Geometrische Figuren im Raum sind Gegenstand des Studiums der Stereometrie, deren Kurs von Schülern in der High School bestanden wird. Dieser Artikel ist einem so perfekten Polyeder wie einem Prisma gewidmet. Betrachten wir die Eigenschaften eines Prismas genauer und geben die Formeln an, die dazu dienen, sie quantitativ zu beschreiben.
Was ist ein Prisma?
Jeder stellt sich vor, wie eine Kiste oder ein Würfel aussieht. Beide Figuren sind Prismen. Die Klasse der Prismen ist jedoch viel vielfältiger. In der Geometrie hat diese Figur folgende Definition: Ein Prisma ist ein beliebiges Polyeder im Raum, das aus zwei parallelen und identischen polygonalen Seiten und mehreren Parallelogrammen besteht. Identische parallele Flächen einer Figur werden als ihre Basen (obere und untere) bezeichnet. Parallelogramme sind die Seitenflächen der Figur, die die Seiten der Basis miteinander verbinden.
Wenn die Basis durch ein n-Eck dargestellt wird, wobei n eine ganze Zahl ist, dann besteht die Figur aus 2+n Flächen, 2n Ecken und 3n Kanten. Flächen und Kanten beziehen sich aufeiner von zwei Typen: entweder gehören sie zur Seitenfläche oder zu den Basen. Die Ecken sind alle gleich und gehören zu den Basen des Prismas.
Figurentypen der untersuchten Klasse
Wenn Sie die Eigenschaften eines Prismas studieren, sollten Sie die möglichen Arten dieser Figur auflisten:
- Konvex und konkav. Der Unterschied zwischen ihnen liegt in der Form der polygonalen Basis. Wenn es konkav ist, dann ist es auch eine dreidimensionale Figur und umgekehrt.
- Gerade und schräg. Bei einem geraden Prisma sind die Seitenflächen entweder Rechtecke oder Quadrate. Bei einer schiefen Figur sind die Seitenflächen Parallelogramme allgemeiner Art oder Rauten.
- Falsch und richtig. Damit die zu studierende Figur korrekt ist, muss sie gerade sein und die richtige Basis haben. Ein Beispiel für letzteres sind flache Figuren wie ein gleichseitiges Dreieck oder ein Quadrat.
Der Name des Prismas wird unter Berücksichtigung der aufgeführten Klassifizierung gebildet. Beispielsweise wird der oben erwähnte rechtwinklige Quader oder Würfel als regelmäßiges viereckiges Prisma bezeichnet. Reguläre Prismen sind aufgrund ihrer hohen Symmetrie bequem zu untersuchen. Ihre Eigenschaften werden in Form spezifischer mathematischer Formeln ausgedrückt.
Prismenbereich
Wenn man eine solche Eigenschaft eines Prismas als seine Fläche betrachtet, meinen sie die Gesamtfläche aller seiner Flächen. Am einfachsten kann man sich diesen Wert vorstellen, wenn man die Figur auseinanderf altet, also alle Flächen in eine Ebene erweitert. Unten aufDie Abbildung zeigt ein Beispiel für einen Sweep von zwei Prismen.
Für ein beliebiges Prisma kann die Formel für die Fläche seines Sweeps in allgemeiner Form wie folgt geschrieben werden:
S=2So+ bPsr.
Lassen Sie uns die Notation erklären. Der Wert So ist die Fläche einer Basis, b ist die Länge der Seitenkante, Psr ist der Schnittumfang, der senkrecht zu den seitlichen Parallelogrammen der Figur steht.
Die geschriebene Formel wird oft verwendet, um die Flächen von geneigten Prismen zu bestimmen. Bei einem regulären Prisma nimmt der Ausdruck für S eine bestimmte Form an:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Der erste Term im Ausdruck stellt die Fläche der beiden Basen eines regelmäßigen Prismas dar, der zweite Term ist die Fläche der seitlichen Rechtecke. Dabei ist a die Seitenlänge eines regelmäßigen n-Ecks. Beachten Sie, dass die Länge der Seitenkante b für ein regelmäßiges Prisma auch seine Höhe h ist, sodass in der Formel b durch h ersetzt werden kann.
Wie berechnet man das Volumen einer Figur?
Prism ist ein relativ einfacher Polyeder mit hoher Symmetrie. Um sein Volumen zu bestimmen, gibt es daher eine sehr einfache Formel. Das sieht so aus:
V=Soh.
Die Berechnung von Grundfläche und Höhe kann schwierig sein, wenn man eine schräge, unregelmäßige Form betrachtet. Dieses Problem wird durch sequentielle geometrische Analyse gelöst, die Informationen über die Flächenwinkel zwischen den seitlichen Parallelogrammen und der Basis enthält.
Wenn das Prisma dann richtig istdie Formel für V wird ganz konkret:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Wie man sieht, sind Fläche S und Volumen V eines regulären Prismas eindeutig bestimmt, wenn zwei seiner linearen Parameter bekannt sind.
Dreieckiges regelmäßiges Prisma
Lassen Sie uns den Artikel beenden, indem wir die Eigenschaften eines regulären dreieckigen Prismas betrachten. Es besteht aus fünf Flächen, von denen drei Rechtecke (Quadrate) und zwei gleichseitige Dreiecke sind. Ein Prisma hat sechs Ecken und neun Kanten. Für dieses Prisma sind die Volumen- und Oberflächenformeln unten geschrieben:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Neben diesen Eigenschaften ist es auch nützlich, eine Formel für das Apothem der Basis der Figur anzugeben, die die Höhe ha eines gleichseitigen Dreiecks ist:
ha=√3/2a.
Die Seiten des Prismas sind identische Rechtecke. Die Längen ihrer Diagonalen d sind:
d=√(a2+ h2).
Die Kenntnis der geometrischen Eigenschaften eines dreieckigen Prismas ist nicht nur von theoretischem, sondern auch von praktischem Interesse. Tatsache ist, dass diese Figur aus optischem Glas zur Untersuchung des Strahlungsspektrums von Körpern verwendet wird.
Durch ein Glasprisma wird Licht durch das Dispersionsphänomen in eine Reihe von Farbkomponenten zerlegt, wodurch Bedingungen für die Untersuchung der spektralen Zusammensetzung eines elektromagnetischen Flusses geschaffen werden.
