Der Geometriekurs der Schule ist in zwei große Abschnitte unterteilt: Planimetrie und Körpergeometrie. Die Stereometrie untersucht räumliche Figuren und ihre Eigenschaften. In diesem Artikel sehen wir uns an, was ein gerades Prisma ist, und geben Formeln an, die seine Eigenschaften wie Diagonallängen, Volumen und Oberfläche beschreiben.
Was ist ein Prisma?
Wenn Schüler nach der Definition eines Prismas gefragt werden, antworten sie, dass es sich bei dieser Figur um zwei identische parallele Polygone handelt, deren Seiten durch Parallelogramme verbunden sind. Diese Definition ist so allgemein wie möglich, da sie keine Bedingungen an die Form von Polygonen, an ihre gegenseitige Anordnung in parallelen Ebenen stellt. Darüber hinaus impliziert es das Vorhandensein von verbindenden Parallelogrammen, zu deren Klasse auch ein Quadrat, eine Raute und ein Rechteck gehören. Unten sehen Sie, was ein viereckiges Prisma ist.
Wir sehen, dass ein Prisma ein Polyeder (Polyeder) ist, das aus n + 2 bestehtSeiten, 2 × n Eckpunkte und 3 × n Kanten, wobei n die Anzahl der Seiten (Eckpunkte) eines der Polygone ist.
Beide Polygone werden üblicherweise als Grundflächen der Figur bezeichnet, die anderen Flächen sind die Seiten des Prismas.
Das Konzept eines geraden Prismas
Es gibt verschiedene Arten von Prismen. Sie sprechen also von regelmäßigen und unregelmäßigen Figuren, von dreieckigen, fünfeckigen und anderen Prismen, es gibt konvexe und konkave Figuren und schließlich sind sie geneigt und gerade. Lassen Sie uns über Letzteres ausführlicher sprechen.
Ein gerades Prisma ist eine solche Figur aus der untersuchten Klasse von Polyedern, deren Seitenvierecke alle rechte Winkel haben. Es gibt nur zwei Arten solcher Vierecke - ein Rechteck und ein Quadrat.
Die betrachtete Form der Figur hat eine wichtige Eigenschaft: Die Höhe eines geraden Prismas ist gleich der Länge seiner Seitenkante. Beachten Sie, dass alle Seitenkanten der Figur einander gleich sind. Die Seitenflächen sind im allgemeinen nicht gleich. Ihre Gleichheit ist möglich, wenn das Prisma nicht nur gerade, sondern auch richtig ist.
Die folgende Abbildung zeigt eine gerade Figur mit fünfeckiger Grundfläche. Es ist ersichtlich, dass alle seine Seitenflächen Rechtecke sind.
Prismendiagonalen und ihre linearen Parameter
Die wichtigsten linearen Eigenschaften eines jeden Prismas sind seine Höhe h und die Seitenlängen seiner Grundfläche ai, wobei i=1, …, n. Wenn die Grundfläche ein regelmäßiges Polygon ist, genügt es, die Länge a einer Seite zu kennen, um ihre Eigenschaften zu beschreiben. Die Kenntnis der markierten linearen Parameter ermöglicht uns eine eindeutigeDefiniere solche Eigenschaften einer Figur als ihr Volumen oder ihre Oberfläche.
Die Diagonalen eines geraden Prismas sind Segmente, die zwei beliebige nicht benachbarte Ecken verbinden. Solche Diagonalen können drei Arten haben:
- in den Basisebenen liegend;
- in den Ebenen der seitlichen Rechtecke gelegen;
- Figuren, die zum Band gehören.
Die Längen dieser auf die Basis bezogenen Diagonalen sollten je nach Art des n-Ecks bestimmt werden.
Diagonalen von seitlichen Rechtecken werden nach folgender Formel berechnet:
d1i=√(ai2+ h2 ).
Um Volumendiagonalen zu bestimmen, müssen Sie den Wert der Länge der entsprechenden Basisdiagonalen und der Höhe kennen. Wenn eine Diagonale der Basis mit dem Buchstaben d0i bezeichnet wird, dann wird die Volumendiagonale d2i wie folgt berechnet:
d2i=√(d0i2+ h2 ).
Bei einem regulären viereckigen Prisma ist die Länge der Volumendiagonalen beispielsweise:
d2=√(2 × a2+ h2).
Beachte, dass ein rechtwinkliges Dreiecksprisma nur eine der drei genannten Arten von Diagonalen hat: die Seitendiagonale.
Oberfläche der untersuchten Formklasse
Oberfläche ist die Summe der Flächen aller Gesichter einer Figur. Um alle Gesichter zu visualisieren, sollten Sie das Prisma scannen. Als Beispiel wird unten ein solcher Sweep für eine fünfeckige Figur gezeigt.
Wir sehen, dass die Anzahl der ebenen Figuren n + 2 ist und n Rechtecke sind. Um die Fläche des gesamten Sweeps zu berechnen, addieren Sie die Flächen zweier identischer Basen und die Flächen aller Rechtecke. Dann sieht die entsprechende Formel so aus:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Diese Gleichheit zeigt, dass die seitliche Oberfläche für den untersuchten Prismentyp gleich dem Produkt aus der Höhe der Figur und dem Umfang ihrer Basis ist.
Die Grundfläche von So kann durch Anwendung der entsprechenden geometrischen Formel berechnet werden. Wenn zum Beispiel die Basis eines geraden Prismas ein rechtwinkliges Dreieck ist, dann erh alten wir:
So=a1 × a2 / 2.
Wo a1 und a2 die Schenkel des Dreiecks sind.
Wenn die Basis ein n-Eck mit gleichen Winkeln und Seiten ist, dann ist die folgende Formel gerecht:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Volumenformel
Die Bestimmung des Volumens eines beliebigen Prismas ist keine schwierige Aufgabe, wenn dessen Grundfläche So und Höhe h bekannt sind. Wenn wir diese Werte miteinander multiplizieren, erh alten wir das Volumen V der Figur, das heißt:
V=So × h.
Da der Parameter h eines geraden Prismas gleich der Seitenkantenlänge ist, läuft das ganze Problem der Volumenberechnung auf die Berechnung der Fläche So hinaus. Oben wirhabe schon ein paar Worte gesagt und ein paar Formeln gegeben, um So zu bestimmen. Hier bemerken wir nur, dass Sie im Fall einer willkürlich geformten Basis sie in einfache Segmente (Dreiecke, Rechtecke) aufteilen, die Fläche von jedem berechnen und dann alle Flächen addieren sollten, um S zu erh alten. o.
