Oberfläche eines geraden Prismas: Formeln und ein Beispiel für ein Problem

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-02 17:44

Volumen und Oberfläche sind zwei wichtige Eigenschaften jedes Körpers, der endliche Dimensionen im dreidimensionalen Raum hat. In diesem Artikel betrachten wir eine bekannte Klasse von Polyedern - Prismen. Insbesondere wird die Frage geklärt, wie man die Oberfläche eines geraden Prismas findet.

Was ist ein Prisma?

Ein Prisma ist ein beliebiges Polyeder, das von mehreren Parallelogrammen und zwei identischen Polygonen in parallelen Ebenen begrenzt wird. Diese Polygone werden als Basis der Figur betrachtet, und ihre Parallelogramme sind die Seiten. Die Anzahl der Seiten (Ecken) der Basis bestimmt den Namen der Figur. Die folgende Abbildung zeigt beispielsweise ein fünfeckiges Prisma.

Der Abstand zwischen den Basen wird Höhe der Figur genannt. Wenn die Höhe gleich der Länge einer beliebigen Seitenkante ist, ist ein solches Prisma gerade. Das zweite ausreichende Merkmal für ein gerades Prisma ist, dass alle seine Seiten Rechtecke oder Quadrate sind. Wenn dochWenn eine Seite ein allgemeines Parallelogramm ist, wird die Figur geneigt sein. Unten sehen Sie, wie sich die geraden und schiefen Prismen optisch am Beispiel viereckiger Figuren unterscheiden.

Oberfläche eines geraden Prismas

Wenn eine geometrische Figur eine n-eckige Grundfläche hat, dann besteht sie aus n+2 Flächen, von denen n Rechtecke sind. Lassen Sie uns die Seitenlängen der Basis als a_i bezeichnen, wobei i=1, 2, …, n, und die Höhe der Figur bezeichnen, die gleich der Länge von ist Seitenkante, wie h. Um die Fläche (S) der Oberfläche aller Flächen zu bestimmen, addiere die Fläche S_{o jeder der Basen und alle Flächen der Seiten (Rechtecke). Somit kann die Formel für S in allgemeiner Form wie folgt geschrieben werden:}

S=2S_o+ S_b

wobei S_{b die Seitenfläche ist.}

Da die Basis eines geraden Prismas absolut jedes flache Polygon sein kann, kann im Allgemeinen keine einzige Formel zur Berechnung von S_{ound zur Bestimmung dieses Wertes angegeben werden In diesem Fall sollte eine geometrische Analyse durchgeführt werden. Wenn die Basis beispielsweise ein regelmäßiges n-Eck mit der Seite a ist, wird ihre Fläche nach folgender Formel berechnet:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Für den Wert von S_{b kann der Ausdruck für seine Berechnung angegeben werden. Die Seitenfläche eines geraden Prismas ist:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Das ist der WertS_{b errechnet sich aus dem Produkt der Höhe der Figur und dem Umfang ihrer Grundfläche.}

Beispiel zur Problemlösung

Wollen wir das erworbene Wissen anwenden, um das folgende geometrische Problem zu lösen. Bei einem Prisma, dessen Basis ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten im rechten Winkel von 5 cm und 7 cm ist, ist die Höhe der Figur 10 cm, es ist notwendig, die Oberfläche eines rechtwinkligen Dreiecksprismas zu finden.

Berechnen wir zuerst die Hypotenuse des Dreiecks. Es ist gleich:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Lassen Sie uns jetzt noch eine vorbereitende mathematische Operation durchführen - berechnen Sie den Umfang der Basis. Es wird sein:

P=5 + 7 + 8,6=20,6cm

Der Flächeninh alt der Seitenfläche der Figur errechnet sich als Produkt aus dem Wert P und der Höhe h=10 cm, also S_b=206 cm ^2.

Um den Flächeninh alt der gesamten Oberfläche zu finden, sollten dem gefundenen Wert zwei Grundflächen hinzuaddiert werden. Da die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks durch das halbe Produkt der Schenkel bestimmt wird, erh alten wir:

2S_o=257/2=35cm²

Dann erh alten wir, dass die Oberfläche eines geraden dreieckigen Prismas 35 + 206=241 cm ist2.