Matrizen und Determinanten wurden im 18. und 19. Jahrhundert entdeckt. Ihre Entwicklung betraf zunächst die Transformation geometrischer Objekte und die Lösung linearer Gleichungssysteme. Historisch gesehen lag die frühe Betonung auf der Determinante. In modernen Verarbeitungsverfahren der linearen Algebra werden zuerst Matrizen betrachtet. Es lohnt sich, über diese Frage eine Weile nachzudenken.
Antworten aus diesem Wissensgebiet
Matrizen bieten einen theoretisch und praktisch nützlichen Weg, um viele Probleme zu lösen, wie zum Beispiel:
- Systeme linearer Gleichungen;
- Festkörpergleichgewicht (in der Physik);
- Graphentheorie;
- Leontiefs Wirtschaftsmodell;
- Forstwirtschaft;
- Computergrafik und Tomographie;
- Genetik;
- Kryptographie;
- Stromnetze;
- Fraktal.
Matrix-Algebra für "Dummies" hat tatsächlich eine vereinfachte Definition. Es wird wie folgt ausgedrückt: Dies ist ein wissenschaftliches Wissensgebiet, in demDie betreffenden Werte werden untersucht, analysiert und vollständig erforscht. In diesem Abschnitt der Algebra werden verschiedene Operationen mit den untersuchten Matrizen untersucht.
Arbeiten mit Matrizen
Diese Werte gelten als gleich, wenn sie die gleichen Abmessungen haben und jedes Element des einen gleich dem entsprechenden Element des anderen ist. Es ist möglich, eine Matrix mit einer beliebigen Konstante zu multiplizieren. Diese Gegebenheit nennt man Skalarmultiplikation. Beispiel: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matrizen gleicher Größe können durch Eingaben addiert und subtrahiert werden, und Werte kompatibler Größen können multipliziert werden. Beispiel: Addiere zwei A und B: A=[21−10]B=[1423]. Dies ist möglich, weil A und B beide Matrizen mit zwei Zeilen und der gleichen Anzahl von Sp alten sind. Es ist notwendig, jedes Element in A zu dem entsprechenden Element in B zu addieren: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matrizen werden in der Algebra auf die gleiche Weise subtrahiert.
Matrixmultiplikation funktioniert etwas anders. Darüber hinaus kann es viele Fälle und Optionen sowie Lösungen geben. Wenn wir die Matrix Apq und Bmn multiplizieren, dann ist das Produkt Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Der Eintrag in der g-ten Zeile und der h-ten Sp alte von AB ist die Summe des Produkts der entsprechenden Einträge in g A und h B. Es ist nur möglich, zwei Matrizen zu multiplizieren, wenn die Anzahl der Sp alten in der ersten und der Zeilen in der zweiten sind gleich. Beispiel: erfülle die Bedingung für betrachtetes A und B: A=[1−130]B=[2−11214]. Dies ist möglich, da die erste Matrix 2 Sp alten und die zweite 2 Zeilen enthält. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Grundlegende Informationen zu Matrizen
Die fraglichen Werte organisieren Informationen wie Variablen und Konstanten und speichern sie in Zeilen und Sp alten, die normalerweise als C bezeichnet werden. Jede Position in der Matrix wird als Element bezeichnet. Beispiel: C=[1234]. Besteht aus zwei Zeilen und zwei Sp alten. Element 4 befindet sich in Zeile 2 und Sp alte 2. Normalerweise kann man eine Matrix nach ihren Dimensionen benennen, die mit dem Namen Cmk hat m Zeilen und k Sp alten.
Erweiterte Matrizen
Überlegungen sind unglaublich nützliche Dinge, die in vielen verschiedenen Anwendungsbereichen auftauchen. Matrizen basierten ursprünglich auf linearen Gleichungssystemen. Bei folgender Ungleichungsstruktur muss die folgende komplementäre Matrix berücksichtigt werden:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Schreiben Sie Koeffizienten und Antwortwerte auf, einschließlich aller Minuszeichen. Wenn das Element eine negative Zahl hat, dann ist es gleich "1". Das heißt, einem System von (linearen) Gleichungen kann eine Matrix (Zahlengitter in Klammern) zugeordnet werden. Es ist derjenige, der nur die Koeffizienten des linearen Systems enthält. Dies wird als "erweiterte Matrix" bezeichnet. Das Gitter, das die Koeffizienten von der linken Seite jeder Gleichung enthält, wurde mit den Antworten von der rechten Seite jeder Gleichung "aufgefüllt".
Aufzeichnungen, das heißtdie B-Werte der Matrix entsprechen den x-, y- und z-Werten im Originalsystem. Wenn es richtig angeordnet ist, dann überprüfen Sie es zuerst. Manchmal müssen Sie die Terme neu anordnen oder Nullen als Platzh alter in die zu untersuchende oder zu untersuchende Matrix einfügen.
Bei folgendem Gleichungssystem können wir sofort die zugehörige erweiterte Matrix schreiben:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Stellen Sie zuerst sicher, dass Sie das System wie folgt neu anordnen:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Dann ist es möglich, die zugehörige Matrix zu schreiben als: [11000113-1012]. Bei der Bildung eines erweiterten lohnt es sich, für jeden Datensatz, bei dem die entsprechende Stelle im linearen Gleichungssystem leer ist, Null zu verwenden.
Matrixalgebra: Eigenschaften von Operationen
Wenn es notwendig ist, Elemente nur aus Koeffizientenwerten zu bilden, sieht der betrachtete Wert so aus: [110011-101]. Dies wird als "Koeffizientenmatrix" bezeichnet.
Unter Berücksichtigung der folgenden erweiterten Matrizenalgebra ist es notwendig, diese zu verbessern und das zugehörige lineare System hinzuzufügen. Abgesehen davon ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Variablen gut angeordnet und ordentlich sein müssen. Und normalerweise, wenn es drei Variablen gibt, verwenden Sie x, y und z in dieser Reihenfolge. Daher sollte das zugehörige lineare System sein:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Matrixgröße
Die fraglichen Items werden oft durch ihre Leistung bezeichnet. Die Größe einer Matrix in der Algebra wird angegeben alsMaße, da der Raum auch anders heißen kann. Gemessene Werte sind Zeilen und Sp alten, nicht Breite und Länge. Zum Beispiel Matrix A:
[1234]
[2345]
[3456].
Da A drei Zeilen und vier Sp alten hat, ist A 3 × 4 groß.
→
↓
Linien verlaufen seitwärts. Die Säulen gehen auf und ab. „Zeile“und „Sp alte“sind Angaben und nicht austauschbar. Matrixgrößen werden immer mit der Anzahl der Zeilen und dann der Anzahl der Sp alten angegeben. Nach dieser Konvention das folgende B:
[123]
[234] ist 2 × 3. Wenn eine Matrix die gleiche Anzahl von Zeilen wie Sp alten hat, wird sie als "Quadrat" bezeichnet. Zum Beispiel Koeffizientenwerte von oben:
[110]
[011]
[-101] ist eine quadratische 3×3-Matrix.
Matrixschreibweise und Formatierung
Formatierungshinweis: Wenn Sie beispielsweise eine Matrix schreiben müssen, ist es wichtig, eckige Klammern zu verwenden. Absolutwertbalken || werden nicht verwendet, da sie in diesem Zusammenhang eine andere Richtung haben. Klammern oder geschweifte Klammern {} werden nie verwendet. Oder ein anderes Gruppierungssymbol oder gar keins, da diese Darstellungen keine Bedeutung haben. In der Algebra steht eine Matrix immer in eckigen Klammern. Es darf nur die richtige Schreibweise verwendet werden, oder die Antworten können als verstümmelt betrachtet werden.
Wie bereits erwähnt, werden die in einer Matrix enth altenen Werte Datensätze genannt. Aus welchen Gründen auch immer, die fraglichen Elemente werden normalerweise geschriebenGroßbuchstaben, wie A oder B, und Einträge werden mit den entsprechenden Kleinbuchstaben, aber tiefgestellten Buchstaben angegeben. In Matrix A heißen die Werte üblicherweise „ai, j“, wobei i die Zeile von A und j die Sp alte von A ist. Zum Beispiel a3, 2=8. Der Eintrag für a1, 3 ist 3.
Bei kleineren Matrizen mit weniger als zehn Zeilen und Sp alten wird manchmal das tiefgestellte Komma weggelassen. Beispielsweise könnte „a1, 3=3“als „a13=3“geschrieben werden. Offensichtlich funktioniert dies nicht für große Matrizen, da a213 undurchsichtig ist.
Matrixtypen
Manchmal nach ihrer Datensatzkonfiguration klassifiziert. Beispielsweise wird eine solche Matrix, die alle Nulleinträge unterhalb der Diagonale oben-links-unten-rechts "diagonal" hat, als oberes Dreieck bezeichnet. Unter anderem kann es andere Arten und Arten geben, aber sie sind nicht sehr nützlich. Im Allgemeinen meist als oberes Dreieck wahrgenommen. Werte mit Exponenten ungleich Null nur horizontal werden als Diagonalwerte bezeichnet. Ähnliche Typen haben Einträge ungleich Null, bei denen alle 1 sind, solche Antworten werden als identisch bezeichnet (aus Gründen, die klar werden, wenn man lernt und versteht, wie man die fraglichen Werte multipliziert). Es gibt viele ähnliche Forschungsindikatoren. Die 3 × 3-Identität wird mit I3 bezeichnet. Ebenso ist die 4 × 4-Identität I4.
Matrixalgebra und lineare Räume
Beachte, dass dreieckige Matrizen quadratisch sind. Aber die Diagonalen sind dreieckig. In Anbetracht dessen sind sie esQuadrat. Und Identitäten gelten als Diagonalen und sind daher dreieckig und quadratisch. Wenn es darum geht, eine Matrix zu beschreiben, gibt man normalerweise einfach seine eigene spezifischste Klassifizierung an, da diese alle anderen impliziert. Klassifizieren Sie die folgenden Forschungsoptionen:als 3 × 4. In diesem Fall sind sie nicht quadratisch. Daher können die Werte nichts anderes sein. Die folgende Klassifizierung:ist als 3 × 3 möglich. Aber es wird als Quadrat betrachtet, und es gibt nichts Besonderes daran. Klassifizierung der folgenden Daten:als 3 × 3 oberes Dreieck, aber es ist nicht diagonal. In den betrachteten Werten können sich zwar zusätzliche Nullen auf oder über dem lokalisierten und angezeigten Leerzeichen befinden. Die zu untersuchende Klassifikation ist weiterhin: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], wobei sie als Diagonale dargestellt wird und außerdem die Einträge alle 1 sind. Dann ist dies eine 3 × 3-Identität, I3.
Da analoge Matrizen per Definition quadratisch sind, brauchen Sie nur einen einzigen Index zu verwenden, um ihre Dimensionen zu finden. Damit zwei Matrizen gleich sind, müssen sie dieselben Parameter haben und dieselben Einträge an denselben Stellen haben. Angenommen, es werden zwei Elemente betrachtet: A=[1 3 0] [-2 0 0] und B=[1 3] [-2 0]. Diese Werte können nicht gleich sein, da sie unterschiedlich groß sind.
Auch wenn A und B sind: A=[3 6] [2 5] [1 4] und B=[1 2 3] [4 5 6] - sie sind immer noch nicht gleich gleiche Sache. A und B haben jeweilssechs Einträge haben und auch die gleichen Nummern haben, aber das reicht für Matrizen nicht aus. A ist 3 × 2. Und B ist eine 2 × 3-Matrix. A für 3 × 2 ist nicht 2 × 3. Es spielt keine Rolle, ob A und B die gleiche Datenmenge oder sogar die gleichen Nummern wie die Datensätze haben. Wenn A und B nicht die gleiche Größe und Form haben, aber an ähnlichen Stellen identische Werte haben, sind sie nicht gleich.
Ähnliche Vorgänge im Betrachtungsgebiet
Diese Eigenschaft der Matrixgleichheit kann in Aufgaben für unabhängige Forschung umgewandelt werden. Beispielsweise sind zwei Matrizen gegeben, und es wird angezeigt, dass sie gleich sind. In diesem Fall müssen Sie diese Gleichheit verwenden, um die Werte der Variablen zu untersuchen und Antworten zu erh alten.
Beispiele und Lösungen von Matrizen in der Algebra können variiert werden, besonders wenn es um Gleichheiten geht. Da die folgenden Matrizen betrachtet werden, ist es notwendig, die x- und y-Werte zu finden. Damit A und B gleich sind, müssen sie die gleiche Größe und Form haben. Tatsächlich sind sie solche, weil jede von ihnen 2 × 2-Matrizen ist. Und sie sollten an den gleichen Stellen die gleichen Werte haben. Dann muss a1, 1 gleich b1, 1, a1, 2 gleich b1, 2 usw. sein. Aber a1, 1=1 ist offensichtlich nicht gleich b1, 1=x. Damit A mit B identisch ist, muss der Eintrag a1, 1=b1, 1 haben, also kann er 1=x sein. Ebenso sind die Indizes a2, 2=b2, 2, also 4=y. Dann lautet die Lösung: x=1, y=4. Gegeben sei folgendesMatrizen gleich sind, müssen Sie die Werte von x, y und z finden. Um A=B zu haben, müssen die Koeffizienten alle Einträge gleich haben. Das heißt, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 und so weiter. Insbesondere muss:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Wie Sie den ausgewählten Matrizen entnehmen können: mit 1,1-, 2,2- und 3,1-Elementen. Wenn wir diese drei Gleichungen lösen, erh alten wir die Antwort: x=4, y=-6 und z=9. Matrixalgebra und Matrixoperationen sind anders als das, was jeder gewohnt ist, aber sie sind nicht reproduzierbar.
Weitere Informationen in diesem Bereich
Lineare Matrizenalgebra ist das Studium ähnlicher Gleichungssysteme und ihrer Transformationseigenschaften. Dieses Wissensgebiet ermöglicht es Ihnen, Drehungen im Raum zu analysieren, kleinste Quadrate zu approximieren, zugehörige Differentialgleichungen zu lösen, einen Kreis zu bestimmen, der durch drei gegebene Punkte verläuft, und viele andere Probleme in Mathematik, Physik und Technik zu lösen. Die lineare Algebra einer Matrix ist nicht wirklich der technische Sinn des verwendeten Wortes, also ein Vektorraum v über einem Körper f usw.
Matrix und Determinante sind äußerst nützliche Werkzeuge der linearen Algebra. Eine der zentralen Aufgaben ist die Lösung der Matrixgleichung Ax=b, für x. Obwohl dies theoretisch mit der Umkehrung x=A-1 gelöst werden könnte b. Andere Methoden wie die Gaußsche Elimination sind numerisch zuverlässiger.
Zusätzlich zur Beschreibung des Studiums linearer Gleichungssysteme werden die angegebenenDer obige Begriff wird auch verwendet, um eine bestimmte Art von Algebra zu beschreiben. Insbesondere hat L über einem Körper F die Struktur eines Rings mit allen üblichen Axiomen für interne Addition und Multiplikation, zusammen mit Distributivgesetzen. Daher gibt es ihm mehr Struktur als ein Ring. Die lineare Matrizenalgebra lässt auch eine äußere Operation der Multiplikation mit Skalaren zu, die Elemente des zugrunde liegenden Feldes F sind. Beispielsweise wird die Menge aller betrachteten Transformationen von einem Vektorraum V zu sich selbst über einem Feld F über F gebildet. Ein weiteres Beispiel für linear Algebra ist die Menge aller reellen quadratischen Matrizen über einem Körper R reelle Zahlen.
