Ein mechanisches System, das aus einem materiellen Punkt (Körper) besteht, der an einem undehnbaren, schwerelosen Faden (seine Masse ist im Vergleich zum Gewicht des Körpers vernachlässigbar) in einem gleichförmigen Gravitationsfeld hängt, wird mathematisches Pendel genannt (ein anderer Name ist ein Oszillator). Es gibt andere Arten dieses Geräts. Anstelle eines Fadens kann auch ein schwereloser Stab verwendet werden. Ein mathematisches Pendel kann die Essenz vieler interessanter Phänomene deutlich machen. Bei einer kleinen Schwingungsamplitude wird seine Bewegung als harmonisch bezeichnet.
Mechanikübersicht
Die Formel für die Schwingungsdauer dieses Pendels wurde von dem holländischen Wissenschaftler Huygens (1629-1695) hergeleitet. Dieser Zeitgenosse von I. Newton war von diesem mechanischen System sehr angetan. 1656 schuf er die erste Pendeluhr. Sie maßen die Zeit mit Ausnahmefür damalige Genauigkeit. Diese Erfindung ist zu einem wichtigen Meilenstein in der Entwicklung physikalischer Experimente und praktischer Aktivitäten geworden.
Ist das Pendel im Gleichgewicht (senkrecht hängend), dann wird die Schwerkraft durch die Kraft der Fadenspannung ausgeglichen. Ein flaches Pendel an einem undehnbaren Faden ist ein System mit zwei Freiheitsgraden mit einer Verbindung. Wenn Sie nur eine Komponente ändern, ändern sich die Eigenschaften aller ihrer Teile. Wenn also das Gewinde durch eine Stange ersetzt wird, hat dieses mechanische System nur 1 Freiheitsgrad. Welche Eigenschaften hat ein mathematisches Pendel? In diesem einfachsten System entsteht Chaos unter dem Einfluss einer periodischen Störung. Für den Fall, dass sich der Aufhängepunkt nicht bewegt, sondern schwingt, hat das Pendel eine neue Gleichgewichtslage. Durch schnelle Auf- und Abschwingungen nimmt dieses mechanische System eine stabile Kopflage ein. Sie hat auch einen eigenen Namen. Es heißt Kapitzas Pendel.
Pendeleigenschaften
Mathematisches Pendel hat sehr interessante Eigenschaften. Alle von ihnen werden durch bekannte physikalische Gesetze bestätigt. Die Schwingungsdauer jedes anderen Pendels hängt von verschiedenen Umständen ab, wie z. B. der Größe und Form des Körpers, dem Abstand zwischen dem Aufhängepunkt und dem Schwerpunkt, der Massenverteilung relativ zu diesem Punkt. Aus diesem Grund ist die Bestimmung der Periode eines hängenden Körpers eine ziemlich schwierige Aufgabe. Es ist viel einfacher, die Periode eines mathematischen Pendels zu berechnen, dessen Formel unten angegeben wird. Aufgrund ähnlicher Beobachtungenmechanische Systeme können folgende Muster erstellen:
• Wenn wir bei gleicher Länge des Pendels unterschiedliche Gewichte aufhängen, dann wird die Schwingungsdauer gleich sein, obwohl ihre Massen sehr unterschiedlich sein werden. Daher hängt die Periode eines solchen Pendels nicht von der Masse der Last ab.
• Wenn das Pendel beim Starten des Systems um nicht zu große, aber unterschiedliche Winkel ausgelenkt wird, beginnt es mit der gleichen Periode, aber mit unterschiedlichen Amplituden zu schwingen. Solange die Abweichungen vom Gleichgewichtspunkt nicht zu groß sind, werden die Schwingungen in ihrer Form harmonischen recht nahe kommen. Die Periode eines solchen Pendels hängt in keiner Weise von der Schwingungsamplitude ab. Diese Eigenschaft dieses mechanischen Systems nennt man Isochronismus (übersetzt aus dem Griechischen „chronos“- Zeit, „isos“- gleich).
Periode des mathematischen Pendels
Dieser Indikator repräsentiert die Periode der natürlichen Schwingungen. Trotz der komplexen Formulierung ist der Prozess selbst sehr einfach. Wenn die Länge des Fadens eines mathematischen Pendels L ist und die Beschleunigung des freien Falls g ist, dann ist dieser Wert:
T=2π√L/g
Die Dauer kleiner Eigenschwingungen hängt in keiner Weise von der Masse des Pendels und der Amplitude der Schwingungen ab. In diesem Fall bewegt sich das Pendel wie ein mathematisches Pendel mit reduzierter Länge.
Ausschläge des mathematischen Pendels
Ein mathematisches Pendel schwingt, was durch eine einfache Differentialgleichung beschrieben werden kann:
x + ω2 sin x=0, wobei x (t) eine unbekannte Funktion ist (dies ist der Abweichungswinkel von der unterenGleichgewichtslage zum Zeitpunkt t, ausgedrückt im Bogenmaß); ω ist eine positive Konstante, die aus den Parametern des Pendels bestimmt wird (ω=√g/L, wobei g die Fallbeschleunigung und L die Länge des mathematischen Pendels (Aufhängung) ist).
Die Gleichung kleiner Schwankungen nahe der Gleichgewichtslage (harmonische Gleichung) sieht so aus:
x + ω2 sin x=0
Oszillationsbewegungen des Pendels
Ein mathematisches Pendel, das kleine Schwingungen macht, bewegt sich entlang einer Sinuskurve. Die Differentialgleichung zweiter Ordnung erfüllt alle Anforderungen und Parameter einer solchen Bewegung. Zur Bestimmung der Flugbahn müssen Geschwindigkeit und Koordinate angegeben werden, woraus dann unabhängige Konstanten ermittelt werden:
x=A sin (θ0 + ωt), wobei θ0 die Anfangsphase ist, A die Schwingungsamplitude ist, ω die aus der Bewegungsgleichung bestimmte zyklische Frequenz ist.
Mathematisches Pendel (Formeln für große Amplituden)
Dieses mechanische System, das seine Schwingungen mit einer signifikanten Amplitude ausführt, gehorcht komplexeren Bewegungsgesetzen. Für ein solches Pendel berechnen sie sich nach der Formel:
sin x/2=usn(ωt/u), wobei sn der Jacobi-Sinus ist, der für u < 1 eine periodische Funktion ist und für kleine u mit einem einfachen trigonometrischen Sinus zusammenfällt. Der Wert von u wird durch den folgenden Ausdruck bestimmt:
u=(ε + ω2)/2ω2, wobei ε=E/mL2 (mL2 ist die Energie des Pendels).
Bestimmung der Schwingungsdauer eines nichtlinearen Pendelserfolgt nach der Formel:
T=2π/Ω, wobei Ω=π/2ω/2K(u), K das elliptische Integral ist, π - 3, 14.
Bewegung des Pendels entlang der Separatrix
Eine Separatrix ist eine Trajektorie eines dynamischen Systems mit einem zweidimensionalen Phasenraum. Das mathematische Pendel bewegt sich nichtperiodisch entlang. Zu einem unendlich weit entfernten Zeitpunkt fällt es von der äußersten oberen Position auf die Seite mit Nullgeschwindigkeit und hebt es dann allmählich auf. Es stoppt schließlich und kehrt in seine ursprüngliche Position zurück.
Wenn sich die Amplitude der Schwingungen des Pendels der Zahl π nähert, deutet dies darauf hin, dass sich die Bewegung auf der Phasenebene der Separatrix nähert. In diesem Fall zeigt das mechanische System unter Einwirkung einer kleinen antreibenden periodischen Kraft ein chaotisches Verh alten.
Wenn das mathematische Pendel um einen bestimmten Winkel φ von der Gleichgewichtslage abweicht, entsteht eine tangentiale Gewichtskraft Fτ=–mg sin φ. Das Minuszeichen bedeutet, dass diese Tangentialkomponente der Pendelauslenkung entgegengerichtet ist. Wenn die Auslenkung des Pendels entlang eines Kreisbogens mit Radius L mit x bezeichnet wird, ist seine Winkelauslenkung gleich φ=x/L. Das zweite Gesetz von Isaac Newton, das für Projektionen des Beschleunigungsvektors und der Kraft ausgelegt ist, ergibt den gewünschten Wert:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Basierend auf diesem Verhältnis ist es klar, dass dieses Pendel ein nichtlineares System ist, da die Kraft zurückkehrtin die Gleichgewichtslage, ist immer nicht proportional zum Weg x, sondern zu sin x/L.
Nur wenn das mathematische Pendel kleine Schwingungen macht, ist es ein harmonischer Oszillator. Mit anderen Worten, es wird zu einem mechanischen System, das harmonische Schwingungen ausführen kann. Diese Näherung gilt praktisch für Winkel von 15–20°. Pendelschwingungen mit großen Amplituden sind nicht harmonisch.
Newtonsches Gesetz für kleine Schwingungen eines Pendels
Wenn dieses mechanische System kleine Schwingungen ausführt, sieht Newtons 2. Gesetz so aus:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Daraus können wir schließen, dass die Tangentialbeschleunigung des mathematischen Pendels proportional zu seiner Auslenkung mit Minuszeichen ist. Dies ist die Bedingung, aufgrund derer das System zu einem harmonischen Oszillator wird. Der Betrag der proportionalen Verstärkung zwischen Weg und Beschleunigung ist gleich dem Quadrat der Kreisfrequenz:
ω02=g/l; ω0=√ g/L.
Diese Formel gibt die Eigenfrequenz kleiner Schwingungen dieses Pendeltyps wieder. Basierend darauf
T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Rechnungen nach dem Energieerh altungssatz
Die Eigenschaften der Schwingungsbewegungen des Pendels lassen sich auch mit dem Energieerh altungssatz beschreiben. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die potentielle Energie des Pendels im Gravitationsfeld:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Gesamte mechanische Energiegleich kinetischem oder maximalem Potential: Epmax=Ekmsx=E
Nachdem der Energieerh altungssatz geschrieben ist, nehmen Sie die Ableitung der rechten und linken Seite der Gleichung:
Ep + Ek=const
Da die Ableitung konstanter Werte 0 ist, ist (Ep + Ek)'=0. Die Ableitung der Summe ist gleich der Summe der Ableitungen:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, daher:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Nach der letzten Formel finden wir: α=- g/Lx.
Praktische Anwendung des mathematischen Pendels
Die Beschleunigung des freien Falls variiert mit der geografischen Breite, da die Dichte der Erdkruste auf dem gesamten Planeten nicht gleich ist. Wo Gesteine mit höherer Dichte vorkommen, wird sie etwas höher sein. Die Beschleunigung eines mathematischen Pendels wird häufig für die geologische Erkundung verwendet. Es wird verwendet, um nach verschiedenen Mineralien zu suchen. Indem Sie einfach die Anzahl der Pendelschwingungen zählen, können Sie Kohle oder Erz in den Eingeweiden der Erde finden. Dies liegt an der Tatsache, dass solche Fossilien eine größere Dichte und Masse haben als das lose Gestein darunter.
Das mathematische Pendel wurde von so prominenten Wissenschaftlern wie Sokrates, Aristoteles, Plato, Plutarch, Archimedes verwendet. Viele von ihnen glaubten, dass dieses mechanische System das Schicksal und das Leben eines Menschen beeinflussen könnte. Archimedes verwendete in seinen Berechnungen ein mathematisches Pendel. Heutzutage viele Okkultisten und HellseherVerwenden Sie dieses mechanische System, um ihre Prophezeiungen zu erfüllen oder nach vermissten Personen zu suchen.
Auch der berühmte französische Astronom und Naturforscher K. Flammarion verwendete ein mathematisches Pendel für seine Forschung. Er behauptete, dass er mit seiner Hilfe die Entdeckung eines neuen Planeten, das Erscheinen des Tunguska-Meteoriten und andere wichtige Ereignisse vorhersagen konnte. Während des Zweiten Weltkriegs arbeitete in Deutschland (Berlin) ein spezialisiertes Pendelinstitut. Heute beschäftigt sich das Münchener Institut für Parapsychologie mit ähnlichen Forschungen. „Radästhesie“nennen die Mitarbeiter dieser Einrichtung ihre Arbeit mit dem Pendel.
