln anzubieten usw. Aber es gelang ihnen nie, weil die Hypothese zu kompliziert ist. Keine Formeln haben geholfen.
Aber es lohnt sich, ein wenig von der Frage des Beweises von Goldbachs Problem wegzukommen. Die Shnirelman-Konstante ist die kleinste C-Zahl mit dieser Eigenschaft. Shnirelman selbst erhielt C <800 000. Dieses Ergebnis wurde später von vielen Autoren ergänzt, wie Olivier Ramaret, der 1995 zeigte, dass jede gerade Zahl n ≧ 4 tatsächlich die Summe von höchstens sechs Primzahlen ist. Das berühmteste Ergebnis, das derzeit mit der Goldbach-Theorie von Harald Helfgott in Verbindung gebracht wird.
Weiterentwicklung
1924 übernahmen Hardy und Littlewood G. R. H. zeigte, dass die Anzahl der geraden Zahlen bis X unter Verletzung des binären Goldbach-Problems viel kleiner ist als für kleine c.
1973 Chen JingyunIch habe versucht, dieses Problem zu lösen, aber es hat nicht funktioniert. Er war auch Mathematiker, also löste er sehr gerne Rätsel und bewies Theoreme.
Zwei amerikanische Mathematiker zeigten 1975, dass es positive Konstanten c und C gibt, für die N ausreichend groß ist, insbesondere hat die Menge der geraden ganzen Zahlen die Dichte Null. All dies war nützlich für die Arbeit an der Lösung des ternären Goldbach-Problems, die in der Zukunft stattfinden wird.
1951 bewies Linnik die Existenz einer Konstanten K, so dass jede genügend große gerade Zahl das Ergebnis der Addition einer Primzahl und einer anderen Primzahl ist. Roger Heath-Brown und Jan-Christoph Schlage-Puchta fanden 2002 heraus, dass K=13 funktioniert. Das ist sehr interessant für alle, die gerne miteinander addieren, verschiedene Zahlen addieren und sehen, was passiert.
Lösung des Goldbach-Problems
Wie bei vielen bekannten Vermutungen in der Mathematik gibt es eine Reihe angeblicher Beweise für die Goldbach-Vermutung, von denen keiner von der mathematischen Gemeinschaft akzeptiert wird.
Obwohl Goldbachs Vermutung impliziert, dass jede positive ganze Zahl größer als eins als Summe von höchstens drei Primzahlen geschrieben werden kann, ist es nicht immer möglich, eine solche Summe mit einem gierigen Algorithmus zu finden, der die größtmögliche Primzahl verwendet bei jedem Schritt. Die Pillai-Folge verfolgt die Zahlen, die die meisten Primzahlen in ihren gierigen Darstellungen erfordern. Daher die Lösung des Goldbach-Problemsnoch in Frage. Trotzdem wird es früher oder später höchstwahrscheinlich gelöst werden.
Es gibt ähnliche Theorien wie Goldbachs Problem, bei denen Primzahlen durch andere spezifische Zahlenmengen, wie zum Beispiel Quadrate, ersetzt werden.
Christian Goldbach
Christian Goldbach war ein deutscher Mathematiker, der auch Jura studierte. Man erinnert sich heute an ihn wegen der Goldbach-Vermutung.
Er arbeitete sein ganzes Leben lang als Mathematiker - er liebte es, Zahlen zu addieren und neue Formeln zu erfinden. Er beherrschte auch mehrere Sprachen, in denen er sein persönliches Tagebuch führte. Diese Sprachen waren Deutsch, Französisch, Italienisch und Russisch. Einigen Quellen zufolge sprach er auch Englisch und Latein. Er war zu Lebzeiten als ziemlich bekannter Mathematiker bekannt. Auch mit Russland war Goldbach recht eng verbunden, da er viele russische Kollegen und die persönliche Gunst des Königshauses hatte.
Er arbeitete 1725 weiter an der neu eröffneten St. Petersburger Akademie der Wissenschaften als Professor für Mathematik und Historiker der Akademie. Als Peter II. 1728 Zar von Russland wurde, wurde Goldbach sein Mentor. 1742 trat er in das russische Außenministerium ein. Das heißt, er hat tatsächlich in unserem Land gearbeitet. Damals kamen viele Wissenschaftler, Schriftsteller, Philosophen und Militärs nach Russland, weil Russland damals ein Land der Möglichkeiten war wie Amerika. Viele haben hier Karriere gemacht. Und unser Held ist da keine Ausnahme.
Christian Goldbach war mehrsprachig - er schrieb ein Tagebuch auf Deutsch und Latein, seine Briefewurden in Deutsch, Latein, Französisch und Italienisch verfasst, und für offizielle Dokumente verwendete er Russisch, Deutsch und Latein.
Er starb am 20. November 1764 im Alter von 74 Jahren in Moskau. Der Tag, an dem Goldbachs Problem gelöst ist, wird ihm gebührend gedenken.
Schlussfolgerung
Goldbach war ein großer Mathematiker, der uns eines der größten Geheimnisse dieser Wissenschaft geschenkt hat. Es ist nicht bekannt, ob es jemals gelöst wird oder nicht. Wir wissen nur, dass seine vermeintliche Auflösung, wie im Fall des Satzes von Fermat, neue Perspektiven für die Mathematik eröffnen wird. Mathematiker lieben es, sie zu lösen und zu analysieren. Aus heuristischer Sicht ist es sehr interessant und kurios. Auch Mathematikstudenten lösen gerne das Goldbach-Problem. Wie sonst? Schließlich fühlen sich junge Menschen ständig von allem Hellen, Ehrgeizigen und Ungelösten angezogen, denn durch die Überwindung von Schwierigkeiten kann man sich behaupten. Hoffen wir, dass dieses Problem bald von jungen, ehrgeizigen, wissbegierigen Köpfen gelöst wird.
