Nach der Popularität der Anfrage "Satz von Fermat - ein kurzer Beweis" zu urteilen, ist dieses mathematische Problem wirklich für viele von Interesse. Dieser Satz wurde erstmals 1637 von Pierre de Fermat am Rand einer Ausgabe von Arithmetik aufgestellt, wo er behauptete, er habe eine Lösung, die zu groß sei, um auf den Rand zu passen.
Der erste erfolgreiche Beweis wurde 1995 veröffentlicht - es war der vollständige Beweis des Satzes von Fermat von Andrew Wiles. Es wurde als „erstaunlicher Fortschritt“beschrieben und führte dazu, dass Wiles 2016 den Abel-Preis erhielt. Obwohl relativ kurz beschrieben, bewies der Beweis des Satzes von Fermat auch einen Großteil des Modularitätssatzes und eröffnete neue Ansätze für zahlreiche andere Probleme und effektive Methoden zur Aufhebung der Modularität. Diese Errungenschaften haben die Mathematik 100 Jahre in die Zukunft getrieben. Der heutige Beweis des kleinen Satzes von Fermat ist es nichtist etwas Außergewöhnliches.
Das ungelöste Problem regte im 19. Jahrhundert die Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie und im 20. Jahrhundert die Suche nach einem Beweis des Modularitätssatzes an. Dies ist einer der bemerkenswertesten Sätze in der Geschichte der Mathematik, und bis zum vollständigen Teilungsbeweis von Fermats letztem Satz war er im Guinness-Buch der Rekorde als "das schwierigste mathematische Problem", eines der Merkmale davon ist das es hat die größte Anzahl erfolgloser Beweise.
Historischer Hintergrund
pythagoreische Gleichung x2 + y2=z2 hat unendlich viele positive ganzzahlige Lösungen für x, y und z. Diese Lösungen sind als pythagoräische Dreif altigkeit bekannt. Um 1637 schrieb Fermat an den Rand des Buches, dass die allgemeinere Gleichung a + b =ckeine Lösungen in natürlichen Zahlen, wenn n eine ganze Zahl größer als 2 ist. Obwohl Fermat selbst behauptete, eine Lösung für sein Problem zu haben, hinterließ er keine Details über deren Beweis. Der von seinem Schöpfer behauptete elementare Beweis des Satzes von Fermat war eher seine prahlerische Erfindung. Das Buch des großen französischen Mathematikers wurde 30 Jahre nach seinem Tod entdeckt. Diese Gleichung, Fermats letzter Satz genannt, blieb in der Mathematik dreieinhalb Jahrhunderte lang ungelöst.
Der Satz wurde schließlich zu einem der bemerkenswertesten ungelösten Probleme in der Mathematik. Versuche, dies zu beweisen, führten zu einer bedeutenden Entwicklung der Zahlentheorie, und zwar mit der PassageZeit wurde Fermats letzter Satz als ungelöstes Problem in der Mathematik bekannt.
Eine kurze Beweisgeschichte
Wenn n=4, wie von Fermat selbst bewiesen, genügt es, den Satz für Indizes n zu beweisen, die Primzahlen sind. In den nächsten zwei Jahrhunderten (1637-1839) wurde die Vermutung nur für die Primzahlen 3, 5 und 7 bewiesen, obwohl Sophie Germain einen Ansatz aktualisierte und bewies, der für die gesamte Klasse der Primzahlen g alt. Mitte des 19. Jahrhunderts erweiterte Ernst Kummer diesen und bewies den Satz für alle regulären Primzahlen, wobei unregelmäßige Primzahlen einzeln analysiert wurden. Auf der Grundlage von Kummers Arbeit und mithilfe ausgefeilter Computerforschung konnten andere Mathematiker die Lösung des Theorems erweitern, mit dem Ziel, alle Hauptexponenten bis zu vier Millionen abzudecken, aber der Beweis für alle Exponenten war immer noch nicht verfügbar (was bedeutet, dass Mathematiker wird die Lösung des Theorems normalerweise als unmöglich, extrem schwierig oder mit dem derzeitigen Wissen nicht erreichbar angesehen).
Die Arbeit von Shimura und Taniyama
Im Jahr 1955 vermuteten die japanischen Mathematiker Goro Shimura und Yutaka Taniyama, dass es eine Verbindung zwischen elliptischen Kurven und modularen Formen gibt, zwei sehr unterschiedliche Zweige der Mathematik. Zu dieser Zeit als Taniyama-Shimura-Weyl-Vermutung und (letztendlich) als Modularitätssatz bekannt, existierte er für sich allein, ohne offensichtliche Verbindung zu Fermats letztem Satz. Es selbst wurde weithin als wichtiger mathematischer Satz angesehen, aber es wurde (wie der Satz von Fermat) als unmöglich zu beweisen angesehen. DabeiGleichzeitig wurde der Beweis von Fermats letztem Satz (durch Division und Anwendung komplexer mathematischer Formeln) erst ein halbes Jahrhundert später durchgeführt.
Gerhard Frey bemerkte 1984 einen offensichtlichen Zusammenhang zwischen diesen beiden zuvor unzusammenhängenden und ungelösten Problemen. Eine vollständige Bestätigung, dass die beiden Theoreme eng miteinander verwandt sind, wurde 1986 von Ken Ribet veröffentlicht, der auf einem Teilbeweis von Jean-Pierre Serra basierte, der alle bis auf einen Teil bewies, bekannt als die "Epsilon-Hypothese". Einfach ausgedrückt zeigten diese Arbeiten von Frey, Serra und Ribe, dass, wenn der Modularitätssatz zumindest für eine semistabile Klasse elliptischer Kurven bewiesen werden könnte, früher oder später auch der Beweis des letzten Satzes von Fermat gefunden werden würde. Jede Lösung, die Fermats letztem Satz widersprechen kann, kann auch verwendet werden, um dem Modularitätssatz zu widersprechen. Wenn sich also der Modularitätssatz als wahr herausstellen sollte, dann kann es per Definition keine Lösung geben, die dem letzten Satz von Fermat widerspricht, was bedeutet, dass er bald hätte bewiesen werden müssen.
Obwohl beide Sätze schwierige Probleme in der Mathematik waren, die als unlösbar g alten, war die Arbeit der beiden Japaner der erste Vorschlag, wie Fermats letzter Satz erweitert und für alle Zahlen bewiesen werden könnte, nicht nur für einige. Wichtig für die Forscher, die das Studienthema gewählt haben, war die Tatsache, dass im Gegensatz zu Fermats letztem Theorem das Modularitätstheorem das hauptsächlich aktive Forschungsgebiet war, für dasBeweise wurden entwickelt, und nicht nur historische Kuriositäten, so dass der Zeitaufwand für ihre Arbeit aus professioneller Sicht gerechtfertigt werden konnte. Der allgemeine Konsens war jedoch, dass sich die Lösung der Taniyama-Shimura-Vermutung als unangemessen erwiesen hat.
Farm's Last Theorem: Beweis von Wiles
Nachdem der englische Mathematiker Andrew Wiles, der sich seit seiner Kindheit für Fermats letzten Satz interessiert und Erfahrung in der Arbeit mit elliptischen Kurven und angrenzenden Domänen hat, erfuhr, dass Ribet die Richtigkeit von Freys Theorie bewiesen hatte, beschloss er, zu versuchen, die Taniyama-Shimura zu beweisen Vermutung als Beweis für den letzten Satz von Fermat. 1993, sechs Jahre nachdem er sein Ziel angekündigt hatte, gelang es Wiles, während er heimlich an dem Problem der Lösung des Satzes arbeitete, eine verwandte Vermutung zu beweisen, die ihm wiederum helfen würde, Fermats letzten Satz zu beweisen. Das Dokument von Wiles war riesig in Größe und Umfang.
Ein Fehler wurde in einem Teil seiner Originalarbeit während der Peer-Review entdeckt und erforderte ein weiteres Jahr der Zusammenarbeit mit Richard Taylor, um das Theorem gemeinsam zu lösen. Infolgedessen ließ Wiles' endgültiger Beweis von Fermats letztem Satz nicht lange auf sich warten. 1995 wurde es in viel kleinerem Umfang als Wiles' frühere mathematische Arbeit veröffentlicht, was zeigt, dass er sich in seinen früheren Schlussfolgerungen über die Möglichkeit des Beweises des Theorems nicht geirrt hat. Wiles' Errungenschaft wurde in der populären Presse weit verbreitet und in Büchern und Fernsehsendungen populär gemacht. Die restlichen Teile der Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung, die nun bewiesen undbekannt als Modularitätssatz, wurden später von anderen Mathematikern bewiesen, die zwischen 1996 und 2001 auf Wiles' Arbeit aufbauten. Für seine Leistung wurde Wiles geehrt und erhielt zahlreiche Auszeichnungen, darunter den Abel-Preis 2016.
Wiles' Beweis des letzten Satzes von Fermat ist ein Spezialfall der Lösung des Modularitätssatzes für elliptische Kurven. Dies ist jedoch der bekannteste Fall einer solch umfangreichen mathematischen Operation. Neben der Lösung des Satzes von Ribe gelang dem britischen Mathematiker auch der Beweis des letzten Satzes von Fermat. Fermats letzter Satz und Modularitätssatz wurden von modernen Mathematikern fast allgemein als unbeweisbar angesehen, aber Andrew Wiles konnte der wissenschaftlichen Welt beweisen, dass sogar Experten falsch liegen können.
Wyles gab seine Entdeckung zum ersten Mal am Mittwoch, dem 23. Juni 1993, bei einer Cambridge-Vorlesung mit dem Titel "Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations" bekannt. Im September 1993 wurde jedoch festgestellt, dass seine Berechnungen einen Fehler enthielten. Ein Jahr später, am 19. September 1994, in dem, wie er es nennen würde, "wichtigsten Moment seines Arbeitslebens", stolperte Wiles über eine Offenbarung, die es ihm ermöglichte, die Lösung des Problems bis zu dem Punkt zu fixieren, an dem es die Mathematik befriedigen konnte Gemeinschaft.
Arbeitsbeschreibung
Beweis des Satzes von Fermat von Andrew Wiles verwendet viele Methoden aus der algebraischen Geometrie und der Zahlentheorie und hat viele Verzweigungen in diesenBereiche der Mathematik. Er verwendet auch die Standardkonstruktionen der modernen algebraischen Geometrie, wie die Kategorie der Schemata und die Iwasawa-Theorie, sowie andere Methoden des 20. Jahrhunderts, die Pierre de Fermat nicht zur Verfügung standen.
Die beiden Artikel mit den Beweisen sind 129 Seiten lang und wurden im Laufe von sieben Jahren geschrieben. John Coates beschrieb diese Entdeckung als eine der größten Errungenschaften der Zahlentheorie, und John Conway nannte sie die größte mathematische Errungenschaft des 20. Jahrhunderts. Um den letzten Satz von Fermat durch den Beweis des Modularitätssatzes für den Spezialfall halbstabiler elliptischer Kurven zu beweisen, entwickelte Wiles leistungsstarke Methoden zur Aufhebung der Modularität und eröffnete neue Ansätze für zahlreiche andere Probleme. Für die Lösung des letzten Satzes von Fermat wurde er zum Ritter geschlagen und erhielt weitere Auszeichnungen. Als bekannt wurde, dass Wiles den Abel-Preis gewonnen hatte, beschrieb die Norwegische Akademie der Wissenschaften seine Leistung als "einen entzückenden und elementaren Beweis für Fermats letzten Satz".
Wie es war
Einer der Leute, die Wiles Originalmanuskript mit der Lösung des Theorems durchgesehen haben, war Nick Katz. Im Zuge seiner Rezension stellte er dem Briten eine Reihe klärender Fragen, die Wiles zu dem Eingeständnis veranlassten, dass seine Arbeit eindeutig eine Lücke enth alte. In einem kritischen Teil des Beweises wurde ein Fehler gemacht, der eine Schätzung für die Ordnung einer bestimmten Gruppe lieferte: Das Euler-System, das zur Erweiterung der Kolyvagin- und Flach-Methode verwendet wurde, war unvollständig. Der Fehler machte seine Arbeit jedoch nicht nutzlos – jedes Werk von Wiles war an sich sehr bedeutsam und innovativ, wie viele andere auchEntwicklungen und Methoden, die er im Laufe seiner Arbeit geschaffen hat und die nur einen Teil des Manuskripts betrafen. Diese 1993 veröffentlichte Originalarbeit enthielt jedoch nicht wirklich einen Beweis des letzten Satzes von Fermat.
Wyles verbrachte fast ein Jahr damit, eine Lösung für das Theorem wiederzufinden, zuerst allein und dann in Zusammenarbeit mit seinem ehemaligen Schüler Richard Taylor, aber alles schien vergebens zu sein. Bis Ende 1993 waren Gerüchte in Umlauf gekommen, dass Wiles' Beweis beim Testen fehlgeschlagen war, aber wie schwerwiegend dieser Fehler war, war nicht bekannt. Mathematiker begannen, Druck auf Wiles auszuüben, die Details seiner Arbeit offenzulegen, unabhängig davon, ob sie abgeschlossen war oder nicht, damit die breitere Gemeinschaft von Mathematikern erforschen und nutzen konnte, was er erreichen konnte. Anstatt seinen Fehler schnell zu korrigieren, entdeckte Wiles nur zusätzliche schwierige Aspekte im Beweis von Fermats letztem Satz und erkannte schließlich, wie schwierig es war.
Wyles gibt an, dass er am Morgen des 19. September 1994 kurz davor war, aufzugeben und immer wieder aufzugeben, und sich fast damit abgefunden hatte, zu scheitern. Er war bereit, sein unvollendetes Werk zu veröffentlichen, damit andere darauf aufbauen und herausfinden konnten, wo er falsch lag. Der englische Mathematiker beschloss, sich eine letzte Chance zu geben und analysierte den Satz ein letztes Mal, um zu versuchen, die Hauptgründe zu verstehen, warum sein Ansatz nicht funktionierte, als ihm plötzlich klar wurde, dass der Kolyvagin-Flac-Ansatz nicht funktionieren würde, bis erwird auch Iwasawas Theorie in den Beweisprozess einbeziehen, damit sie funktioniert.
Am 6. Oktober bat Wiles drei Kollegen (einschließlich F altins), seine neue Arbeit zu überprüfen, und am 24. Oktober 1994 reichte er zwei Manuskripte ein – „Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem“und „Theoretical properties of the ring of some Hecke algebras , von denen Wiles gemeinsam mit Taylor schrieb und bewies, dass bestimmte Bedingungen erfüllt waren, um den korrigierten Schritt im Hauptartikel zu rechtfertigen.
Diese beiden Artikel wurden überprüft und schließlich als Volltextausgabe in den Annals of Mathematics vom Mai 1995 veröffentlicht. Andrews neue Berechnungen wurden umfassend analysiert und schließlich von der wissenschaftlichen Gemeinschaft akzeptiert. In diesen Arbeiten wurde der Modularitätssatz für semistabile elliptische Kurven aufgestellt – der letzte Schritt zum Beweis des letzten Satzes von Fermat, 358 Jahre nachdem er erstellt wurde.
Geschichte des großen Problems
Die Lösung dieses Satzes g alt viele Jahrhunderte lang als das größte Problem der Mathematik. 1816 und 1850 bot die Französische Akademie der Wissenschaften einen Preis für einen allgemeinen Beweis des letzten Satzes von Fermat an. 1857 verlieh die Akademie Kummer für seine Forschungen zu Idealzahlen 3000 Franken und eine Goldmedaille, obwohl er sich nicht um den Preis bewarb. Ein weiterer Preis wurde ihm 1883 von der Brüsseler Akademie verliehen.
Wolfskell-Preis
1908 vermachte der deutsche Industrielle und Amateurmathematiker Paul Wolfskel 100.000 Goldmark (eine für damalige Verhältnisse hohe Summe)Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, damit dieses Geld zu einem Preis für den vollständigen Beweis des letzten Satzes von Fermat wird. Am 27. Juni 1908 veröffentlichte die Akademie neun Verleihungsregeln. Diese Regeln verlangten unter anderem die Veröffentlichung des Nachweises in einer Fachzeitschrift mit Peer-Review. Der Preis sollte nur zwei Jahre nach der Veröffentlichung verliehen werden. Der Wettbewerb sollte am 13. September 2007 auslaufen – etwa ein Jahrhundert nach seinem Beginn. Am 27. Juni 1997 erhielt Wiles das Preisgeld von Wolfschel und dann weitere 50.000 US-Dollar. Im März 2016 erhielt er von der norwegischen Regierung 600.000 Euro im Rahmen des Abel-Preises für „einen erstaunlichen Beweis von Fermats letztem Satz mit Hilfe der Modularitätsvermutung für halbstabile elliptische Kurven, der eine neue Ära in der Zahlentheorie eröffnet“. Es war der Welttriumph des bescheidenen Engländers.
Vor dem Beweis von Wiles g alt der Satz von Fermat, wie bereits erwähnt, jahrhundertelang als absolut unlösbar. Dem Wolfskell-Komitee wurden zu verschiedenen Zeiten Tausende falscher Beweise vorgelegt, was einer Korrespondenz von ungefähr 3 Metern entspricht. Allein im ersten Jahr des Bestehens des Preises (1907-1908) wurden 621 Bewerbungen eingereicht, die behaupteten, das Theorem zu lösen, obwohl ihre Zahl bis in die 1970er Jahre auf etwa 3-4 Bewerbungen pro Monat zurückgegangen war. Laut F. Schlichting, dem Rezensenten von Wolfschel, basierten die meisten Beweise auf elementaren Methoden, die in Schulen gelehrt wurden, und wurden oft als "Menschen mit technischem Hintergrund, aber erfolglosen Karrieren" dargestellt. Laut dem Mathematikhistoriker Howard Aves der letzteDer Satz von Fermat hat eine Art Rekord aufgestellt - dies ist der Satz mit den meisten fehlerhaften Beweisen.
Farm's Lorbeeren gingen an die Japaner
Wie bereits erwähnt, entdeckten die japanischen Mathematiker Goro Shimura und Yutaka Taniyama um 1955 eine mögliche Verbindung zwischen zwei anscheinend völlig unterschiedlichen Zweigen der Mathematik - elliptische Kurven und modulare Formen. Der resultierende Modularitätssatz (damals als Taniyama-Shimura-Vermutung bekannt) besagt, dass jede elliptische Kurve modular ist, was bedeutet, dass sie einer eindeutigen modularen Form zugeordnet werden kann.
Die Theorie wurde zunächst als unwahrscheinlich oder höchst spekulativ abgetan, wurde aber ernster genommen, als der Zahlentheoretiker André Weil Beweise fand, die die japanischen Schlussfolgerungen stützen. Infolgedessen wurde die Hypothese oft als Taniyama-Shimura-Weil-Hypothese bezeichnet. Sie wurde Teil des Langlands-Programms, das eine Liste wichtiger Hypothesen enthält, die in Zukunft bewiesen werden müssen.
Selbst nach ernsthafter Prüfung wurde die Vermutung von modernen Mathematikern als extrem schwierig oder vielleicht als unzugänglich für Beweise erkannt. Nun wartet dieser spezielle Satz auf seinen Andrew Wiles, der mit seiner Lösung die ganze Welt überraschen könnte.
Satz von Fermat: Beweis von Perelman
Trotz des weit verbreiteten Mythos hat der russische Mathematiker Grigory Perelman trotz all seiner Genialität nichts mit dem Satz von Fermat zu tun. Was dem aber keinen Abbruch tut.zahlreiche Beiträge zur wissenschaftlichen Gemeinschaft.
