Die Bewegung um die Rotationsachse ist eine der häufigsten Bewegungsarten von Objekten in der Natur. In diesem Artikel betrachten wir diese Art der Bewegung aus dynamischer und kinematischer Sicht. Wir geben auch Formeln zu den wichtigsten physikalischen Größen an.
Von welcher Bewegung sprechen wir?
Im wörtlichen Sinne sprechen wir über die Bewegung von Körpern um einen Kreis, also über ihre Rotation. Ein markantes Beispiel für eine solche Bewegung ist die Drehung des Rads eines Autos oder Fahrrads, während sich das Fahrzeug bewegt. Rotation um die eigene Achse eines Eiskunstläufers, der komplexe Pirouetten auf Eis vollführt. Oder die Rotation unseres Planeten um die Sonne und um seine eigene, zur Ebene der Ekliptik geneigte Achse.
Wie man sieht, ist ein wichtiges Element der betrachteten Bewegungsart die Rotationsachse. Jeder Punkt eines beliebig geformten Körpers macht kreisförmige Bewegungen um ihn herum. Der Abstand vom Punkt zur Achse wird Rotationsradius genannt. Viele Eigenschaften des gesamten mechanischen Systems hängen von seinem Wert ab, zum Beispiel das Trägheitsmoment, die lineare Geschwindigkeit undandere.
Rotationsdynamik
Wenn der Grund für die lineare Translationsbewegung von Körpern im Raum die auf sie einwirkende äußere Kraft ist, dann ist der Grund für die Bewegung um die Rotationsachse das äußere Kraftmoment. Dieser Wert wird als Vektorprodukt aus der aufgebrachten Kraft F¯ und dem Abstandsvektor vom Angriffspunkt zur Achse r¯ beschrieben, also:
M¯=[r¯F¯]
Die Wirkung des Moments M¯ führt zum Auftreten der Winkelbeschleunigung α¯ im System. Beide Größen sind über einen Koeffizienten I durch folgende Gleichung miteinander verknüpft:
M¯=Iα¯
Der Wert I heißt Trägheitsmoment. Sie hängt sowohl von der Form des Körpers als auch von der Massenverteilung in ihm und vom Abstand zur Rotationsachse ab. Für einen materiellen Punkt wird er nach folgender Formel berechnet:
I=mr2
Ist das äußere Kraftmoment gleich Null, so behält das System seinen Drehimpuls L¯. Dies ist eine weitere Vektorgröße, die laut Definition gleich ist:
L¯=[r¯p¯]
Hier ist p¯ ein linearer Impuls.
Das Momentenerh altungsgesetz L¯ wird üblicherweise wie folgt geschrieben:
Iω=const
Wobei ω die Winkelgeschwindigkeit ist. Sie wird im Artikel weiter besprochen.
Rotationskinematik
Im Gegensatz zur Dynamik betrachtet dieser Teil der Physik ausschließlich praktisch wichtige Größen, die mit der zeitlichen Änderung der Position von Körpern in Zusammenhang stehenPlatz. Das heißt, die Untersuchungsobjekte der Drehkinematik sind Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und Drehwinkel.
Zunächst führen wir die Winkelgeschwindigkeit ein. Darunter versteht man den Winkel, um den sich der Körper pro Zeiteinheit dreht. Die Formel für die momentane Winkelgeschwindigkeit lautet:
ω=dθ/dt
Wenn sich der Körper in gleichen Zeitintervallen um gleiche Winkel dreht, dann wird die Drehung als gleichförmig bezeichnet. Für ihn gilt die Formel für die mittlere Winkelgeschwindigkeit:
ω=Δθ/Δt
Gemessenes ω in Bogenmaß pro Sekunde, was im SI-System reziproken Sekunden entspricht (c-1).
Bei ungleichförmiger Rotation wird der Begriff der Winkelbeschleunigung α verwendet. Sie bestimmt die zeitliche Änderungsrate des Wertes ω, also:
α=dω/dt=d2θ/dt2
Gemessenes α in Bogenmaß pro Quadratsekunde (in SI - c-2).
Drehte sich der Körper zunächst gleichförmig mit einer Geschwindigkeit ω0 und begann dann mit konstanter Beschleunigung α seine Geschwindigkeit zu erhöhen, so lässt sich eine solche Bewegung wie folgt beschreiben Formel:
θ=ω0t + αt2/2
Diese Gleichheit erhält man durch Integration der Winkelgeschwindigkeitsgleichungen über die Zeit. Mit der Formel für θ können Sie die Anzahl der Umdrehungen berechnen, die das System in der Zeit t um die Rotationsachse machen wird.
Linear- und Winkelgeschwindigkeiten
Beide Geschwindigkeiten miteinandermit einem anderen verbunden. Wenn es um die Rotationsgeschwindigkeit um eine Achse geht, können sie sowohl lineare als auch winklige Eigenschaften meinen.
Nehmen Sie an, dass sich ein materieller Punkt im Abstand r mit der Geschwindigkeit ω um eine Achse dreht. Dann ist seine lineare Geschwindigkeit v gleich:
v=ωr
Der Unterschied zwischen Linear- und Winkelgeschwindigkeit ist signifikant. Somit hängt ω bei gleichförmiger Drehung nicht vom Abstand zur Achse ab, während der Wert von v linear mit zunehmendem r zunimmt. Letztere Tatsache erklärt, warum es mit zunehmendem Rotationsradius schwieriger wird, den Körper auf einer Kreisbahn zu h alten (seine Lineargeschwindigkeit und damit die Trägheitskräfte steigen).
Das Problem der Berechnung der Rotationsgeschwindigkeit um die Erdachse
Jeder weiß, dass unser Planet im Sonnensystem zwei Arten von Rotationsbewegungen ausführt:
- um seine Achse;
- um den Stern.
Berechnen Sie die Geschwindigkeiten ω und v für die erste.
Winkelgeschwindigkeit ist nicht schwer zu bestimmen. Denken Sie dazu daran, dass der Planet in 24 Stunden eine vollständige Umdrehung macht, die 2Pi im Bogenmaß entspricht (der genaue Wert beträgt 23 Stunden 56 Minuten 4,1 Sekunden). Dann ist der Wert von ω:
ω=2pi/(243600)=7, 2710-5rad/s
Der berechnete Wert ist klein. Zeigen wir nun, wie sehr sich der Betrag von ω von dem von v unterscheidet.
Berechnen Sie die lineare Geschwindigkeit v für Punkte, die auf der Oberfläche des Planeten liegen, auf dem Breitengrad des Äquators. SoweitDie Erde ist eine abgeflachte Kugel, der Äquatorradius ist etwas größer als der Polarkreis. Es sind 6378 Kilometer. Mit der Formel für die Verbindung zweier Geschwindigkeiten erh alten wir:
v=ωr=7, 2710-56378000 ≈ 464 m/s
Die resultierende Geschwindigkeit beträgt 1670 km/h, was größer ist als die Schallgeschwindigkeit in der Luft (1235 km/h).
Die Rotation der Erde um ihre eigene Achse führt zum Auftreten der sogenannten Coriolis-Kraft, die beim Fliegen ballistischer Raketen berücksichtigt werden sollte. Es ist auch die Ursache vieler atmosphärischer Phänomene, wie z. B. der Richtungsabweichung der Passatwinde nach Westen.
