Mathematik ist im Wesentlichen eine abstrakte Wissenschaft, wenn wir uns von elementaren Konzepten entfernen. Auf ein paar Äpfeln können Sie also die grundlegenden Operationen, die der Mathematik zugrunde liegen, visuell darstellen, aber sobald die Aktivitätsebene erweitert wird, werden diese Objekte unzureichend. Hat jemand versucht, Operationen an unendlichen Mengen an Äpfeln darzustellen? Das ist das Ding, nein. Je komplexer die Begriffe wurden, mit denen die Mathematik in ihren Urteilen operiert, desto problematischer erschien ihr visueller Ausdruck, der das Verständnis erleichtern sollte. Zum Glück sowohl moderner Studenten als auch der Wissenschaft im Allgemeinen wurden jedoch Euler-Kreise abgeleitet, deren Beispiele und Möglichkeiten wir weiter unten betrachten werden.
Ein bisschen Geschichte
Am 17. April 1707 schenkte die Welt der Wissenschaft Leonhard Euler, einen bemerkenswerten Wissenschaftler, dessen Beitrag zur Mathematik, Physik, zum Schiffsbau und sogar zur Musiktheorie nicht hoch genug eingeschätzt werden kann.
Seine Arbeiten sind bis heute weltweit anerkannt und gefragt, obwohl die Wissenschaft nicht stillsteht. Von besonderem Interesse ist die Tatsache, dass Herr Euler direkt an der Bildung der russischen Schule für höhere Mathematik beteiligt war, zumal er durch den Willen des Schicksals zweimal in unseren Staat zurückgekehrt ist. Der Wissenschaftler hatte die einzigartige Fähigkeit, in seiner Logik transparente Algorithmen zu bauen, alles Überflüssige abzuschneiden und in kürzester Zeit vom Allgemeinen zum Besonderen zu gelangen. Wir werden nicht alle seine Verdienste auflisten, da dies viel Zeit in Anspruch nehmen wird, und wir werden uns direkt dem Thema des Artikels zuwenden. Er war es, der vorschlug, eine grafische Darstellung von Operationen an Sets zu verwenden. Euler-Kreise sind in der Lage, die Lösung jedes, selbst des komplexesten Problems zu visualisieren.
Was ist der Sinn?
In der Praxis können Euler-Kreise, deren Schema unten gezeigt wird, nicht nur in der Mathematik verwendet werden, da der Begriff "Menge" nicht nur dieser Disziplin inhärent ist. Sie werden also erfolgreich im Management eingesetzt.
Das obige Diagramm zeigt die Beziehungen der Mengen A (irrationale Zahlen), B (rationale Zahlen) und C (natürliche Zahlen). Die Kreise zeigen, dass Menge C in Menge B enth alten ist, während Menge A sich in keiner Weise mit ihnen schneidet. Das Beispiel ist das einfachste, aber es erklärt deutlich die Besonderheiten von "Beziehungen von Mengen", die für einen wirklichen Vergleich zu abstrakt sind, schon allein wegen ihrer Unendlichkeit.
Algebra der Logik
Dieser BereichDie mathematische Logik arbeitet mit Aussagen, die sowohl wahr als auch falsch sein können. Zum Beispiel aus der Grundstufe: Die Zahl 625 ist durch 25 teilbar, die Zahl 625 ist durch 5 teilbar, die Zahl 625 ist eine Primzahl. Die erste und zweite Aussage sind wahr, während die letzte falsch ist. Natürlich ist in der Praxis alles komplizierter, aber das Wesentliche wird klar gezeigt. Und natürlich sind Euler-Kreise wieder an der Lösung beteiligt, Beispiele mit ihrer Verwendung sind zu bequem und visuell, um ignoriert zu werden.
Ein bisschen Theorie:
- Wenn die Mengen A und B existieren und nicht leer sind, dann sind für sie die folgenden Schnitt-, Vereinigungs- und Negationsoperationen definiert.
- Die Schnittmenge der Mengen A und B besteht aus Elementen, die gleichzeitig sowohl zur Menge A als auch zur Menge B gehören.
- Die Vereinigung der Mengen A und B besteht aus Elementen, die zu Menge A oder Menge B gehören.
- Die Negation der Menge A ist eine Menge, die aus Elementen besteht, die nicht zur Menge A gehören.
All dies wird durch die Euler-Kreise in der Logik noch einmal dargestellt, da mit ihrer Hilfe jede Aufgabe, unabhängig vom Grad der Komplexität, offensichtlich und anschaulich wird.
Axiome der Algebra der Logik
Angenommen, dass 1 und 0 existieren und in Menge A definiert sind, dann:
- Negation der Negation von Menge A ist Menge A;
- Vereinigung von Menge A mit not_A ist 1;
- Vereinigung von Menge A mit 1 ist 1;
- Vereinigung von Menge A mit sich selbst ist Menge A;
- Vereinigung von Menge Amit 0 gibt es eine Menge A;
- Schnittmenge von Menge A mit not_A ist 0;
- die Schnittmenge von Menge A mit sich selbst ist Menge A;
- Schnittpunkt von Menge A mit 0 ist 0;
- der Schnittpunkt von Menge A mit 1 ist Menge A.
Grundlegende Eigenschaften der Algebra der Logik
Sätze A und B existieren und sind nicht leer, dann:
- für Schnitt und Vereinigung der Mengen A und B gilt das Kommutativgesetz;
- das Kombinationsgesetz gilt für Schnittmenge und Vereinigung der Mengen A und B;
- Distributivgesetz gilt für den Durchschnitt und die Vereinigung der Mengen A und B;
- die Negation der Schnittmenge der Mengen A und B ist die Schnittmenge der Negationen der Mengen A und B;
- die Negation der Vereinigung der Mengen A und B ist die Vereinigung der Negationen der Mengen A und B.
Das Folgende zeigt Euler-Kreise, Beispiele für Schnittmenge und Vereinigung der Mengen A, B und C.
Aussichten
Die Arbeiten von Leonhard Euler gelten zu Recht als Grundlage der modernen Mathematik, werden aber heute erfolgreich in Bereichen menschlicher Tätigkeit eingesetzt, die erst seit relativ kurzer Zeit entstanden sind, beispielsweise in der Unternehmensführung: Eulers Kreise, Beispiele und Graphen beschreiben die Mechanismen der Entwicklungsmodelle, sei es russische oder englisch-amerikanische Version.
