Wie Sie wissen, addieren sich beim Multiplizieren von Ausdrücken mit Potenzen immer ihre Exponenten (abac=ab+ c). Dieses mathematische Gesetz wurde von Archimedes abgeleitet, und später, im 8. Jahrhundert, erstellte der Mathematiker Virasen eine Tabelle ganzzahliger Indikatoren. Sie dienten der weiteren Entdeckung der Logarithmen. Anwendungsbeispiele für diese Funktion finden sich fast überall dort, wo es darum geht, umständliche Multiplikationen zu einfachen Additionen zu vereinfachen. Wenn Sie diesen Artikel 10 Minuten lang lesen, erklären wir Ihnen, was Logarithmen sind und wie Sie damit arbeiten. Einfache und zugängliche Sprache.
Definition in Mathematik
Der Logarithmus ist ein Ausdruck folgender Form: logab=c c" in den man die Basis "a" erhöhen muss, um schließlich den Wert " b". Analysieren wir den Logarithmus anhand von Beispielen, sagen wir, es gibt einen Ausdruck log28. Wie finde ich die Antwort? Es ist sehr einfach, Sie müssen einen solchen Abschluss finden, dass Sie von 2 bis zum erforderlichen Abschluss 8 erh alten. Nachdem Sie einige Berechnungen im Kopf durchgeführt haben, erh alten wir die Zahl 3! Und es ist wahr, denn2 hoch 3 ergibt die Antwort 8.
Varianten von Logarithmen
Für viele Schüler und Studenten scheint dieses Thema kompliziert und unverständlich zu sein, aber in Wirklichkeit sind Logarithmen nicht so beängstigend, die Hauptsache ist, ihre allgemeine Bedeutung zu verstehen und sich an ihre Eigenschaften und einige Regeln zu erinnern. Es gibt drei verschiedene Arten von logarithmischen Ausdrücken:
- Natürlicher Logarithmus ln a, dessen Basis die Euler-Zahl ist (e=2, 7).
- Dezimallogarithmus lg a, wobei die Basis die Zahl 10 ist.
- Logarithmus einer beliebigen Zahl b zur Basis a>1.
Jeder von ihnen wird auf eine Standardweise gelöst, einschließlich Vereinfachung, Reduktion und anschließender Reduktion auf einen Logarithmus unter Verwendung von logarithmischen Theoremen. Um die korrekten Werte von Logarithmen zu erh alten, sollte man sich ihre Eigenschaften und die Reihenfolge der Aktionen bei der Lösung merken.
Regeln und einige Einschränkungen
In der Mathematik gibt es mehrere Regeln-Einschränkungen, die als Axiom akzeptiert werden, das heißt, sie sind nicht verhandelbar und wahr. Zum Beispiel ist es unmöglich, Zahlen durch Null zu teilen, und es ist auch unmöglich, aus negativen Zahlen eine gerade Wurzel zu ziehen. Logarithmen haben auch ihre eigenen Regeln, nach denen Sie leicht lernen können, auch mit langen und umfangreichen logarithmischen Ausdrücken zu arbeiten:
- die Basis von „a“muss immer größer als Null sein und gleichzeitig ungleich 1, sonst verliert der Ausdruck seine Bedeutung, denn „1“und „0“sind in jedem Fall immer gleich ihren Werten;
- wenn a > 0, dann ab>0,es stellt sich heraus, dass "c" auch größer als Null sein muss.
Wie löst man Logarithmen?
Zum Beispiel angesichts der Aufgabe, die Antwort auf die Gleichung 10x=100 zu finden. Es ist sehr einfach, Sie müssen eine solche Potenz wählen und die Zahl zehn erhöhen, wir erh alten Sie 100. Das ist natürlich Nun, quadratische Potenz! 102=100.
Stellen wir diesen Ausdruck nun logarithmisch dar. Wir erh alten log10100=2. Beim Lösen von Logarithmen konvergieren praktisch alle Aktionen darauf, die Potenz zu finden, mit der die Basis des Logarithmus eingesetzt werden muss, um eine gegebene Zahl zu erh alten.
Um den Wert eines unbekannten Grades genau zu bestimmen, müssen Sie lernen, mit der Gradtabelle umzugehen. Das sieht so aus:
Wie Sie sehen können, können einige Exponenten intuitiv erraten werden, wenn Sie eine technische Denkweise und Kenntnisse des Einmaleins haben. Größere Werte erfordern jedoch eine Leistungstabelle. Es kann sogar von denen verwendet werden, die in komplexen mathematischen Themen überhaupt nichts verstehen. Die linke Sp alte enthält Zahlen (Basis a), die oberste Zahlenreihe ist der Wert der Potenz c, zu der die Zahl a erhoben wird. An der Kreuzung definieren die Zellen die Werte der Zahlen, die die Antwort sind (ac=b). Nehmen wir zum Beispiel die allererste Zelle mit der Zahl 10 und quadrieren sie, erh alten wir den Wert 100, der am Schnittpunkt unserer beiden Zellen angezeigt wird. Alles ist so einfach und leicht, dass selbst der echteste Humanist es verstehen wird!
Gleichungen und Ungleichungen
Es stellt sich heraus, wannUnter bestimmten Bedingungen ist der Exponent der Logarithmus. Daher können alle mathematischen Zahlenausdrücke als logarithmische Gleichung geschrieben werden. Zum Beispiel kann 34=81 als Logarithmus von 81 zur Basis 3 geschrieben werden, was vier ist (log381=4). Für negative Grade gelten die gleichen Regeln: 2-5=1/32 als Logarithmus geschrieben, erh alten wir log2 (1/32)=-5. Einer der faszinierendsten Bereiche der Mathematik ist das Thema "Logarithmen". Wir werden Beispiele und Lösungen von Gleichungen etwas weiter unten betrachten, unmittelbar nachdem wir ihre Eigenschaften untersucht haben. Sehen wir uns zunächst einmal an, wie Ungleichungen aussehen und wie man sie von Gleichungen unterscheidet.
Gegeben sei folgender Ausdruck: log2(x-1) > 3 - es handelt sich um eine logarithmische Ungleichung, da der unbekannte Wert "x" unter dem Vorzeichen von steht Logarithmus. Der Ausdruck vergleicht auch zwei Werte: Der Logarithmus zur Basis zwei der gesuchten Zahl ist größer als die Zahl drei.
Der wichtigste Unterschied zwischen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen besteht darin, dass Gleichungen mit Logarithmen (Beispiel - Logarithmus2x=√9) implizieren in der Antwort ein oder mehrere bestimmte numerische Werte, während beim Lösen einer Ungleichung sowohl der Bereich akzeptabler Werte als auch die H altepunkte dieser Funktion bestimmt werden. Folglich ist die Antwort keine einfache Menge einzelner Zahlen, wie bei der Lösung der Gleichung, sondern eine fortlaufende Reihe oder Menge von Zahlen.
Grundlegende Sätze über Logarithmen
Wenn du primitive Aufgaben löst, um die Werte des Logarithmus zu finden, kennst du vielleicht seine Eigenschaften nicht. Wenn es jedoch um logarithmische Gleichungen oder Ungleichungen geht, ist es zunächst notwendig, alle grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen klar zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Wir werden uns später mit den Beispielen für Gleichungen vertraut machen, lassen Sie uns zuerst jede Eigenschaft genauer analysieren.
- Die grundlegende Identität sieht so aus: alogaB=B. Es gilt nur, wenn a größer als 0, ungleich eins und B größer als null ist.
- Der Logarithmus des Produkts lässt sich in folgender Formel darstellen: logd(s1s2)=logds1 + logds2. In diesem Fall lautet die obligatorische Bedingung: d, s1 und s2 > 0; a≠1. Du kannst einen Beweis für diese Logarithmenformel geben, mit Beispielen und einer Lösung. Lassen Sie logas1 =f1 und logas 2=f2, dann af1=s1, a f2=s2. Wir bekommen das s1s2 =af1a f2=af1+f2 (Gradeigenschaften), und weiter per Definition: loga(s1 s2)=f1+ f2=log as1 + logas2, was zu beweisen war.
- Der Logarithmus des Quotienten sieht so aus: loga(s1/s2)=log as1- logas2.
- Der Satz in Form einer Formel hat folgende Form: logaqbn =n/q logab.
Diese Formel wird als "Eigentum des Grades des Logarithmus" bezeichnet. Es ähnelt den Eigenschaften gewöhnlicher Grade, und es ist nicht überraschend, da alle Mathematik auf regelmäßigen Postulaten beruht. Schauen wir uns den Beweis an.
Lass logab=t, wir bekommen at=b. Wenn Sie beide Seiten m potenzieren: atn=b;
aber weil atn=(aq)nt/q=b , also logaq bn=(nt)/t, dann logaq bn=n/q logab. Satz bewiesen.
Beispiele für Probleme und Ungleichheiten
Die häufigsten Arten von Logarithmusaufgaben sind Beispiele für Gleichungen und Ungleichungen. Sie sind in fast allen Aufgabenheften zu finden und gehören auch zum Pflichtteil von Klausuren in Mathematik. Um an einer Universität studieren oder die Aufnahmeprüfungen in Mathematik bestehen zu können, müssen Sie wissen, wie man solche Aufgaben richtig löst.
Leider gibt es keinen einzigen Plan oder Schema zur Lösung und Bestimmung des unbekannten Werts des Logarithmus, aber bestimmte Regeln können auf jede mathematische Ungleichung oder logarithmische Gleichung angewendet werden. Zunächst sollten Sie herausfinden, ob der Ausdruck vereinfacht oder auf eine allgemeine Form gebracht werden kann. Sie können lange logarithmische Ausdrücke vereinfachen, wenn Sie ihre Eigenschaften richtig verwenden. Lernen wir sie bald kennen.
Beim Lösen von logarithmischen Gleichungen,Es ist notwendig zu bestimmen, welche Art von Logarithmus wir vor uns haben: ein Beispiel für einen Ausdruck kann einen natürlichen Logarithmus oder einen Dezimallogarithmus enth alten.
Hier sind Beispiele für dezimale Logarithmen: ln100, ln1026. Ihre Lösung läuft darauf hinaus, dass Sie bestimmen müssen, inwieweit die Basis 10 gleich 100 bzw. 1026 ist. Für Lösungen natürlicher Logarithmen muss man logarithmische Identitäten bzw. deren Eigenschaften anwenden. Schauen wir uns Beispiele für die Lösung von logarithmischen Problemen verschiedener Art an.
So verwenden Sie Logarithmusformeln: mit Beispielen und Lösungen
Sehen wir uns also Beispiele für die Verwendung der Hauptsätze über Logarithmen an.
- Die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen es notwendig ist, einen großen Wert der Zahl b in einfachere Faktoren zu zerlegen. Beispiel: log24 + log2128=log2(4128)=log2512. Die Antwort ist 9.
- log48=log22 23 =3/2 log22=1, 5 - wie Sie sehen können, haben wir es durch Anwendung der vierten Eigenschaft des Grades des Logarithmus auf den ersten Blick geschafft ein komplexer und unlösbarer Ausdruck. Alles, was Sie tun müssen, ist die Basis zu faktorisieren und dann das Vorzeichen des Logarithmus zu potenzieren.
Aufgaben aus der Prüfung
Logarithmen findet man oft in Aufnahmeprüfungen, besonders viele logarithmische Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen (Staatsexamen für alle Schulabgänger). Normalerweise sind diese Aufgaben nicht nur in Teil A (die meisteneinfacher Testteil der Prüfung), sondern auch in Teil C (die schwierigsten und umfangreichsten Aufgaben). Die Prüfung setzt genaue und perfekte Kenntnisse des Themas "Natürliche Logarithmen" voraus.
Beispiele und Problemlösungen stammen aus den offiziellen Versionen der Prüfung. Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.
Gegeben log2(2x-1)=4. Lösung:
Schreibe den Ausdruck um und vereinfache ihn etwas log2(2x-1)=22, durch die Definition des Logarithmus erh alten wir 2x-1=24, also 2x=17; x=8, 5.
Befolgen Sie einige Richtlinien, nach denen Sie alle Gleichungen, die Ausdrücke enth alten, die unter dem Vorzeichen des Logarithmus stehen, leicht lösen können.
- Am besten kürzen Sie alle Logarithmen auf dieselbe Basis, damit die Lösung nicht umständlich und verwirrend wird.
- Alle Ausdrücke unter dem Logarithmuszeichen werden als positiv angezeigt. Wenn also der Exponent des Ausdrucks, der unter dem Logarithmuszeichen steht, mit seiner Basis multipliziert wird, muss der unter dem Logarithmus verbleibende Ausdruck positiv sein.
