Das Konzept der Beschleunigung. Die Beschleunigung ist tangential, normal und voll. Formeln

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-02 17:44

Jeder, der sich mit Technik und Physik auskennt, kennt den Begriff der Beschleunigung. Trotzdem wissen nur wenige, dass diese physikalische Größe zwei Komponenten hat: Tangentialbeschleunigung und Normalbeschleunigung. Schauen wir uns jeden von ihnen im Artikel genauer an.

Was ist Beschleunigung?

In der Physik ist die Beschleunigung eine Größe, die die Änderungsrate der Geschwindigkeit beschreibt. Außerdem wird diese Änderung nicht nur als Absolutwert der Geschwindigkeit verstanden, sondern auch als deren Richtung. Mathematisch wird diese Definition wie folgt geschrieben:

a¯=dv¯/dt.

Beachten Sie, dass wir über die Ableitung der Änderung des Geschwindigkeitsvektors sprechen und nicht nur über seinen Betrag.

Im Gegensatz zur Geschwindigkeit kann die Beschleunigung sowohl positive als auch negative Werte annehmen. Wenn die Geschwindigkeit immer entlang der Tangente an die Bewegungsbahn von Körpern gerichtet ist, dann richtet sich die Beschleunigung gegen die auf den Körper wirkende Kraft, was aus dem zweiten Newtonschen Gesetz folgt:

F¯=ma¯.

Beschleunigung wird in Metern pro Quadratsekunde gemessen. 1 m/s2 bedeutet also, dass sich die Geschwindigkeit mit jeder Sekunde Bewegung um 1 m/s erhöht.

Gerade und gekrümmte Bewegungsbahnen und Beschleunigung

Objekte um uns herum können sich entweder in einer geraden Linie oder entlang einer gekrümmten Bahn bewegen, zum Beispiel in einem Kreis.

Bei einer Bewegung in einer geraden Linie ändert die Geschwindigkeit des Körpers nur seinen Betrag, behält aber seine Richtung bei. Damit lässt sich die Gesamtbeschleunigung wie folgt berechnen:

a=dv/dt.

Beachten Sie, dass wir die Vektorsymbole über Geschwindigkeit und Beschleunigung weggelassen haben. Da die volle Beschleunigung tangential zur geradlinigen Bahn gerichtet ist, wird sie als tangential oder tangential bezeichnet. Dieser Beschleunigungsanteil beschreibt nur die Betragsänderung der Geschwindigkeit.

Nehmen wir nun an, dass sich der Körper auf einer gekrümmten Bahn bewegt. In diesem Fall kann seine Geschwindigkeit dargestellt werden als:

v¯=vu¯.

wobei u¯ der Einheitsgeschwindigkeitsvektor ist, der entlang der Tangente an die Trajektorienkurve gerichtet ist. Dann kann die Gesamtbeschleunigung in dieser Form geschrieben werden:

a¯=dv¯/dt=d(vu¯)/dt=dv/dtu¯ + vdu¯/dt.

Dies ist die ursprüngliche Formel für Normal-, Tangential- und Gesamtbeschleunigung. Wie Sie sehen können, besteht die Gleichheit auf der rechten Seite aus zwei Termen. Der zweite von ihnen ist nur bei krummliniger Bewegung von Null verschieden.

Formeln für Tangentialbeschleunigung und Normalbeschleunigung

Die Formel für den Tangentialanteil der Gesamtbeschleunigung wurde oben schon angegeben, schreiben wir sie noch einmal auf:

a_{t¯=dv/dtu¯.}

Die Formel zeigt, dass die Tangentialbeschleunigung nicht davon abhängt, wohin der Geschwindigkeitsvektor gerichtet ist und ob er sich zeitlich ändert. Sie wird allein durch die Änderung des Absolutwerts v bestimmt.

Schreiben Sie nun die zweite Komponente auf - Normalbeschleunigung a_¯:

a_¯=vdu¯/dt.

Es ist leicht, geometrisch zu zeigen, dass diese Formel zu dieser Form vereinfacht werden kann:

a¯=v²/rr_e¯.

Hierbei ist r die Krümmung der Bahn (bei einem Kreis ist es ihr Radius), r_{e¯ ist ein zum Krümmungsmittelpunkt gerichteter Elementarvektor. Wir haben ein interessantes Ergebnis erh alten: Die Normalkomponente der Beschleunigung unterscheidet sich von der Tangentialkomponente dadurch, dass sie völlig unabhängig von der Änderung des Geschwindigkeitsmoduls ist. Ohne diese Änderung gibt es also keine Tangentialbeschleunigung, und die normale nimmt einen bestimmten Wert an.}

Die normale Beschleunigung ist auf den Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn gerichtet, daher wird sie zentripetal genannt. Der Grund für sein Auftreten sind die zentralen Kräfte im System, die die Flugbahn ändern. Das ist zum Beispiel die Schwerkraft, wenn sich die Planeten um die Sterne drehen, oder die Spannung des Seils, wenn sich der daran befestigte Stein dreht.

Vollkreisbeschleunigung

Nachdem wir uns mit den Konzepten und Formeln der Tangentialbeschleunigung und der Normalbeschleunigung befasst haben, können wir nun mit der Berechnung der Gesamtbeschleunigung fortfahren. Lösen wir dieses Problem am Beispiel der Drehung eines Körpers im Kreis um eine Achse.

Die betrachteten beiden Beschleunigungskomponenten sind in einem Winkel von 90°ozueinander gerichtet (tangential und zum Krümmungsmittelpunkt). Diese Tatsache sowie die Eigenschaft der Summe von Vektoren kann zur Berechnung der Gesamtbeschleunigung verwendet werden. Wir erh alten:

a=√(a_t2^{+ a}2).

Aus der Formel für Voll-, Normal- und Tangentialbeschleunigungen (Beschleunigungen a _{und a}t_{) folgen zwei wichtige Schlussfolgerungen:}

• Bei geradliniger Bewegung von Körpern fällt die volle Beschleunigung mit der tangentialen zusammen.
• Bei gleichförmiger Kreisdrehung hat die Gesamtbeschleunigung nur einen Normalanteil.

Bei Kreisbewegungen hält die Zentripetalkraft, die dem Körper eine Beschleunigung _{verleiht, ihn auf einer Kreisbahn und verhindert so die fiktive Zentrifugalkraft.}