Symbolische Logik ist ein Wissenschaftszweig, der die richtigen Formen des Denkens untersucht. Sie spielt eine grundlegende Rolle in Philosophie, Mathematik und Informatik. Wie Philosophie und Mathematik hat auch die Logik ur alte Wurzeln. Die frühesten Abhandlungen über die Natur des richtigen Denkens wurden vor über 2.000 Jahren geschrieben. Einige der berühmtesten Philosophen des antiken Griechenlands schrieben vor über 2.300 Jahren über die Natur der Aufbewahrung. Etwa zur gleichen Zeit schrieben alte chinesische Denker über logische Paradoxien. Obwohl ihre Wurzeln weit zurückreichen, ist Logik immer noch ein lebendiges Studiengebiet.
Mathematische symbolische Logik
Außerdem muss man verstehen und argumentieren können, weshalb auf logische Schlussfolgerungen besonderes Augenmerk gelegt wurde, als es noch keine speziellen Geräte zur Analyse und Diagnose verschiedener Lebensbereiche gab. Die moderne symbolische Logik entstand aus dem Werk von Aristoteles (384-322 v. Chr.), dem großen griechischen Philosophen und einem der einflussreichsten Denker aller Zeiten. Weitere Erfolge warenvon dem griechischen stoischen Philosophen Chrysippus, der die Grundlagen dessen entwickelte, was wir heute Aussagenlogik nennen.
Mathematische oder symbolische Logik hat erst im 19. Jahrhundert eine aktive Entwicklung erfahren. Es erschienen die Arbeiten von Boole, de Morgan, Schroeder, in denen Wissenschaftler die Lehren von Aristoteles algebraisch umsetzten und damit die Grundlage für die Aussagenkalküle bildeten. Es folgten die Arbeiten von Frege und Preece, in denen die Konzepte von Variablen und Quantoren eingeführt wurden, die in der Logik Anwendung fanden. So entstand die Berechnung von Prädikaten - Aussagen zum Thema.
Logik implizierte den Beweis unbestreitbarer Tatsachen, wenn es keine direkte Bestätigung der Wahrheit gab. Logische Ausdrücke sollten den Gesprächspartner von der Richtigkeit überzeugen.
Logische Formeln wurden auf dem Prinzip des mathematischen Beweises aufgebaut. So überzeugten sie die Gesprächspartner von Genauigkeit und Zuverlässigkeit.
Allerdings wurden alle Formen von Argumenten in Worten geschrieben. Es gab keine formalen Mechanismen, die einen logischen Abzugskalkül erstellen würden. Die Leute begannen zu zweifeln, ob sich der Wissenschaftler hinter mathematischen Berechnungen versteckte und hinter ihnen die Absurdität seiner Vermutungen verbarg, weil jeder seine Argumente zu einem anderen Vorteil vorbringen kann.
Geburt der Sinnhaftigkeit: solide Logik in der Mathematik als Wahrheitsbeweis
Gegen Ende des 18. Jahrhunderts entwickelte sich die mathematische oder symbolische Logik zu einer Wissenschaft, die den Prozess der Untersuchung der Richtigkeit von Schlussfolgerungen beinh altete. Sie sollten ein logisches Ende und eine Verbindung haben. Aber wie war es zu beweisenoder die Forschungsdaten rechtfertigen?
Der große deutsche Philosoph und Mathematiker Gottfried Leibniz war einer der ersten, der die Notwendigkeit erkannte, logische Argumente zu formalisieren. Leibniz' Traum war es, eine universelle Formensprache der Wissenschaft zu schaffen, die alle philosophischen Auseinandersetzungen auf eine einfache Rechnung reduziert und die Argumentation in solchen Diskussionen in dieser Sprache umformt. Mathematische oder symbolische Logik tauchte in Form von Formeln auf, die Aufgaben und Lösungen in philosophischen Fragen erleichterten. Ja, und dieser Bereich der Wissenschaft gewann an Bedeutung, denn dann wurde das bedeutungslose philosophische Geschwätz dann zum Boden, auf den sich die Mathematik selbst stützt!
In unserer Zeit ist die traditionelle Logik symbolisch aristotelisch, was einfach und unprätentiös ist. Im 19. Jahrhundert wurde die Wissenschaft mit dem Mengenparadoxon konfrontiert, das zu Inkonsistenzen in diesen sehr berühmten Lösungen der logischen Folgen von Aristoteles führte. Dieses Problem musste gelöst werden, denn in der Wissenschaft darf es nicht einmal oberflächliche Fehler geben.
Lewis-Carroll-Formalität - symbolische Logik und ihre Transformationsschritte
Formale Logik ist jetzt ein Thema, das im Kurs enth alten ist. Sein Erscheinen verdankt es jedoch dem Symbolischen, dem ursprünglich Geschaffenen. Symbolische Logik ist eine Methode zur Darstellung logischer Ausdrücke unter Verwendung von Symbolen und Variablen anstelle von gewöhnlicher Sprache. Dies beseitigt die Mehrdeutigkeit, die mit gängigen Sprachen wie Russisch einhergeht, und macht die Dinge einfacher.
Es gibt viele symbolische Logiksysteme, wie zum Beispiel:
- Klassischer Satz.
- Logik erster Ordnung.
- Modal.
Symbolische Logik, wie sie von Lewis Carroll verstanden wird, müsste die wahren und falschen Aussagen in der gestellten Frage angeben. Jeder kann separate Zeichen haben oder die Verwendung bestimmter Zeichen ausschließen. Hier sind einige Beispiele für Aussagen, die die logische Kette von Schlussfolgerungen schließen:
- Alle Menschen, die mit mir identisch sind, sind Wesen, die existieren.
- Alle Helden, die mit Batman identisch sind, sind existierende Kreaturen.
- Also (da Batman und ich nie am selben Ort gesehen wurden), sind alle Menschen, die mit mir identisch sind, Helden, die mit Batman identisch sind.
Dies ist kein gültiger Formsyllogismus, aber es ist die gleiche Struktur wie die folgende:
- Alle Hunde sind Säugetiere.
- Alle Katzen sind Säugetiere.
- Deshalb sind alle Hunde Katzen.
Es sollte offensichtlich sein, dass die obige symbolische Form in der Logik nicht gültig ist. In der Logik wird Gerechtigkeit jedoch durch diesen Ausdruck definiert: Wenn die Prämisse wahr wäre, dann wäre die Schlussfolgerung wahr. Dies ist eindeutig nicht wahr. Dasselbe gilt für das Heldenbeispiel, das dieselbe Form hat. Gültigkeit gilt nur für deduktive Argumente, die ihre Schlussfolgerung mit Sicherheit beweisen sollen, da ein deduktives Argument nicht gültig sein kann. Diese "Korrekturen" werden auch in der Statistik angewendet, wenn es sich um ein Ergebnis von Datenfehlern handelt, und in der modernen symbolischen Logik wie zdie Formalität vereinfachter Daten hilft bei vielen dieser Angelegenheiten.
Induktion in der modernen Logik
Ein induktives Argument soll nur seine Schlussfolgerung mit hoher Wahrscheinlichkeit oder Widerlegung demonstrieren. Induktive Argumente sind entweder stark oder schwach.
Als induktives Argument ist das Beispiel des Superhelden Batman einfach schwach. Es ist zweifelhaft, dass Batman existiert, daher ist eine der Aussagen mit hoher Wahrscheinlichkeit bereits falsch. Obwohl Sie ihn noch nie am selben Ort wie jemand anderen gesehen haben, ist es lächerlich, diesen Ausdruck als Beweis zu nehmen. Um die Essenz der Logik zu verstehen, stellen Sie sich Folgendes vor:
- Du wurdest noch nie am selben Ort gesehen wie der Eingeborene aus Guinea.
- Es ist unwahrscheinlich, dass Sie und die guineische Person dieselbe Person sind.
- Stellen Sie sich nun vor, Sie und ein Afrikaner hätten sich noch nie am selben Ort getroffen. Es ist nicht plausibel, dass Sie und ein Afrikaner dieselbe Person sind. Aber der Guineer und der Afrikaner haben sich gekreuzt, also kann man nicht beides gleichzeitig sein. Der Nachweis, dass Sie Afrikaner oder Guineer sind, ist erheblich zurückgegangen.
Aus dieser Sicht impliziert die eigentliche Idee der symbolischen Logik keine a priori Beziehung zur Mathematik. Alles, was nötig ist, um Logik als Symbol zu erkennen, ist die umfangreiche Verwendung von Symbolen zur Darstellung logischer Operationen.
Carrolls logische Theorie: Verschränkung oder Minimalismus in der mathematischen Philosophie
Carroll hat einige ungewöhnliche Wege gelerntwas ihn zwang, ziemlich schwierige Probleme zu lösen, mit denen seine Kollegen konfrontiert waren. Dies hinderte ihn aufgrund der Komplexität der logischen Notation und Systeme, die er als Ergebnis seiner Arbeit erhielt, daran, wesentliche Fortschritte zu erzielen. Die Daseinsberechtigung von Carrolls symbolischer Logik ist das Problem der Eliminierung. Wie findet man die Schlussfolgerung, die aus einer Reihe von Prämissen bezüglich der Beziehung zwischen gegebenen Begriffen zu ziehen ist? Eliminierung von „Mittelfristen“.
Um dieses zentrale Problem der Logik zu lösen, wurden Mitte des 19. Jahrhunderts symbolische, schematische und sogar mechanische Geräte erfunden. Carrolls Methoden zur Verarbeitung solcher "logischen Sequenzen" (wie er sie nannte) lieferten jedoch nicht immer die richtige Lösung. Später veröffentlichte der Philosoph zwei Abhandlungen über Hypothesen, die in der Zeitschrift Mind: The Logical Paradox (1894) und What the Tortoise Said to Achilles (1895) ihren Niederschlag fanden.
Diese Arbeiten wurden von Logikern des 19. und 20. Jahrhunderts (Pearce, Russell, Ryle, Prior, Quine usw.) ausführlich diskutiert. Der erste Artikel wird oft als gutes Beispiel für materielle Implikationsparadoxe zitiert, während der zweite zu dem führt, was als Inferenzparadoxon bekannt ist.
Einfachheit der Symbole in der Logik
Die symbolische Sprache der Logik ist ein Ersatz für lange mehrdeutige Sätze. Praktisch, weil man auf Russisch dasselbe über verschiedene Umstände sagen kann, was zu Verwirrung führen kann, und in der Mathematik ersetzen Symbole die Identität jeder Bedeutung.
- Erstens ist die Kürze wichtig für die Effizienz. Symbolische Logik kommt ohne Zeichen und Bezeichnungen nicht aus, sonst bliebe sie nur philosophisch, ohne Anspruch auf wahre Bedeutung.
- Zweitens erleichtern Symbole das Erkennen und Formulieren logischer Wahrheiten. Die Punkte 1 und 2 ermutigen zur "algebraischen" Manipulation logischer Formeln.
- Drittens, wenn die Logik logische Wahrheiten ausdrückt, fördert die symbolische Formulierung das Studium der Struktur der Logik. Dies hängt mit dem vorherigen Punkt zusammen. Daher eignet sich die symbolische Logik für das mathematische Studium der Logik, die ein Zweig des Fachs der mathematischen Logik ist.
- Viertens ist die Verwendung von Symbolen bei der Wiederholung der Antwort ein Hilfsmittel, um die Unbestimmtheit (z. B. mehrere Bedeutungen) der gewöhnlichen Sprache zu vermeiden. Es hilft auch sicherzustellen, dass die Bedeutung eindeutig ist.
Schließlich ermöglicht die Symbolsprache der Logik die von Frege eingeführte Prädikatenrechnung. Im Laufe der Jahre wurde die symbolische Notation für den Prädikatenkalkül selbst verfeinert und effizienter gemacht, da eine gute Notation in Mathematik und Logik wichtig ist.
Aristoteles' Ontologie der Antike
Wissenschaftler interessierten sich für die Arbeit des Denkers, als sie begannen, Slinins Methoden in ihren Interpretationen zu verwenden. Das Buch stellt Theorien der klassischen und modalen Logik vor. Ein wichtiger Teil des Konzepts war die Reduktion auf CNF in der symbolischen Logik der Formel der Satzlogik. Die Abkürzung bedeutet Konjunktion oder Disjunktion von Variablen.
Slinin Ya. A. schlug vor, komplexe Negationen, die eine wiederholte Reduktion von Formeln erfordern, in eine Unterformel umzuwandeln. So wandelte er einige Werte in minimalere um und löste Probleme in einer gekürzten Version. Die Arbeit mit Negationen wurde auf de Morgans Formeln reduziert. Die Gesetze, die De Morgans Namen tragen, sind zwei verwandte Theoreme, die es ermöglichen, Aussagen und Formeln in alternative und oft bequemere umzuwandeln. Die Gesetze lauten wie folgt:
- Die Negation (oder Inkonsistenz) einer Disjunktion ist gleich der Vereinigung der Negation von Alternativen – p oder q ist ungleich p und nicht q oder symbolisch ~ (p ⊦ q) ≡ ~p ~q.
- Die Negation der Konjunktion ist gleich der Disjunktion der Negation der ursprünglichen Konjunktionen, d.h. not (p and q) ist ungleich not p oder not q, oder symbolisch ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~q.
Dank dieser anfänglichen Daten begannen viele Mathematiker, Formeln anzuwenden, um komplexe logische Probleme zu lösen. Viele wissen, dass es eine Vorlesung gibt, in der das Gebiet der Schnittmenge von Funktionen studiert wird. Und auch die Matrizeninterpretation basiert auf logischen Formeln. Was ist das Wesen der Logik im algebraischen Zusammenhang? Dies ist eine ebene lineare Funktion, wenn Sie die Wissenschaft der Zahlen und der Philosophie auf dieselbe Schüssel stellen können wie einen "seelenlosen" und nicht profitablen Bereich des Denkens. Obwohl E. Kant als Mathematiker und Philosoph anderer Meinung war. Er stellte fest, dass Philosophie nichts ist, bis das Gegenteil bewiesen ist. Und die Beweise müssen wissenschaftlich fundiert sein. Und so kam es, dass die Philosophie dank ihr an Bedeutung zu gewinnen begannÜbereinstimmung mit der wahren Natur von Zahlen und Berechnungen.
Anwendung der Logik in der Wissenschaft und der materiellen Welt der Realität
Philosophen wenden die Wissenschaft des logischen Denkens normalerweise nicht nur auf ein ehrgeiziges Post-Degree-Projekt an (normalerweise mit einem hohen Spezialisierungsgrad, wie z. B. Ergänzungen zu Sozialwissenschaften, Psychologie oder ethischer Kategorisierung). Es ist paradox, dass die philosophische Wissenschaft die Methode zur Berechnung von Wahrheit und Falschheit „geboren“hat, aber die Philosophen selbst sie nicht anwenden. Für wen werden also solch klare mathematische Syllogismen geschaffen und transformiert?
- Programmierer und Ingenieure verwendeten symbolische Logik (die sich nicht so sehr vom Original unterscheidet), um Computerprogramme zu implementieren und sogar Platinen zu entwerfen.
- Im Fall von Computern ist die Logik komplex genug geworden, um zahlreiche Funktionsaufrufe zu handhaben, sowie die Mathematik voranzubringen und mathematische Probleme zu lösen. Vieles davon basiert auf dem Wissen über mathematische Problemlösung und Wahrscheinlichkeit, kombiniert mit den logischen Regeln der Eliminierung, Erweiterung und Reduzierbarkeit.
- Computersprachen sind nicht so einfach zu verstehen, dass sie innerhalb der Grenzen mathematischer Kenntnisse logisch funktionieren und sogar spezielle Funktionen ausführen. Ein Großteil der Computersprache ist wahrscheinlich patentiert oder wird nur von Computern verstanden. Programmierer lassen Computer heute oft logische Aufgaben erledigen und sie lösen.
Im Zuge solcher Voraussetzungen gehen viele Wissenschaftler davon aus, dass fortschrittliches Material nicht um der Wissenschaft willen, sondern um der Wissenschaft willen geschaffen wirdBenutzerfreundlichkeit von Medien und Technologie. Vielleicht sickert die Logik bald in die Sphären der Ökonomie, des Geschäftslebens und sogar des „zweiseitigen“Quants, das sich sowohl wie ein Atom als auch wie eine Welle verhält.
Quantenlogik in der modernen Praxis der mathematischen Analyse
Die Quantenlogik (QL) wurde als Versuch entwickelt, eine Satzstruktur aufzubauen, die es ermöglichen würde, interessante Ereignisse in der Quantenmechanik (QM) zu beschreiben. QL ersetzte die boolesche Struktur, die nicht ausreichte, um den atomaren Bereich darzustellen, obwohl sie für den Diskurs der klassischen Physik geeignet ist.
Die mathematische Struktur einer Aussagensprache über klassische Systeme ist eine Menge von Potenzen, teilweise geordnet nach der Inklusionsmenge, mit einem Paar von Operationen, die Vereinigung und Disjunktion darstellen.
Diese Algebra steht im Einklang mit dem Diskurs sowohl klassischer als auch relativistischer Phänomene, ist jedoch inkompatibel mit einer Theorie, die es beispielsweise verbietet, gleichzeitige Wahrheitswerte anzugeben. Der Vorschlag der Gründerväter von QL entstand, um die Boolesche Struktur der klassischen Logik durch eine schwächere Struktur zu ersetzen, die die distributiven Eigenschaften von Konjunktion und Disjunktion schwächen würde.
Schwächung der etablierten symbolischen Durchdringung: braucht die Mathematik als exakte Wissenschaft wirklich Wahrheit
Während ihrer Entwicklung begann sich die Quantenlogik nicht nur auf traditionelle, sondern auch auf mehrere Bereiche der modernen Forschung zu beziehen, die versuchten, die Mechanik aus logischer Sicht zu verstehen. MehrereQuantenansätze zur Einführung verschiedener Strategien und Probleme, die in der Literatur der Quantenmechanik diskutiert werden. Wann immer möglich, werden unnötige Formeln eliminiert, um ein intuitives Verständnis der Konzepte zu ermöglichen, bevor die zugehörige Mathematik erworben oder eingeführt wird.
Eine Dauerfrage bei der Interpretation der Quantenmechanik ist, ob es grundsätzlich klassische Erklärungen für quantenmechanische Phänomene gibt. Die Quantenlogik hat eine große Rolle bei der Gest altung und Verfeinerung dieser Diskussion gespielt und uns insbesondere ermöglicht, ziemlich genau zu sagen, was wir unter klassischer Erklärung verstehen. Jetzt ist es möglich, mit Genauigkeit festzustellen, welche Theorien als zuverlässig angesehen werden können und welche die logische Schlussfolgerung mathematischer Urteile sind.
