Unter allen Gesetzen der Wahrscheinlichkeitstheorie kommt das Normalverteilungsgesetz am häufigsten vor, sogar häufiger als das Gleichverteilungsgesetz. Vielleicht hat dieses Phänomen eine tiefe fundamentale Natur. Denn diese Art der Verteilung ist auch dann zu beobachten, wenn mehrere Faktoren an der Darstellung einer Reihe von Zufallsvariablen beteiligt sind, die sich jeweils auf ihre Weise auswirken. Die Normalverteilung (oder Gaußsche Verteilung) wird in diesem Fall durch Addition verschiedener Verteilungen erh alten. Der weiten Verbreitung verdankt das Normalverteilungsgesetz seinen Namen.
Immer wenn wir über einen Durchschnitt sprechen, egal ob es sich um monatliche Regenfälle, ein Pro-Kopf-Einkommen oder eine Klassenleistung handelt, wird normalerweise die Normalverteilung verwendet, um ihren Wert zu berechnen. Dieser Durchschnittswert wird als mathematische Erwartung bezeichnet und entspricht dem Maximum in der Grafik (normalerweise als M bezeichnet). Bei einer korrekten Verteilung ist die Kurve symmetrisch um das Maximum, aber in Wirklichkeit ist dies nicht immer der Fall, und zwarerlaubt.
Um das Normalverteilungsgesetz einer Zufallsvariablen zu beschreiben, muss man auch die Standardabweichung (als σ - Sigma bezeichnet) kennen. Es legt die Form der Kurve im Diagramm fest. Je größer σ, desto flacher wird die Kurve. Je kleiner andererseits σ ist, desto genauer wird der Mittelwert der Menge in der Probe bestimmt. Daher muss man bei großen Standardabweichungen sagen, dass der Mittelwert in einem bestimmten Zahlenbereich liegt und keiner Zahl entspricht.
Wie andere Gesetze der Statistik zeigt sich auch das Normalgesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung umso besser, je größer die Stichprobe ist, d.h. die Anzahl der Objekte, die an den Messungen teilnehmen. Allerdings zeigt sich hier ein weiterer Effekt: Bei einer großen Stichprobe wird die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Wert einer Größe einschließlich des Mittelwerts zu erreichen, sehr klein. Werte werden nur um den Durchschnitt herum gruppiert. Daher ist es richtiger zu sagen, dass eine Zufallsvariable mit dieser und jener Wahrscheinlichkeit nahe an einem bestimmten Wert liegen wird.
Stellen Sie fest, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist und die Standardabweichung hilft. Im Intervall "drei Sigma", d.h. M +/- 3σ, passt zu 97,3 % aller Werte in der Stichprobe und etwa 99 % passen in das Fünf-Sigma-Intervall. Diese Intervalle werden normalerweise verwendet, um bei Bedarf die Maximal- und Minimalwerte der Werte in der Probe zu bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Menge herauskommtDas Fünf-Sigma-Intervall ist vernachlässigbar. In der Praxis werden üblicherweise Drei-Sigma-Intervalle verwendet.
Das Normalverteilungsgesetz kann mehrdimensional sein. In diesem Fall wird davon ausgegangen, dass ein Objekt mehrere unabhängige Parameter hat, die in einer Maßeinheit ausgedrückt werden. Beispielsweise wird die vertikale und horizontale Abweichung eines Geschosses von der Zielmitte beim Schuss durch eine zweidimensionale Normalverteilung beschrieben. Der Graph einer solchen Verteilung ähnelt im Idealfall der oben erwähnten Rotationsfigur einer flachen Kurve (Gauß).
