Zahlensysteme - was ist das? Auch ohne die Antwort auf diese Frage zu kennen, verwendet jeder von uns in seinem Leben unfreiwillig Zahlensysteme und ahnt es nicht. Richtig, Plural! Das heißt, nicht einer, sondern mehrere. Bevor wir Beispiele für nicht-positionelle Zahlensysteme geben, lassen Sie uns dieses Problem verstehen und auch über Positionssysteme sprechen.
Rechnung erforderlich
Seit der Antike hatten die Menschen ein Bedürfnis nach Zählen, das heißt, sie erkannten intuitiv, dass sie irgendwie eine quantitative Vision von Dingen und Ereignissen ausdrücken mussten. Das Gehirn schlug vor, dass es notwendig sei, Gegenstände zum Zählen zu verwenden. Finger waren schon immer am bequemsten, und das ist verständlich, weil sie immer verfügbar sind (mit seltenen Ausnahmen).
So mussten die antiken Vertreter des Menschengeschlechts im wahrsten Sinne des Wortes die Finger krümmen - um zum Beispiel die Zahl der getöteten Mammuts anzuzeigen. Solche Elemente des Kontos hatten noch keine Namen, sondern nur ein visuelles Bild, einen Vergleich.
Moderne Positionsnummernsysteme
Das Zahlensystem ist eine Methode (Weg), quantitative Werte und Mengen durch bestimmte Zeichen (Symbole oder Buchstaben) darzustellen.
Es ist notwendig zu verstehen, was beim Zählen positionell und nicht-positional ist, bevor Beispiele für nicht-positionelle Zahlensysteme gegeben werden. Es gibt viele Positionsnummernsysteme. Jetzt werden in verschiedenen Wissensgebieten die folgenden verwendet: binär (enthält nur zwei signifikante Elemente: 0 und 1), hexadezimal (Anzahl der Zeichen - 6), oktal (Zeichen - 8), duodezimal (zwölf Zeichen), hexadezimal (einschließlich sechzehn Figuren). Darüber hinaus beginnt jede Reihe von Zeichen in den Systemen bei Null. Moderne Computertechnologien basieren auf der Verwendung von Binärcodes - dem binären Positionszahlensystem.
Dezimalzahlensystem
Positionalität ist das Vorhandensein von signifikanten Positionen in unterschiedlichem Ausmaß, auf denen sich die Vorzeichen der Zahl befinden. Dies lässt sich am besten am Beispiel des Dezimalzahlensystems demonstrieren. Schließlich sind wir es von Kindheit an gewohnt, es zu benutzen. Es gibt zehn Zeichen in diesem System: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nehmen Sie die Zahl 327. Sie hat drei Zeichen: 3, 2, 7. Jedes von ihnen befindet sich in eigene Position (Ort). Die Sieben nimmt die Position ein, die Einzelwerten (Einheiten) vorbeh alten ist, die Zwei - Zehner und die Drei - Hunderter. Da die Nummer dreistellig ist, hat sie also nur drei Stellen.
Basierend auf dem Obigen, diesEine dreistellige Dezimalzahl kann wie folgt beschrieben werden: drei Hunderter, zwei Zehner und sieben Einer. Außerdem wird die Bedeutung (Wichtigkeit) von Positionen von links nach rechts gezählt, von einer schwachen Position (Eins) zu einer stärkeren (Hunderter).
Wir fühlen uns im dezimalen Stellenzahlensystem sehr wohl. Wir haben zehn Finger an unseren Händen und dasselbe an unseren Füßen. Fünf plus fünf - so stellen wir uns dank der Finger leicht ein Dutzend aus der Kindheit vor. Deshalb ist es für Kinder leicht, das Einmaleins für fünf und zehn zu lernen. Und es ist auch so einfach zu lernen, wie man Banknoten zählt, die meistens Vielfache (d. h. ohne Rest geteilt) durch fünf und zehn sind.
Andere Positionszahlensysteme
Zur Überraschung vieler sollte gesagt werden, dass unser Gehirn nicht nur im dezimalen Zählsystem einige Berechnungen gewohnt ist. Bisher hat die Menschheit sechs und duodezimale Zahlensysteme verwendet. Das heißt, in einem solchen System gibt es nur sechs Zeichen (in Hexadezimal): 0, 1, 2, 3, 4, 5. In Duodezimal gibt es zwölf davon: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, wobei A - die Zahl 10 bezeichnet, B - die Zahl 11 (da das Zeichen eins sein muss).
Urteile selbst. Wir zählen die Zeit in Sechsen, nicht wahr? Eine Stunde sind sechzig Minuten (sechs Zehner), ein Tag vierundzwanzig Stunden (zweimal zwölf), ein Jahr zwölf Monate usw. Alle Zeitintervalle passen problemlos in Sechser- und Zwölfkommareihen. Aber wir sind so daran gewöhnt, dass wir beim Zählen der Zeit nicht einmal daran denken.
Nicht-Positionszahlensysteme. Unär
Es ist notwendig zu definieren, was es ist - ein nicht-positionelles Zahlensystem. Dies ist ein solches Zeichensystem, bei dem es keine Positionen für die Zeichen einer Zahl gibt oder das Prinzip des "Lesens" einer Zahl nicht von der Position abhängt. Es hat auch seine eigenen Regeln zum Schreiben oder Rechnen.
Lassen Sie uns Beispiele für nicht-positionale Zahlensysteme geben. Gehen wir zurück in die Antike. Die Leute brauchten ein Konto und kamen auf die einfachste Erfindung - Knoten. Das nicht-positionelle Zahlensystem ist knotig. Ein Gegenstand (eine Tüte Reis, ein Stier, ein Heuhaufen usw.) wurde z. B. beim Kauf oder Verkauf gezählt und an eine Schnur geknotet.
Als Ergebnis wurden so viele Knoten am Seil gemacht, wie viele Reissäcke gekauft wurden (als Beispiel). Es können aber auch Kerben an einem Holzstab, an einer Steinplatte etc. sein. Ein solches Zahlensystem wurde als Nodular bekannt. Sie hat einen zweiten Namen – unär oder einzeln ("uno" bedeutet auf Lateinisch "eins").
Es wird offensichtlich, dass dieses Zahlensystem nicht-positionell ist. Über welche Art von Positionen können wir schließlich sprechen, wenn es (die Position) nur eine ist! Seltsamerweise wird in einigen Teilen der Erde immer noch das unäre Zahlensystem ohne Position verwendet.
Zu den nicht-positionsbezogenen Zahlensystemen gehören auch:
- Roman (Buchstaben werden verwendet, um Zahlen zu schreiben - lateinische Zeichen);
- altägyptisch (ähnlich römisch, es wurden auch Symbole verwendet);
- alphabetisch (es wurden Buchstaben des Alphabets verwendet);
- Babylonisch (Keilschrift - verwendet direkt undumgekehrter "Keil");
- Griechisch (auch als alphabetisch bezeichnet).
Römisches Zahlensystem
Das alte Römische Reich war ebenso wie seine Wissenschaft sehr fortschrittlich. Die Römer gaben der Welt viele nützliche Erfindungen der Wissenschaft und Kunst, einschließlich ihres Zählsystems. Vor 200 Jahren wurden römische Ziffern zur Bezeichnung von Beträgen in Geschäftsdokumenten verwendet (dadurch wurden Fälschungen vermieden).
Die römische Numerierung ist ein Beispiel für ein nicht-positionelles Zahlensystem, wir kennen es jetzt. Auch das römische System wird aktiv verwendet, aber nicht für mathematische Berechnungen, sondern für eng fokussierte Aktionen. Beispielsweise ist es üblich, mit Hilfe römischer Zahlen historische Daten, Jahrhunderte, Bandnummern, Abschnitte und Kapitel in Buchveröffentlichungen zu bezeichnen. Römische Zeichen werden oft verwendet, um Uhrenzifferblätter zu schmücken. Und auch die römische Numerierung ist ein Beispiel für ein nicht-positionelles Zahlensystem.
Die Römer bezeichneten Zahlen mit lateinischen Buchstaben. Außerdem schrieben sie die Zahlen nach bestimmten Regeln auf. Es gibt eine Liste von Schlüsselsymbolen im römischen Zahlensystem, mit deren Hilfe ausnahmslos alle Zahlen geschrieben wurden.
| Zahl (dezimal) | Römische Ziffer (Buchstabe des lateinischen Alphabets) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Regeln zum Bilden von Zahlen
Die erforderliche Zahl wurde durch Addition von Zeichen (lateinische Buchstaben) und Berechnung ihrer Summe erh alten. Betrachten wir, wie Zeichen im römischen System symbolisch geschrieben werden und wie sie "gelesen" werden sollten. Lassen Sie uns die Hauptgesetze der Zahlenbildung im römischen Zahlensystem ohne Position auflisten.
- Die Zahl vier - IV, besteht aus zwei Zeichen (I, V - eins und fünf). Es wird erh alten, indem das kleinere Zeichen vom größeren subtrahiert wird, wenn es links ist. Wenn sich das kleinere Zeichen rechts befindet, müssen Sie hinzufügen, dann erh alten Sie die Nummer sechs - VI.
- Es müssen zwei identische Zeichen nebeneinander hinzugefügt werden. Zum Beispiel: SS ist 200 (C ist 100) oder XX ist 20.
- Wenn das erste Zeichen einer Zahl kleiner als das zweite ist, dann kann das dritte Zeichen in dieser Reihe ein Zeichen sein, dessen Wert noch kleiner ist als das erste. Um Verwirrung zu vermeiden, hier ein Beispiel: CDX - 410 (in Dezimalzahl).
- Einige große Zahlen können auf unterschiedliche Weise dargestellt werden, was einer der Nachteile des römischen Zählsystems ist. Hier einige Beispiele: MVM (Roman)=1000 + (1000 - 5)=1995 (dezimal) oder MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Und das ist noch nicht alles.
Rechentricks
Nonpositional Number System ist manchmal ein komplexes Regelwerk für die Bildung von Zahlen, ihre Verarbeitung (Aktionen auf sie). Arithmetische Operationen in nicht-positionellen Zahlensystemen sind nicht einfachfür moderne Menschen. Wir beneiden die alten römischen Mathematiker nicht!
Beispiel für Addition. Versuchen wir, zwei Zahlen zu addieren: XIX + XXVI=XXXV, diese Aufgabe wird in zwei Schritten ausgeführt:
- Zunächst - nehme und addiere die kleineren Brüche von Zahlen: IX + VI=XV (I nach V und I vor X "zerstören" sich gegenseitig).
- Second - große Brüche zweier Zahlen addieren: X + XX=XXX.
Die Subtraktion ist etwas komplizierter. Die zu reduzierende Zahl muss in ihre Bestandteile zerlegt werden, und dann müssen die duplizierten zu reduzierenden Zeichen in die zu reduzierende Zahl eingeteilt und subtrahiert werden. Subtrahiere 263 von 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Multiplikation mit römischen Zahlen. Übrigens muss erwähnt werden, dass die Römer keine Zeichen für arithmetische Operationen hatten, sie bezeichneten sie einfach mit Worten.
Die multiple Zahl musste mit jedem einzelnen Symbol des Multiplikators multipliziert werden, was zu mehreren Produkten führte, die addiert werden mussten. So werden Polynome multipliziert.
Bei der Division war und ist dieser Vorgang im römischen Zahlensystem der schwierigste. Hier wurde der altrömische Abakus verwendet. Um mit ihm zu arbeiten, wurden die Leute speziell ausgebildet (und nicht jeder hat es geschafft, eine solche Wissenschaft zu beherrschen).
Über die Nachteile nicht-positionaler Systeme
Wie oben erwähnt, haben Nicht-Positionsnummernsysteme ihre Nachteile und Unannehmlichkeiten bei der Verwendung. Unär ist einfach genug für einfaches Zählen, aber für arithmetische und komplexe Berechnungen nichtgut genug.
Im Roman gibt es keine einheitlichen Regeln für die Bildung großer Zahlen und es kommt zu Verwirrung, außerdem ist es sehr schwierig darin zu rechnen. Außerdem war die größte Zahl, die die alten Römer mit ihrer Methode aufschreiben konnten, 100.000.
