Leonhard Euler (1707-1783) - berühmter Schweizer und russischer Mathematiker, Mitglied der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften, lebte den größten Teil seines Lebens in Russland. Der bekannteste in der mathematischen Analyse, Statistik, Informatik und Logik ist der Euler-Kreis (Euler-Venn-Diagramm), der verwendet wird, um den Umfang von Konzepten und Mengen von Elementen zu bezeichnen.
John Venn (1834-1923) - englischer Philosoph und Logiker, Co-Autor des Euler-Venn-Diagramms.
Kompatible und inkompatible Konzepte
Unter dem Begriff versteht man in der Logik eine Denkform, die die wesentlichen Merkmale einer Klasse homogener Objekte widerspiegelt. Sie werden mit einem oder mehreren Wörtern bezeichnet: „Weltkarte“, „dominanter Quint-Septakkord“, „Montag“usw.
Wenn die Elemente des Geltungsbereichs eines Begriffs ganz oder teilweise zum Geltungsbereich eines anderen gehören, spricht man von kompatiblen Begriffen. Wenn jedoch kein Element des Geltungsbereichs eines bestimmten Konzepts zum Geltungsbereich eines anderen gehört, haben wir inkompatible Konzepte.
Jeder Konzepttyp wiederum hat seine eigenen möglichen Beziehungen. Bei kompatiblen Konzepten sind dies:
- Identität (Äquivalenz) von Volumes;
- Kreuzung (teilweise Übereinstimmung)Bände;
- Unterordnung (Unterordnung).
Für inkompatibel:
- Unterordnung (Koordination);
- Gegenteil (Gegensatz);
- Widerspruch (Widerspruch).
Schematisch werden Beziehungen zwischen Begriffen in der Logik normalerweise mit Euler-Venn-Kreisen bezeichnet.
Äquivalenzbeziehungen
In diesem Fall bedeuten die Begriffe dasselbe Thema. Dementsprechend sind die Volumina dieser Konzepte völlig gleich. Zum Beispiel:
A - Sigmund Freud;
B ist der Begründer der Psychoanalyse.
Oder:
A ist ein Quadrat;
B ist ein gleichseitiges Rechteck;
C ist eine gleichwinklige Raute.
Zur Bezeichnung werden vollständig deckungsgleiche Eulerkreise verwendet.
Kreuzung (teilweise Übereinstimmung)
Diese Kategorie umfasst Konzepte, die gemeinsame Elemente haben, die sich auf das Kreuzen beziehen. Das heißt, das Volumen eines der Konzepte ist teilweise im Volumen des anderen enth alten:
A - Lehrer;
B ist ein Musikliebhaber.
Wie an diesem Beispiel zu sehen ist, stimmen die Begriffsbände teilweise überein: Eine bestimmte Gruppe von Lehrern kann sich als Musikliebhaber herausstellen und umgekehrt - unter Musikliebhabern können sich Vertreter des Lehrerberufs befinden. Eine ähnliche H altung wird in dem Fall eintreten, wenn Konzept A beispielsweise ein „Bürger“und B ein „Fahrer“ist.
Unterordnung (Unterordnung)
Schematisch bezeichnet als Euler-Kreise unterschiedlicher Maßstäbe. BeziehungenZwischenbegriffe sind in diesem Fall dadurch gekennzeichnet, dass der untergeordnete Begriff (volumenmäßig kleiner) vollständig im untergeordneten (volumenmäßig größer) enth alten ist. Gleichzeitig erschöpft der untergeordnete Begriff den untergeordneten nicht vollständig.
Zum Beispiel:
A - Baum;
B - Kiefer.
Konzept B wird Konzept A untergeordnet. Da Kiefer zu den Bäumen gehört, wird Konzept A in diesem Beispiel untergeordnet und "nimmt" den Geltungsbereich von Konzept B auf.
Koordination (Koordination)
Relation charakterisiert zwei oder mehr Konzepte, die sich gegenseitig ausschließen, aber einem bestimmten gemeinsamen Gattungskreis angehören. Zum Beispiel:
A – Klarinette;
B - Gitarre;
C - Violine;
D ist ein Musikinstrument.
Die Begriffe A, B, C überschneiden sich zwar nicht, gehören aber alle zur Kategorie der Musikinstrumente (der Begriff D).
Gegenteil (Gegenteil)
Gegensätzliche Beziehungen zwischen Konzepten implizieren, dass diese Konzepte zur gleichen Gattung gehören. Gleichzeitig hat eines der Konzepte bestimmte Eigenschaften (Merkmale), während das andere sie leugnet und sie durch entgegengesetzte in der Natur ersetzt. Wir haben es also mit Antonyme zu tun. Zum Beispiel:
A ist ein Zwerg;
B ist ein Riese.
Euler-Kreis mit entgegengesetzten Beziehungen zwischen Konzeptenist in drei Segmente unterteilt, von denen das erste dem Konzept A, das zweite dem Konzept B und das dritte allen anderen möglichen Konzepten entspricht.
Widerspruch (Widerspruch)
In diesem Fall sind beide Konzepte Arten derselben Gattung. Wie im vorherigen Beispiel weist einer der Begriffe auf bestimmte Qualitäten (Merkmale) hin, während der andere sie verneint. Im Gegensatz zum Gegensatzverhältnis ersetzt der zweite, entgegengesetzte Begriff jedoch nicht die geleugneten Eigenschaften durch andere, alternative. Zum Beispiel:
A ist eine schwierige Aufgabe;
B ist eine leichte Aufgabe (nicht-A).
Um die Menge an Konzepten dieser Art auszudrücken, wird der Euler-Kreis in zwei Teile geteilt - das dritte Zwischenglied existiert in diesem Fall nicht. Somit sind die Begriffe auch Antonyme. Gleichzeitig wird einer von ihnen (A) positiv (Bestätigung eines Merkmals) und der zweite (B oder Nicht-A) negativ (Verneinung des entsprechenden Merkmals): „weißes Papier“- „nicht weißes Papier“, „ nationale Geschichte“– „ausländische Geschichte“usw.
Daher ist das Verhältnis der Volumina von Begriffen zueinander ein Schlüsselmerkmal, das Euler-Kreise definiert.
Beziehungen zwischen Mengen
Es ist auch notwendig, zwischen den Konzepten von Elementen und Mengen zu unterscheiden, deren Volumen durch Euler-Kreise angezeigt wird. Der Begriff einer Menge ist der mathematischen Wissenschaft entlehnt und hat eine ziemlich breite Bedeutung. Beispiele in Logik und Mathematik zeigen es als eine bestimmte Menge von Objekten. Die Objekte selbst sindElemente dieses Sets. „Vieles ist Vieles als eines gedacht“(Georg Kantor, Begründer der Mengenlehre).
Mengen werden in Großbuchstaben bezeichnet: A, B, C, D… usw., Elemente von Mengen werden in Kleinbuchstaben bezeichnet: a, b, c, d… usw. Beispiele für eine Menge können Schüler sein, die befinden sich in einem Klassenzimmer, Bücher in einem bestimmten Regal (oder zum Beispiel alle Bücher in einer bestimmten Bibliothek), Seiten in einem Tagebuch, Beeren in einer Waldlichtung usw.
Wenn wiederum eine bestimmte Menge kein einziges Element enthält, dann wird sie leer genannt und mit dem Zeichen Ø bezeichnet. Beispielsweise die Menge der Schnittpunkte paralleler Geraden, die Menge der Lösungen der Gleichung x2=-5.
Problemlösung
Euler-Kreise werden aktiv eingesetzt, um eine große Anzahl von Problemen zu lösen. Beispiele in der Logik zeigen deutlich die Verbindung zwischen logischen Operationen und Mengenlehre. In diesem Fall werden Wahrheitstabellen von Konzepten verwendet. Beispielsweise repräsentiert der mit A bezeichnete Kreis den Wahrheitsbereich. Der Bereich außerhalb des Kreises wird also falsch darstellen. Um den Bereich des Diagramms für eine logische Operation zu bestimmen, sollten Sie die Bereiche schattieren, die den Euler-Kreis definieren, in dem seine Werte für die Elemente A und B wahr sind.
Die Verwendung von Euler-Kreisen hat in verschiedenen Branchen breite praktische Anwendung gefunden. Zum Beispiel in einer Situation mit Berufswahl. Wenn der Proband Bedenken hinsichtlich der Wahl eines zukünftigen Berufs hat, kann er sich an folgenden Kriterien orientieren:
W – was mache ich gerne?
D – was mache ich?
P– Wie kann ich gutes Geld verdienen?
Zeichnen wir das mal als Diagramm: Euler-Kreise (Beispiele in Logik - Schnittmenge):
Das Ergebnis sind die Berufe, die sich am Schnittpunkt aller drei Kreise befinden.
Euler-Venn-Kreise nehmen in der Mathematik (Mengenlehre) bei der Berechnung von Kombinationen und Eigenschaften einen eigenen Platz ein. Die Euler-Kreise der Elementmenge sind in das Bild eines Rechtecks eingeschlossen, das die universelle Menge (U) bezeichnet. Anstelle von Kreisen können auch andere geschlossene Figuren verwendet werden, aber das Wesentliche ändert sich nicht. Die Figuren überschneiden sich entsprechend den Bedingungen des Problems (im allgemeinsten Fall). Auch diese Zahlen sind entsprechend zu kennzeichnen. Die Elemente der betrachteten Mengen können Punkte sein, die sich innerhalb verschiedener Segmente des Diagramms befinden. Darauf basierend können Sie bestimmte Bereiche schattieren und so die neu gebildeten Sets kennzeichnen.
Mit diesen Mengen ist es möglich, grundlegende mathematische Operationen auszuführen: Addition (Summe von Mengen von Elementen), Subtraktion (Differenz), Multiplikation (Produkt). Außerdem ist es dank der Euler-Venn-Diagramme möglich, Mengen anhand der Anzahl der darin enth altenen Elemente zu vergleichen, ohne sie zu zählen.
