In der heutigen Welt verwenden wir zunehmend eine Vielzahl von Autos und Geräten. Und das nicht nur dann, wenn buchstäblich unmenschliche Kräfte aufgewendet werden müssen: Lasten bewegen, in die Höhe heben, lange und tiefe Gräben ausheben usw. Autos werden heute von Robotern zusammengebaut, Lebensmittel von Multikochern zubereitet und elementare arithmetische Berechnungen von Taschenrechnern durchgeführt. Immer öfter hört man den Ausdruck „Boolesche Algebra“. Vielleicht ist es an der Zeit, die Rolle des Menschen bei der Entwicklung von Robotern und die Fähigkeit von Maschinen zu verstehen, nicht nur mathematische, sondern auch logische Probleme zu lösen.
Logik
Übersetzt aus dem Griechischen ist Logik ein geordnetes Denksystem, das Beziehungen zwischen gegebenen Bedingungen herstellt und es Ihnen ermöglicht, auf der Grundlage von Prämissen und Annahmen Schlussfolgerungen zu ziehen. Oft fragen wir uns: "Ist das logisch?" Die erh altene Antwort bestätigt unsere Annahmen oder kritisiert den Gedankengang. Aber der Prozess hört nicht auf: Wir denken weiter.
Manchmal ist die Anzahl der Bedingungen (einleitend) so groß und die Beziehungen zwischen ihnen so kompliziert und komplex, dass das menschliche Gehirn nicht in der Lage ist, alles auf einmal zu "verdauen". Es kann mehr als einen Monat (Woche, Jahr) dauern, um zu verstehen, was passiert. AberDas moderne Leben gibt uns solche Zeitintervalle nicht vor, um Entscheidungen zu treffen. Und wir greifen auf die Hilfe von Computern zurück. Und hier taucht die Algebra der Logik mit ihren eigenen Gesetzen und Eigenschaften auf. Durch das Herunterladen aller Ausgangsdaten ermöglichen wir dem Computer, alle Zusammenhänge zu erkennen, Widersprüche zu beseitigen und eine zufriedenstellende Lösung zu finden.
Mathematik und Logik
Der berühmte Gottfried Wilhelm Leibniz formulierte den Begriff der „mathematischen Logik“, dessen Problematik nur einem engen Kreis von Wissenschaftlern verständlich war. Diese Richtung erregte kein besonderes Interesse, und bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts kannten nur wenige Menschen die mathematische Logik.
Großes Interesse in der wissenschaftlichen Gemeinschaft löste einen Streit aus, in dem der Engländer George Boole seine Absicht ankündigte, einen Zweig der Mathematik zu schaffen, der keinerlei praktische Anwendung hat. Wie wir uns aus der Geschichte erinnern, entwickelte sich die industrielle Produktion zu dieser Zeit aktiv, alle Arten von Hilfsmaschinen und Werkzeugmaschinen wurden entwickelt, das heißt, alle wissenschaftlichen Entdeckungen hatten einen praktischen Fokus.
Vorausblickend nehmen wir an, dass die Boolesche Algebra der am häufigsten verwendete Teil der Mathematik in der modernen Welt ist. Also hat Bull seinen Streit verloren.
Georg Buhl
Die Persönlichkeit des Autors verdient besondere Aufmerksamkeit. Auch wenn man bedenkt, dass die Menschen in der Vergangenheit vor uns aufgewachsen sind, ist es immer noch unmöglich, nicht zu übersehen, dass J. Buhl im Alter von 16 Jahren an einer Dorfschule unterrichtete und im Alter von 20 Jahren seine eigene Schule in Lincoln eröffnete. Der Mathematiker beherrschte fünf Fremdsprachen fließend und las in seiner Freizeit WerkeNewton und Lagrange. Und das alles über den Sohn eines einfachen Arbeiters!
1839 reichte Boole seine wissenschaftlichen Arbeiten erstmals beim Cambridge Mathematical Journal ein. Der Wissenschaftler ist 24 Jahre alt. Booles Arbeit interessierte die Mitglieder der Royal Society so sehr, dass er 1844 eine Medaille für seinen Beitrag zur Entwicklung der mathematischen Analyse erhielt. Mehrere weitere veröffentlichte Arbeiten, die Elemente der mathematischen Logik beschrieben, ermöglichten es dem jungen Mathematiker, eine Professur am College of Cork anzunehmen. Denken Sie daran, dass Buhl selbst keine Ausbildung hatte.
Idee
Boolesche Algebra ist im Prinzip sehr einfach. Es gibt Aussagen (logische Ausdrücke), die aus mathematischer Sicht nur durch zwei Wörter definiert werden können: „wahr“oder „falsch“. Zum Beispiel blühen im Frühling die Bäume - stimmt, im Sommer schneit es - eine Lüge. Das Schöne an dieser Mathematik ist, dass es nicht unbedingt erforderlich ist, nur Zahlen zu verwenden. Alle Aussagen mit eindeutiger Bedeutung eignen sich gut für die Algebra der Urteile.
Daher kann die Algebra der Logik buchstäblich überall verwendet werden: beim Planen und Schreiben von Anweisungen, beim Analysieren widersprüchlicher Informationen über Ereignisse und beim Bestimmen der Abfolge von Aktionen. Das Wichtigste ist zu verstehen, dass es völlig unwichtig ist, wie wir die Wahrheit oder Falschheit der Aussage bestimmen. Dieses „Wie“und „Warum“müssen abstrahiert werden. Nur die Tatsachenbehauptung zählt: wahr-falsch.
Für die Programmierung sind natürlich die Funktionen der Algebra der Logik wichtig, die von den entsprechenden geschrieben werdenZeichen und Symbole. Und sie zu lernen bedeutet, eine neue Fremdsprache zu beherrschen. Nichts ist unmöglich.
Grundlegende Konzepte und Definitionen
Befassen wir uns, ohne in die Tiefe zu gehen, mit der Terminologie. Die boolesche Algebra nimmt also an:
- Anweisungen;
- logische Operationen;
- Funktionen und Gesetze.
Aussagen sind bejahende Ausdrücke, die nicht mehrdeutig interpretiert werden können. Sie werden als Zahlen geschrieben (5 > 3) oder in vertrauten Worten formuliert (Elefant ist das größte Säugetier). Gleichzeitig hat auch der Satz „Die Giraffe hat keinen Hals“eine Daseinsberechtigung, nur die Boolesche Algebra wird ihn als „falsch“definieren.
Alle Aussagen müssen eindeutig sein, können aber elementar und zusammengesetzt sein. Letztere verwenden logische Verknüpfungen. Das heißt, in der Algebra der Urteile werden zusammengesetzte Aussagen durch Addition von Elementaraussagen mittels logischer Operationen gebildet.
Operationen der Booleschen Algebra
Wir erinnern uns bereits, dass Operationen in der Algebra der Urteile logisch sind. So wie die Zahlenalgebra Arithmetik zum Addieren, Subtrahieren oder Vergleichen von Zahlen verwendet, ermöglichen Ihnen Elemente der mathematischen Logik, komplexe Aussagen zu machen, zu negieren oder das Endergebnis zu berechnen.
Logische Operationen zur Formalisierung und Vereinfachung werden durch uns aus der Arithmetik bekannte Formeln geschrieben. Die Eigenschaften der Booleschen Algebra ermöglichen es, Gleichungen zu schreiben und Unbekannte zu berechnen. Logische Operationen werden normalerweise unter Verwendung einer Wahrheitstabelle geschrieben. Seine SäulenDefinieren Sie die Elemente der Berechnung und die Operation, die an ihnen ausgeführt wird, und die Zeilen zeigen das Ergebnis der Berechnung.
Grundlegende logische Aktionen
Die häufigsten Operationen in der Booleschen Algebra sind Negation (NICHT) und logisches UND und ODER. Fast alle Aktionen in der Algebra der Urteile lassen sich auf diese Weise beschreiben. Lassen Sie uns jede der drei Operationen genauer untersuchen.
Negation (nicht) gilt nur für ein Element (Operand). Daher wird die Negationsoperation unär genannt. Um den Begriff „nicht A“zu schreiben, verwenden Sie die folgenden Symbole: ¬A, A¯¯¯ oder !A. In tabellarischer Form sieht das so aus:
Die Negationsfunktion ist durch folgende Aussage gekennzeichnet: Wenn A wahr ist, dann ist B falsch. Zum Beispiel dreht sich der Mond um die Erde – stimmt; Die Erde dreht sich um den Mond - falsch.
Logische Multiplikation und Addition
Das logische UND wird Konjunktionsoperation genannt. Was bedeutet das? Erstens, dass es auf zwei Operanden angewendet werden kann, d.h. Und ist eine binäre Operation. Zweitens, dass nur im Fall der Wahrheit beider Operanden (sowohl A als auch B) der Ausdruck selbst wahr ist. Das Sprichwort „Geduld und Arbeit werden alles zermalmen“legt nahe, dass nur beide Faktoren einer Person helfen, mit Schwierigkeiten fertig zu werden.
Schriftzeichen: A∧B, A⋅B oder A&&B.
Die Konjunktion ähnelt der Multiplikation in der Arithmetik. Manchmal sagen sie das - logische Multiplikation. Wenn wir die Elemente der Tabelle Zeile für Zeile multiplizieren, erh alten wir ein Ergebnis ähnlich dem logischen Denken.
Disjunktion ist eine logische ODER-Operation. Es nimmt den Wert der Wahrheitwenn mindestens eine der Aussagen wahr ist (entweder A oder B). Es wird so geschrieben: A∨B, A+B oder A||B. Die Wahrheitstabellen für diese Operationen sind:
Disjunktion ist wie arithmetische Addition. Die logische Additionsoperation hat nur eine Einschränkung: 1+1=1. Aber wir erinnern uns, dass die mathematische Logik im digitalen Format auf 0 und 1 beschränkt ist (wobei 1 wahr, 0 falsch ist). Beispielsweise bedeutet die Aussage „in einem Museum können Sie ein Meisterwerk sehen oder einen interessanten Gesprächspartner treffen“, dass Sie Kunstwerke sehen oder eine interessante Person treffen können. Gleichzeitig ist das gleichzeitige Eintreten beider Ereignisse nicht ausgeschlossen.
Funktionen und Gesetze
Wir wissen also bereits, welche logischen Operationen die boolesche Algebra verwendet. Funktionen beschreiben alle Eigenschaften von Elementen der mathematischen Logik und ermöglichen es Ihnen, komplexe zusammengesetzte Bedingungen von Problemen zu vereinfachen. Die verständlichste und einfachste Eigenschaft scheint die Ablehnung abgeleiteter Operationen zu sein. Ableitungen sind exklusives ODER, Implikation und Äquivalenz. Da wir nur die Grundoperationen studiert haben, werden wir auch nur deren Eigenschaften betrachten.
Assoziativität bedeutet, dass bei Aussagen wie "and A, and B, and C" die Reihenfolge der Operanden keine Rolle spielt. Die Formel wird so geschrieben:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Wie Sie sehen können, ist dies nicht nur charakteristisch für die Konjunktion, sondern auch für die Disjunktion.
Kommutativität besagt, dass das ErgebnisKonjunktion oder Disjunktion hängt nicht davon ab, welches Element zuerst betrachtet wurde:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Distributivität ermöglicht das Erweitern von Klammern in komplexen logischen Ausdrücken. Die Regeln sind ähnlich wie beim Öffnen von Klammern bei der Multiplikation und Addition in der Algebra:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Die Eigenschaften von Eins und Null, die einer der Operanden sein können, ähneln auch der algebraischen Multiplikation mit Null oder Eins und Addition mit Eins:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Idempotenz sagt uns, dass, wenn sich das Ergebnis einer Operation in Bezug auf zwei gleiche Operanden als ähnlich herausstellt, wir die zusätzlichen Operanden „wegwerfen“können, die den Verlauf des Denkens erschweren. Sowohl Konjunktion als auch Disjunktion sind idempotente Operationen.
B∧B=B; B∨B=B.
Absorption erlaubt uns auch, Gleichungen zu vereinfachen. Absorption besagt, dass, wenn eine andere Operation mit demselben Element auf einen Ausdruck mit einem Operanden angewendet wird, das Ergebnis der Operand der absorbierenden Operation ist.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Ablauffolge
Die Reihenfolge der Operationen ist von nicht geringer Bedeutung. Tatsächlich gibt es, was die Algebra betrifft, eine Priorität von Funktionen, die die Boolesche Algebra verwendet. Formeln können nur vereinfacht werden, wenn die Bedeutung der Operationen beachtet wird. Von den wichtigsten bis zu den niedrigsten erh alten wir die folgende Sequenz:
1. Ablehnung.
2. Konjunktion.
3. Disjunktion, exklusivODER.
4. Implikation, Äquivalenz.
Wie Sie sehen können, haben nur Verneinung und Konjunktion nicht den gleichen Vorrang. Und die Priorität von Disjunktion und XOR sind gleich, ebenso wie die Prioritäten von Implikation und Äquivalenz.
Implikations- und Äquivalenzfunktionen
Wie wir bereits gesagt haben, verwenden die mathematische Logik und die Theorie der Algorithmen zusätzlich zu den grundlegenden logischen Operationen Ableitungen. Die am häufigsten verwendeten sind Implikation und Äquivalenz.
Implikation oder logische Konsequenz ist eine Aussage, bei der eine Handlung eine Bedingung und die andere eine Folge ihrer Umsetzung ist. Mit anderen Worten, dies ist ein Satz mit Präpositionen "wenn … dann". "Wenn Sie gerne reiten, lieben Sie es, Schlitten zu tragen." Das heißt, zum Skifahren müssen Sie den Schlitten den Hügel hinauf spannen. Wenn Sie keine Lust haben, sich den Berg hinunter zu bewegen, müssen Sie den Schlitten nicht tragen. Es wird so geschrieben: A→B oder A⇒B.
Äquivalenz geht davon aus, dass die resultierende Aktion nur auftritt, wenn beide Operanden wahr sind. Zum Beispiel wird die Nacht zum Tag, wenn (und nur wenn) die Sonne über dem Horizont aufgeht. In der Sprache der mathematischen Logik schreibt man diese Aussage wie folgt: A≡B, A⇔B, A==B.
Andere Gesetze der Booleschen Algebra
Die Algebra der Urteile entwickelt sich, und viele interessierte Wissenschaftler haben neue Gesetze formuliert. Als die bekanntesten gelten die Postulate des schottischen Mathematikers O. de Morgan. Er bemerkte und definierte solche Eigenschaften wie enge Negation, Komplement und doppelte Negation.
Verneinung schließen bedeutet, dass vor der Klammer keine Verneinung steht:nicht (A oder B)=nicht A oder NICHT B.
Wenn ein Operand unabhängig von seinem Wert negiert wird, spricht man von einem Komplement:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Und schließlich kompensiert sich die doppelte Verneinung. Jene. entweder verschwindet die Negation vor dem Operanden, oder es bleibt nur eine übrig.
Wie man Tests löst
Mathematische Logik impliziert die Vereinfachung gegebener Gleichungen. Genau wie in der Algebra müssen Sie zuerst die Bedingung so einfach wie möglich machen (komplexe Eingaben und Operationen damit loswerden) und dann nach der richtigen Antwort suchen.
Was kann zur Vereinfachung getan werden? Wandeln Sie alle abgeleiteten Operationen in einfache um. Öffnen Sie dann alle Klammern (oder umgekehrt, nehmen Sie es aus den Klammern, um dieses Element zu verkürzen). Der nächste Schritt sollte sein, die Eigenschaften der Booleschen Algebra in der Praxis anzuwenden (Absorption, Eigenschaften von Null und Eins usw.).
Letztendlich sollte die Gleichung aus der minimalen Anzahl von Unbekannten bestehen, die durch einfache Operationen kombiniert werden. Der einfachste Weg, eine Lösung zu finden, besteht darin, eine große Anzahl von nahen Negativen zu erzielen. Dann erscheint die Antwort wie von selbst.
